2016年高考试题(数学理科)浙江卷(Word版,含答案解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ?=R ð

A ．[2,3]

B ．( -2,3 ]

C ．[1,2)

D ．(,2][1,)-∞-?+∞

【答案】B 【解析】根据补集的运算得{}

[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B ．

2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则

A ．m ∥l

B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

【答案】

C

3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

200

340x x y x y -≤??+≥??-+≥?

中的点在直线x +y 2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │= A ．

B ．4

C ．

D ．6

【答案】C

【解析】如图?PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=??+=?x y x y 得(1,1)-Q ，由20

=??+=?x x y 得(2,2)-R

，

===AB QR C ．

4. 命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是

A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

B ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

C ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

D ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2n x ≥的否定是2

n x <．故选D ．

5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期

A ．与b 有关，且与c 有关

B ．与b 有关，但与c 无关

C ．与b 无关，且与c 无关

D ．与b 无关，但与c 有关

【答案】

B

6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*

N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，

（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则

A ．{}n S 是等差数列

B ．2{}n S 是等差数列

C ．{}n d 是等差数列

D ．2{}n d 是等差数列

【答案】A

【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距

离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+?，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=

+?，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+?，作差后：1111(tan )2

n n n n n n S S A A B B θ+++-=

?，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．学优高考网 7. 已知椭圆C 1：2

2x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：2

2x n

–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m <n 且e 1e 2>1

D ．m <n 且e 1e 2<1

【答案】A

【解析】由题意知2211-=+m n ，即222=+m n ，222

1222221111()(1)(1)-+=?=-+m n e e m n m n ，代入22

2=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ．

8. 已知实数a ，b ，c

A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100

D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

【答案】

D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．

【答案】9

【解析】1109M M x x +=?=

10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．

1

【解析】22cos sin 2)14x x x π

+++

，所以 1.A b =

11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3

.

【答案】72 32

【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32???=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为

2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72??+??-?=

12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =

52，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2

【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=

?=?=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?==

13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .

【答案】1 121

14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】12

【解析】ABC ?中，因为2,120AB BC ABC ==∠= ，

所以30BAD BCA ∠== .

由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-?

2222222cos12012=+-??= ，

所以AC =设AD x =

，则0t <<

DC x =.

在ABD ?中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-?

22222cos30x x =+-?

24x =-+.

故BD =在PBD ?中，PD AD x ==，2PB BA ==.

由余弦定理可得2222222(4)cos 2222

PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===???， 所以30BPD ∠= .

E

D

C B A P

过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22

PBD S BD d PD PB BPD ?=

?=?∠，

12sin 302d x =? ，

解得d =.

而BCD ?

的面积111sin )2sin 30)222

S CD BC BCD x x =

?∠=?= . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD

的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ???=?=≤?=?

=.

设t =

=

0x ≤≤12t ≤≤.

则|x

（2

x <≤

|x x =

故x =

此时，16V t

= 21414()66t t t t

-=?=-.

由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=

-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12

. 15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜

≤

,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12

【解析】221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2

e e e +?≤?+?+++?≤??≤ ，即最大值为12

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；

（II ）若△ABC 的面积2

=4

a S ，求角A 的大小. 【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．

（II ）由24a S =得2

1sin C 24

a a

b =，故有 1sin sin C sin 2sin cos 2

B =B =B B ， 因sin 0B ≠，得sin

C cos =B ．

又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=

±B ． 当C 2πB +=时，2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =

． 综上，2π

A =或4πA =．

17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面

ABC ,=90ACB ∠ ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.

(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；

(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值

.

【试题分析】（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B -A -的平面角，再在Rt QF ?B 中计算，即可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值．学优高考网

（II ）方法一：

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