中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区

分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式

)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x,GP y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长. 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH= OP=2.

M 图1

2

32132

x

H

A

(2)在Rt△POH中, OH

MH

11OH 36 x222

OP2 PH2 36 x2

, ∴

.

在Rt△MPH中,

MP PH2 MH2 x2 9

121

x 36 3x242

.

∴y=GP=MP=

23

1

36 3x2 (0<x<6). 3

(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH时,符合题意.

②GP=GH时, 不符合题意.

③PH=GH时,x 2.

综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式

例2如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式； (2)如果∠BAC的度数为 ,∠DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠B

C

1

36 3x2 x,解得x 6. 经检验, x 6是原方程的根,且3

1

36 3x2 2,解得x 0. 经检验, x 0是原方程的根,但3

图2 ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,

又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB∽△EAC, ∴AB BD,

CE

AC

∴ , ∴y .

(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90

1

yx11x

2

,且函数关系式

成立,

∴90 = , 整理得

2

2

90 . 1

成立. x

当 如

2

90 时,函数解析式y

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC

的面积为(1)求y关于x的函数解析式,

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A△AOC的面积.

解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-x. ∵S AOC OC AH, ∴y x 4 (0 x 4). (2)①当⊙O与⊙A外切时,

在Rt△AOH中,OA=x 1,OH=2 x, ∴(x 1)2 22 (2 x)2. 解得x . 此时,△AOC的面积y=4 ②当⊙O与⊙A内切时,

在Rt△AOH中,OA=x 1,OH=x 2, ∴(x 1)2 22 (x 2)2. 解得x . 此时,△AOC的面积y=4 .

综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要

117

或. 26

7

2

12

72

76

17. 6

76

12

12

O

H 图8

C

把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的 （二）线动问题

在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；

(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD

l

′

14

的长为x，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x 长

3

4

C

为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关

l

知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量

B

D

C

点二．

[区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程． 3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝AC

∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 BC 33

x2 91212

(2)①AC x 9，AO x 9，AF (x 9)，AE

4x412

2

1

2

∴S AEF

(x2 9)2(x2 9)21

，S 3x AE AF

96x96x2

x4 270x2 81

S (3 x 33)

96x

②若圆A与直线l相切，则x

3

41288

x1 0(舍去)，x 9，x2 ∵x2 455

∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切． [

.

（

例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OA BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并

保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。 判断 OEF的形状，并加以证明。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.

AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）

例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么： （1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，2t 6 t，即t 2时，三角形QAP为等腰三角形； （2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积

11

12 6 12 x (12 2x) 6

22==36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面

积不变。

（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，

2x122x6

由相似关系得6 x6或6 x12，解之得x 3或x 1.2

建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

1

y x2 x

4⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特．．

②或利用已知三角形中对应角，

③若两个三角形的各边均未给出，

例1(，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状; 作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由S BPQ=×BP×QE可得

1

2

S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.

解:(1)△BPQ是等边三角形,

当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,

由AP=t,得PB=6-t,所以S BPQ=×BP×QE=3t=－

1

21232

t+3t； 2

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t. 因为BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,

由△APR∽△PRQ,得到

6

5

t3tAPPR6 ,即,解得t=,

PRRQ53t6 2t

12

所以当t=时, △APR∽△PRQ.

点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

)如图，在Rt△ABC中， A 90 ，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x

（3）是否存在点P，使△PQR满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;解：（1） A Rt ，AB 6，AC 8， BC 10．

点D为AB中点， BD

1

AB 3． 2

DHBD

，

ACBC

DHB A 90 ， B B． △BHD∽△BAC，

∴DH

BD312

AC 8 BC105

（2） QR∥AB， QRC A 90 ． C C， △RQC∽△ABC，

RQQCy10 x3

， ，即y关于x的函数关系式为：y x 6．

ABBC6105

（3）存在.按腰相等分三种情况：

①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM． 1 2 90 ， C 2 90 ， 1 C． QM484

， cos 1 cosC ， QP5105

H Q

C

1 3 x 6 425 ， x 18．

555

②当PQ RQ时， x 6

3512， 5

x 6． Q H

③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

11

CR CE AC 2．

24QRBA

， tanC

CRCA3

x 6 156 ， x ．

228

1815

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

52

点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求

使△PQR为等腰三角形的x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形 注意分情况

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