高中数学高考知识点总结附有经典例题

数 学

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高一数学必修1知识网络

集合

?（）元素与集合的关系：属于（?）和不属于（?）?1??（?集合与元素?2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性??（?3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集??4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?????子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。?????1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。????????2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A???? 注??关系???3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.????4、空集是任何集合的（真）子集。??????真子集：若A?B且A?B?（即至少存在x0?B但x0?A），则A是B的真子集。集合???????集合相等：A?B且A?B ?A?B?????集合与集合??定义：A?B??x/x?A且x?B??交集???????性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A???????定义：A?B??x/x?A或x?B????并集???????性质：A?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B?运算???? Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)?????定义：CUA??x/x?U且x?A??A??????补集?性质：?(CUA)?A??，(CUA)?A?U，CU(CUA)?A，CU(A?B)?(CUA)?(CUB)，???? C(A?B)?(CA)?(CB)??UUU?????

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函数

?映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，? 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：?B为从集合A到集合B的一个映射?传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，??定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y?f(x).?近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。??定义域???函数及其表示函数的三要素值域???对应法则???解析法???函数的表示方法?列表法???图象法????传统定义：在区间?a,b?上，若a?x1?x2?b,如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是 ???? 递增区间；如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递减,?a,b?是的递减区间。??单调性?导数定义：在区间a,b上，若f(x)?0，则f(x)在?a,b?上递增,???a,b?是递增区间；如f(x)?0???a,b?是的递减区间。 ??? 则f(x)在?a,b?上递减,?????最大值：设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；?函数? （2）存在x0?I，使得f(x0)?M。则称M是函数y?f(x)的最大值函数的基本性质?最值????最小值：设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?N；??? （2）存在x0?I，使得f(x0)?N。则称N是函数y?f(x)的最小值????(1)f(?x)??f(x),x?定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。?奇偶性?(2)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。???? 奇偶函数的定义域关于原点对称?周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；?? T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期???（?1）描点连线法：列表、描点、连线???向左平移?个单位：y1?y,x1?a?x?y?f(x?a)????向右平移a个单位：y?y,x?a?x?y?f(x?a)??平移变换?向上平移b个单位：x1?x,y1?b?y?y?b?f(x)11????向下平移b个单位：x?x,y???11?b?y?y?b?f(x)???横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w?1时）或伸长（当0?w?1时）???? 到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1?wx?y?f(wx)??伸缩变换?纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A?1)或缩短（0?A?1)到原来的A倍1????函数图象的画法??? （横坐标不变）， 即y1?y/A?y?f(x)??（?x?x1?2x0x?2x0?x?2）变换法??1?2y0?y?f(2x0?x)???关于点(x0,y0)对称：??y?y1?2y0?y1?2y0?y???x?x1?2x0x?2x0?x?关于直线x?x0对称：????1?y?f(2x0?x)??y?y1y1?y?对称变换???x?x1x?x???关于直线y?y0对称：??1?2y0?y?f(x)????y?y?2yy1?2y0?y10????x?x1??关于直线y?x对称：?y?f?1(x)???y?y1?????????? 附：

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一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y?tanx中

x?k???2(k?Z)；余切函数y?cotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据

自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增（减）函数

2、若f(x)为增（减）函数，则?f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为

11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶

22函数的和。

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???零点：对于函数y?f（x）,我们把使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)的零点。??定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0,???零点与根的关系? 那么，函数y?f(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c?(a,b),使得f(c)?0,这个c也是方? 程f(x)?0的根。（反之不成立）?????关系：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)有零点?函数y?f(x)的图象与x轴有交点???(1)确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?；函数与方程???(2)求区间(a,b)的中点c;??函数的应用??(3)计算f(c)；??二分法求方程的近似解 ①若f(c)?0,则c就是函数的零点；??? ②若f(a)?f(c)?0,则令b?（此时零点cx?(a,b)）；?0??? ③若f(c)?f(b)?0,则令a?（此时零点cx?(c,b)）；?0????(4)判断是否达到精确度?：即若a-b??,则得到零点的近似值a(或b);否则重复2?4。???几类不同的增长函数模型?函数模型及其应用?用已知函数模型解决问题??建立实际问题的函数模型?mna,n为根指数，a为被开方数????根式：?nm??an???a????分数指数幂?????aras?ar?s(a?0,r,s?Q)??指数的运算??rs??指数函数?rs性质??(a)?a(a?0,r,s?Q)????(ab)r?arbs(a?0,b?0,r?Q)?????????定义：一般地把函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。??指数函数????性质：见表1????对数：x?logaN,a为底数，N为真数?????loga(M?N)?logaM?logaN;???基本初等函数??????logaM?logaM?logaN;???.N?对数的运算?性质???n???nlogaM;(a?0,a?1,M?0,N?0)?logaM?对数函数?????logcb?logab?(a,c?0且a,c?1,b?0)??换底公式：??logca???????对数函数?定义：一般地把函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数?????性质：见表1????定义：一般地，函数y?x?叫做幂函数，x是自变量，?是常数。?幂函数????性质：见表2?

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2. 块If语句： 注：①不要忘记结束语句End If ，当有If语句嵌套使用时，有

几个If ，就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④ 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

If A Then If A Then

B B

Else Else If C Then

C D

End If End If

例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

Read a , b , c Read a , b , c If a≥b Then If a≥b and a≥c Then If a≥c Then Print a Print a Else If b≥c Then Else 或者 Print b Print c Else End If Print c Else End If If b≥c Then

Print b

Else 注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 Print c 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

If End

End If

Ⅳ.循环语句（ cycle statement）： ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N次也是已知次数的循环 ? 当循环次数不确定时用While循环 ? Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应. While A For I From 初值 to 终值 Step 步长 … … End While While循环 End For For 循环 Do While p Do … … Loop 当型Do循环 Loop Until p 直到型Do循环 说明：1. While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While

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循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.

1?3?5?...?99 的一个算法.（见课本P21） 例题： 设计计算S?1S?1For I From 3 To 99 Step 2 S?S?IEnd ForPrint SS?1I?1While I ? 99 S?S?I

I?1While I ? 97 I?I?2 S?S?IEnd While Print S I?I?2End While Print S? ? ?

S?1S?1I?1Do S?S?I I?I?2Loop Until I ?100 (或者 I ?99 )Print SI?1Do I?I?2

S?S?ILoop Until I ?99 Print S? ? S?1S?1I?1I?1Do While I ?99 (或者I ?100 ) S?S?I I?I?2Loop Do While I ?97 (或者I ?99 ) I?I?2

S?S?I Loop Print S?

Print S?

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

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高中数学必修4知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角

?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???

终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???

第一象限角的集合为?k?360????k?360??90?,k??

?????????????????4、已知?是第几象限角，确定

??n???所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再n*从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则?原来是第几象限对

?应的标号即为终边所落在的区域．

n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

l6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??．

r?180?7、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?，1???57.3?． ?180???????8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

11l?r?，C?2r?l，S?lr??r2．

229、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是rr?x2?y2?0，则sin????yxy，cos??，tan???x?0?． rrx- 18 -

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin????，cos????，tan????． 12、同角三角函数的基本关系：?1?sin??cos??1

22y?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；?2?sin??tan? cos?PTOMAxsin???sin??tan?cos?,cos????．

tan???13、三角函数的诱导公式：

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

?5?sin??????????cos?，cos?????sin?． ?2??2?????????cos?，cos??????sin?． ?2??2???6?sin???口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵

坐标不变），得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的到函数

y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移

1?倍（纵坐标不变），得

?个单位长度，?得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．

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函数y??sin??x??????0,??0?的性质：

①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值

11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： ? 函

? y?cosx ? y?tanx ? y?sinx 数 性

为ymax，则??质

? 图

象

?

?

? 定

义域 ? 值

域

? 当

x?2k???

? R ? ??1,1?

? R ? ??1,1?

???? ?xx?k??,k???

2??? R

?2?k???? 当x?2k??k???时， ? ymax?1；当x?2k???

? ?k???时，ymin??1． ? 既无最大值也无最小值

时，ymax?1；当

? 最

值

?

x?2k???2

，

?k???时

ymin??1．

? 周

期性 ? 奇

偶性

? 在

? 单

调性

? 2?

? 2?

? ?

? 奇函数 ? 偶函数 ? 奇函数

? 在

???? 2k??,2k????22???2k???,2k???k???????? 在?k??,k???

22??上是增函数；在? ?k???上是增函数．

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设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b22推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a?a?a)(b12?b2?b3)，此即三维柯西不等式.

212122222323.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为?,则

|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??.

2AC?BDrrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?=r 222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） （其中?（0???90）为异面直线a,128.直线AB与平面所成角

??????AB?m?????(m为平面?的法向量). ??arcsin???|AB||m|129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，则

127．异面直线所成角

sin2?1?sin2?2?(sin2A?sin2B)sin2?.

特别地,当?ACB?90时,有

?sin2?1?sin2?2?sin2?.

130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角

''分别是?1、?2,A、B为?ABO的两个内角，则

tan2?1?tan2?2?(sin2A'?sin2B')tan2?.

特别地,当?AOB?90时,有

?sin2?1?sin2?2?sin2?. 131.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ;

|?1??2|???180??(?1??2)(当且仅当??90?时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

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????????????222 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

135.点Q到直线l距离

????????122Ph?(|a||b|)?(a?b)(点在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|136.异面直线间的距离

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间d?|n|的距离).

137.点B到平面?的距离

???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|138.异面直线上两点距离公式

d?h2?m2?n2?2mncos?. ????????222'd?h?m?n?2mncosEA,AF. d?h2?m2?n2?2mncos?（??E?AA'?F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，

'A'E?m,AF?n,EF?d).

139.三个向量和的平方公式

???2?2?2?2?????? (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为

?1、?2、?3,则有

2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

S'S?.

cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧?c1l. ②V斜棱柱?S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

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'

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E

1的关系：E?nF；

21（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?mV.

2146.球的半径是R，则

4?R3, 32其表面积S?4?R．

其体积V?147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a. 1241V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*

.(n，m∈N，且m?n)．

(n?m)！注:规定0!?1. 152.排列恒等式

mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;

（2）An?mnn?1n（4）nAn?An?1?An; mmm?1（5）An. ?A?mA?1nn(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*

==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质

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mn?m(1)Cn=Cn ; mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.

155.组合恒等式

n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;

m（1）Cn?m （4）

?Cr?0rrnrn=2;

nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1.

012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm . An?m！?Cn157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

mm?1m?11m?1①某（特）元必在某位有An②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）?An?1An?1?1种；

m1m?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An此类问题常用捆绑?k?1Ak种.注：

法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不

hk能挨近的所有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共

- 49 -

有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?数共有

(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法

nnnnnnnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共

nmn1n2有N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nmp!件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N?.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数

p!有N?.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

则其分配方法数有N? ?nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mnmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?m!p!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)?n![1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm?1个. (2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的非负整数解有 Cn?m?1个.

- 50 -

??n?1n?1

?

?k???上是增函数；

在

?2k?,2k????

? ?k???上是减函数．

?3???? ?2k??,2k???

22???

?k???上是减函数．

称

中

心? 对

称

中

心

? 对

称

中

心

?k??,0??k??? ?2??? 对

???k?,0??k??? ?? 对

k??,0??k??? ?称2??? 对称轴性

?x?k???k??? ? 对称轴x?k??k???

2? 无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

??????⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．

???????????????⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．

????????⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

C

????⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． ????设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则?????x1x2y,1?y2 ?．

?a

?b

?

?

19、向量数乘运算：

??⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①

??????????????a?b??C?????C

?a??a；

?? - 21 -

②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，

???????a?0．

?????????⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．

??⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

????????20、向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．

??????????设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共

??线．

?????21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意????????????向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所

有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当

?????????x??x2y1??y2?,?1?????2时，点?的坐标是?1?．

1??1????23、平面向量的数量积：

??????????⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

???????????????⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a????2?2???????????与b反向时，a?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．

?????????????????⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．

??????????⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．

22若a??x,y?，则a?x?y，或a???2?x2?y2．

设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0．

??????????设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则??x1x2?y1y2a?bcos?????．

2222abx1?y1x2?y224、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；

- 22 -

⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan?1?tan?tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；

⑹tan??????tan??tan?1?tan?tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2??2sin?cos?． ⑵

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?（

cos2??cos2??12sin2??1?cos2?2）． ⑶tan2??2tan?1?tan2?．

26、?sin???cos???2??2sin?????，其中tan????．

- 23 -

，

高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半

abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc②sin??，sin??，sinC?；

2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④．

sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin?．

222径，则有

4、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，

222222c2?a2?b2?2abcosC．

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c25、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．

2bc2ab2ac6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90；③若a?b?c，则C?90． 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

222222??222??，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，18、由三个数a，则?称为a与b的等差中项．若

b?a?c，则称b为a与c的等差中项． 2- 24 -

19、若等差数列

?an?的首项是a，公差是d，则a1n?a1??n?1?d．

；

an?a120、通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?n?1an?aman?a1?1；⑤d?④n?n?md．

21、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an是等差数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；若?an??ap?aq．

n?a1?an?n?n?1?S?S?na?d． 22、等差数列的前n项和的公式：①n；②n122*23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则

??S2n?n?an?an?1?，且

S奇an?S偶?S奇?nd，

S偶an?1．

*②若项数为2n?1n??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S???偶an，S奇n（其中S奇?nan，?S偶n?1． S偶??n?1?an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

G，b成等比数列，25、在a与b中间插入一个数G，使a，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，

则称G为a与b的等比中项．

26、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1．

??n?1?n?ma?aqa?aq27、通项公式的变形：①n；②1；③mn2qn?1?an；④a1qn?m?anam．

*28、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），则am?an?ap?aq；若?an?是*等比数列，且2n?p?q（n、p、q??），则an2?ap?aq．

- 25 -

?na1?q?1??29、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．

1n??q?1??1?q1?q?*30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则

??S偶S奇?q．

②Sn?m?Sn?qn?Sm．

③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．

31、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．

32、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c； ④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?an?bn?n??,n?1?； ⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： ? 判别式??b?4ac

2? ??0 ? ??0 ? ??0

? 二次函数y?ax?bx?c ?

2?a?0?的图象

? ? ? 有两个相异实

? 一元二次方程

数根

? 有两个相等实

数根

?

ax?bx?c?0

?

2?b??? x1,2?2a ?

?a?0?的根

x1?x2??

b2a? 没有实数

根

?x1?x2?

? 一元

二次不等式的

? ax?bx?c?0?

?

2?xx?x或x?x??

12?a?0?

?b?xx????

2a??? R

- 26 -

解集

? ax?bx?c?0?

?

2?xx1?x?x2?

? ? ? ?

?a?0?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?． ①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．

①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0下方的区域．

②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0上方的区域．

40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解?x,y?． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设a、b是两个正数，则均数．

42、均值不等式定理： 若a?0，b?0，则a?b?2ab，即

22a?b称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平2a?b?ab． 2a2?b243、常用的基本不等式：①a?b?2ab?a,b?R?；②ab??a,b?R?；

2

- 27 -

a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?；④??a,b?R?．

2?2??2?44、极值定理：设x、y都为正数，则有

22s2⑴若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值．

4⑵若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最小值2p．

- 28 -

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

nnnnN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11?. ?f(x)?NM?N8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一

个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0且k1??9.闭区间上的二次函数的最值

2 二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??2k?k2k?k2bb?1???k2. ,或f(k2)?0且12a222ab处及区间的两端2a点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb??p,q?，则f(x)min?min?f(p(2)当a<0时，若x??),f(q)?，若x????p,q?，则2a2af(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.

x??10.一元二次方程的实根分布

- 29 -

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则

?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或

??m??p?n??2?f(m)?0?f(n)?0或?； ??af(n)?0?af(m)?0?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .

???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).

?a?0?a?0?42(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.

?c?0?b?4ac?0?12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， p或q 成立 不成立 对任何x， 不成立 存在某x， p且q 成立 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

- 30 -

互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则

f(x?a)?f(?x?a).

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数a?ba?bx?;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?对称.

22a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),

2则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性

(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

24.两个函数图象的对称性

- 31 -

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b对称. 2m(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是ky?[f?1(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.

(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，

f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，

1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),

f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周

1?f(x1)f(x2)或f(x?a)?期T=4a；

(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幂 (1)a(2)amn??1n?mnam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.

??a

31．根式的性质

- 32 -

（1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).

(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).

p

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

?a,a?0.

??a,a?0logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

34.对数的换底公式

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;

M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R).

(2) loga236.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则

a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.

aa11)和(,??)上y?logax(bx)为减函数. ， (2)当a?b时,在(0,aa 若a?0,b?0,x?0,x?推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga38. 平均增长率的问题

x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系

2m?n. 2n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?2

- 33 -

40.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.

?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)

ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?144．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1，tan?=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin?，tan??cot??1. cos? - 34 -

n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2cos?, cos(??)??n?12?(?1)2sin?,?

47.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan??tan?. tan(???)?1?tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=

b定,tan?? ).

a48.二倍角公式

a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

sin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.

2tan?tan2??.

1?tan2?49. 三倍角公式

sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??).

33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)33????.

3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??).

1?3tan2?3350.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的

?. ?51.正弦定理

abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.

53.面积定理

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