1.2.2函数的表示方法

高中数学必修（1）第一章集合与函数概念教案

1.2.2函数的表示方法

（约三课时）

三维目标：

【知识与技能】

1．掌握函数的三种主要表示方法——解析法、列表法、图象法及它们的优缺点． 2．掌握分段函数的概念。 3．了解映射的概念；

4．掌握函数图象的两种作法——列表、描点、连线法和图象变换法；

5．掌握函数解析式的求解方法。了解集合的特性；了解有限集、无限集、空集的意义；

【过程与方法】

1． 自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法； 2． 探究与活动，明白如何适宜地选择函数的表示方法。

【情感态度与价值观】

培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，培养学生从具体到抽象，从观察到概括的分析问题和解决问题的能力，训练学生的思维能力。

重点与难点：

【重点】解析法和图象法。 【难点】函数图象的变换。

教学方法：启发引导，分析讲解，练习领会。 教具准备：POWERPOINT 教学过程：

第一课时 函数的表示方法与函数图象的求作

一．引入新课

【师】前面，我们学习了函数的概念和区间的概念，重点就函数的定义域、值域、函数值的求解等问题进行了讲解和分析。那么，函数可以用什么方法表示，函数和映射之间有什么关系呢？下面，我们就来学习1.2.2函数的表示方法．

二．新课讲解

1．函数的表示方法

【师】说到函数的表示方法，我们在初中和本单元的第一节都已经接触过了，谁能说一下函数有哪几种表示方法吗？

【生1】解析法、列表法、图象法。

【师】大家听刚才这个同学说的对吗？谁能再详细地说一下什么是解析法、列表法、图象法？并举例！

【生2】⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

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例如，s?60t，S??r， y?ax?bx?c?a?0?， y?x?2?x?2?等等都是用解析式表示

222函数关系的。

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高 单位：厘米 学号 身高 1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 7 167 8 158 9 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，公共汽车上的票价表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

【师】看来大家对函数的表示方法掌握的还是不错的。但是，我有问题是任意一个函数都能用这三种方法表示吗？

【生3】只有能用解析法表示的函数才能用三种方法表示，能用列表法和图象法表示的函数不一定能用解析法表示。

【师】其实，哪一种函数都不一定能用三种方法表示，如狄利克雷（Dirichlet）函数

1D?x????0?x是有理数，我们就作不出它的图象。希望大家能很好地体会函数的表示方法，

x是无理数并能在实际当中作出选择。下面，我们就来体会一下，请同学们看例1

问题一：函数f?x??5x与g?x??5x,x??0,5?是相同函数吗？它们的图象是否一样？

1,2,3,4,5?个笔记本的钱数记为y（元）【例1】某种笔记本每个5元，买x??，试选择适

当的方法表示以x与y的函数关系。

【师】谁说一下用什么方法？ 【生4】

1,2,3,4,5?，它可以用解析法表示为y?5x，x??1,2,3,4,5? 解：这个函数的定义域集合是x??它的图象由5个孤立点A (1， 5)

B (2， 10)

C (3， 15)

D (4， 20)，E?5,25?组

成，如图所示。它也可以用列表法表示为如下表

1 2 3 4 5 5 10 15 20 25

【师】说的不错。但是，我们不是说作函数图象可以分为列表、描点、连线三步吗？它怎么没连线呢？什么时候连，什么时候不连，我们以什么作标准呢？

x y 1.2.2函数的表示方法第 2 页 共 13 页

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【生5】看x的取值是否连续，连续就连。 【师】列表时应该注意什么？

【生6】定义域是无限集就要在表的两头用省略号。 【师】下面我们看

2．函数图象的作法

【例2】 作出以下函数的图象（4名同学板演）

12（1）y?2x?1；（2）y?1?1；（3）y?x；（4）y?x?

x?1x【生7-10】略

【师】大家看他们所作的图象对吗？作图象时一定要注意： ①自变量当横轴，因变量（函数值）做纵轴；

②要标出函数图象和坐标轴的交点，标出表示图象的特征点（如定点，对称轴等）； ③要注意自变量的取值如果是有界的就要用空心点或实心点表示； ④要在图象的附近写上函数的解析式。

1函数y?x?叫对勾函数，它的图象如右，值域

x是???,?2???2,???。其中，当x?0时，y?2，当x?0时，

1086Q4KLMGNPOy??2。

当然，该性质也可以证明如下：

-10-525101∵y?x?

x221∴y?x?2?2?4∴y?2

x-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-6【例3】画出函数y?x的图象 解：由绝对值的概念，我们有

y y???xx,,x?0， x?0。O 所以，函数y?x的图象如图所示。

x 3.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数。

三．练习反馈

?x?11.已知函数f?x????2xx?2。 x?2（1）求f?3?，f??2?，f?f??1??的值； （2）求f?x??2的x值； （3）作出f?x?的图象

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四．课内小结

1.函数的表示方法

2.函数图象的作法及应该注意的地方

3.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

五．课外作业

课本P24习题1.2A组7，B组1

第二课时 函数图象的变换和认识

一．复习回顾

1.函数图象的作法及应该注意的地方

2.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

二．新课讲解

【例4】作出以下函数的图象（2名同学板演，第二名同学可以在第一名同学所作图象的基础上作。）

（1）y?x?2x?3（2）y?x?2x?3 【生11-12】略

【师】第二名同学能说一下你是怎么根据第一名同学所画函数图象画出y?x?2x?3图象的吗？

【生12】略

【师】我们再回过头看y?x与y?x的图象之间的关系 4．函数图象的变换

【师】谁能说一下y?x?1,y??x?1?的图象是把y?x的图象怎样变换得到的吗？ 【生13】略

222222【师】如果我记f?x??x，大家能把y?x?1,y??x?1?表示成f?x?m?或f?x??k中的哪一

222种？

【生14】y?x?1?f?x??1,y??x?1??f?x?1?

22【师】此时，同学们有何感想？ 【生15】略 【师】一般地，

①f?x???的图象可以看成是把f?x?的图象向左（??0）或向右（??0）平移?个单位得到的。

②f?x??k的图象可以看成是把f?x?的图象向上（k?0）或向下（k?0）平移?个单位得到的。

③kf?x??k?0?的图象可以看成是把f?x?的图象上所有点的纵坐标伸长（k?1）或缩短（0?k?1）到原来的k倍，横坐标不变得到的。

④函数y?f?x?的图像可以看作是把函数y?f?x?的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折

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到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y?f?x?的x轴上方部分即可得到。

【例5】（1）已知g?x?的图象是把f?x??x?x?1的图象向右移动2个单位得到的，则

2g?x?? ；

（2）已知g?x?的图象是把f?x??1的图象向左移动2个单位，再向上移动3个单位得

x到的，则g?x?? ；

（3） g?x??x?4x?1的图象是把f?x???x?1?的图象 得到的。

22三．练习反馈

填空

1.函数y??x?1?的图象是将函数y?x2的图象向 方向移动 个单位得到的。

22. 函数y?2x?1的图象是将函数y?2x的图象向 方向移动 个单位得到的。 3.函数y??x?1?的图象是将函数y?(x?1)2的图象向 方向移动 个单位得到

2的。

四．课堂小结

①f?x???的图象可以看成是把f?x?的图象向左（??0）或向右（??0）平移?个单位得到的。

②f?x??k的图象可以看成是把f?x?的图象向上（k?0）或向下（k?0）平移?个单位得到的。

③kf?x??k?0?的图象可以看成是把f?x?的图象上所有点的纵坐标伸长（k?1）或缩短（0?k?1）到原来的k倍，横坐标不变得到的。

④函数y?f?x?的图像可以看作是把函数y?f?x?的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y?f?x?的x轴上方部分即可得到。

五．作业

设函数y?x?1?x?2 （1）作出函数的图象； （2）求函数的值域；

（3）解不等式x?1?x?2?3

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第三课时 认识函数图象

一．复习回顾

①f?x???的图象可以看成是把f?x?的图象向左（??0）或向右（??0）平移?个单位得到的。

②f?x??k的图象可以看成是把f?x?的图象向上（k?0）或向下（k?0）平移?个单位得到的。

③kf?x??k?0?的图象可以看成是把f?x?的图象上所有点的纵坐标伸长（k?1）或缩短（0?k?1）到原来的k倍，横坐标不变得到的。

④函数y?f?x?的图像可以看作是把函数y?f?x?的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y?f?x?的x轴上方部分即可得到。

举例：略

二．新课讲解

5．认识函数图象

【例6】直线x?a和函数y?f?x?的图象的交点个数是（C）

A．一个 B．两个 C．至多有一个 D．不确定 【例7】下列可以作为函数图象的是（D ）

y y y y O x

O x O x

O x A B C D

讲评：以上两题实际都考查的是函数的概念，“按照某种对应法则，对定义域范围内的任一个x值，都有唯一的y值和它对应”。就是每在x轴上找一个点，就作一条和y轴平行的直线，看这条直线和图象是否有唯一的交点。

【例8】已知函数y?f?x?和函数g?x?的图象如下:

则函数y?f?x?g?x?的图象可能是（A ）

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【例9】如图是f?x??ax?bx?c的图象。

2y （1）判断a,b,c的正负；

（2）确定f??5?与f?2?的大小； （3）判断a?b?c和a?b?c的符号； （4）解不等式(x?2)f?x??0 【例10】如图是y?f?x?的图象。 （1）写出函数的定义域和值域； （2）解不等式f?x??2。

-7 O 1 x -2 y 2 -1 O -3 3 x三．练习反馈

如图是y?f?x?的图象， 1. 解不等式f?x??0 2.解不等式(x?x?2)f?x??0。

2y ?1 x

O1 四．课堂小结

1.确定函数图象的前提是定义域。 2.识别图象要看反映函数性质的特征值。

五．作业

课本P24习题1.2B组2

第四课时 f?x?与f?g?x??的关系

一．复习回顾（检查提问）

1.f?x???的图象可以看成是把f?x?的图象向左（??0）或向右（??0）平移?个单位得到的。

2.已知f?x?怎样求f?a?

?1?3.如果已知f?x??2x?1，求f?x?1?，f?2x?3?，f??

?x?二．新课讲解

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6．函数解析式的求解：

问题一：如果f?x?1??2?x?1??3，g?2x?3??3?2x?3??1，h?x?2???x?2??5，

2求f?x?，g?x?，h?x?怎么去做？

归纳总结： （1）观察换元法

x?1?x?x?1 ，求f?x?。

【例11】 (1) 已知f2xx(2)f?x?2??x?x?2，求f?x?。

2??22x?x?1?x?1?x?1?1且x?1?1

解：（1）∵2xxxx∴f?x??x2?x?1?x?1? （2）令x?2?t，则

2??f?t???t?2???t?2??2?t2?3t?4

2∴f?x??x?3x?4

2（2）待定系数法

【例12】已知函数f?x?为一次函数，且f?f(x)??4x-3，求f?x?。 解：∵f?x?为一次函数， ∴可设f?x??ax?b。

∵f?f(x)??a?ax?b??b?a2x?ab?b且f?f(x)??4x?3

?a2?4?a?2?a??2∴?或?故：f?x??2x?1或f?x???2x?3 ??b??1b?3ab?b??3???（3）利用解方程的方法（消元法）

将f?x?作为一未知数来考虑，建立方程（组），消去另外的未知数便得f?x?的解析式。

1?1?x（x?0且x?1）【例13】设函数f?x?满足f?x??2f?，求f?x?。 ????x?1?1?x ① 解：∵ f?x??2f?????x?11?2f?x??1?1② ∴以代x得f????xx?x?①-2?②得?3f?x???1?x?

2

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2?x∴f?x???2x?1?x?0,x?1? 3?x?1?（4）取特殊值法（赋值法）

在已知条件中，将某些字母（变量）取特殊值，使问题具体化、简单化、从而求得f?x?的解析式。

【例14】已知f?x?y??f?x??y?2x?y?1?，且f?0??1，求f?x?的解析式。 解：可令x?0得f??y??1?y??y?1? 故f?x??x2?x?1 （5）利用函数的性质

【例15】设函数y?f?x?的图象关于直线x?1对称，若当x?1时y?x2?1，求x?1时函数的解析式。

2解：∵x?1时，2?x?1且x?1时y?x?1，

∴f?2?x???2?x??1?x?4x?5

22又∵y?f?x?的图象关于直线x?1对称 ∴f?x??f?2?x??x?4x?5

22注意：本题也可以在y?x?1（x?1）上任取三个点，解出它们关于x?1的对称点；

然后，再利用这些点在x?1时f?x?的图象上这一点，根据待定系数法解得。

7. f?x?与f?g?x??定义域之间的关系

问题二：若函数f?x?的定义域是x??1,3?，求f?x?1?，f?2x?，f?x?3?的定义域怎么做？

归纳总结：若函数f?x?的定义域是x??a,b?，则f?g?x??的定义域是a?g?x??b的解集。 问题三：若函数f?x?1?，g?2x?，h?x?3?的定义域是x??1,3?，求f?x?、g?x?、h?x?的定义域怎么做？

归纳总结：若函数f?g?x??的定义域是x??a,b?，则f?x?的定义域是x??a,b?时g?x?的值域。

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三．练习反馈

1．若f?x?1??x?2x,求f(x)。

22 解法一（换元法）：令t?x?1 ，则x?t?1,t?1且代入原式有f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1 ，

2∴f(x)?x?1（x?1）

2 解法二（定义法）：x?2x?(x?1)?1， ∴f(x?1)?(x?1)?1

222 又∵x?1≥1 ∴f(x)?x?1（x?1）

2．若f(1)?x 求f?x?

x1?x111 (x?0且x?1)

解： 令t?1 则x?1 (t?0) 则f(t)?t?， ∴f?x??x?1xt1?1t?1t3.若函数f?x?的定义域是x???1,1?，求f?x?1?，f?x?2?的定义域。 4.若函数f?x?2?的定义域是?0,1?，求f?x?的定义域。

四．课堂小结

1.已知f?g?x??求f?x?的方法。

2.已知f?x?（f?g?x??的定义域求f?g?x??（f?x?）定义域的方法。

五．作业

1．已知f?x??ax?b,且af?x??b?9x?8， 求f?x?

解：（待定系数法）

2a?9 ∵af?x??b?a?ax?b??b?ax?ab?b ∴

ab?b?82?a?3 或 a??3 ∴f?x??3x?2或f?x???3x?4 解之b?2b??42．已知f?x?是一次函数, 且f?f?x???4x?1, 求f?x?的解析式。

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??

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解：（待定系数法）设f?x??kx?b则k?kx?b??b?4x?1

2?k?2??2 k?4∴ 或 kb?1??1(k?1)b??1b???3??∴f(x)?2x?1或f(x)??2x?1 33．已知f?x?满足2f(x)?f(1)?3x，求f(x)；

x解：∵已知2f(x)?f(1)?3x ①，

x将①中x换成

1得2f(1)?f(x)?3 ②， xxx1联立①②解得f?x??2x?为所要求。

x4.已知函数y?f?x?的定义域是x??0,2?，求fx2?x的定义域。 5若函数y?fx2?2x?2的定义域是x??0,2?，求函数y?f?x?的定义域

6.设函数f(x)的定义域为N，且满足f(x?y)?f(x)?f(y)?xy，f(1)?1，求

?????f?5?。

7.已知f?x?对任意的正实数x,y都有f?xy??f?x??f?y?，且f?4??2，求f?2?,f?8?,f?64?。

第五课时 分段函数的应用与映射

一．复习回顾（检查提问）

1.已知f?g?x??求f?x?的方法（举例）。

2.已知f?x?（f?g?x??的定义域求f?g?x??（f?x?）定义域的方法（举例）。

二．新课讲解

7．分段函数的应用

【例16】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并

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画出函数的图象。

解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x的取值范围为?0,20?。由“招手即停” 公共汽车的票价制定规则，可得到以下函数解析式：

?2,?3,y??4,??5,0?x?5,5?x?10,

10?x?15,15?x?20.图象略。

【例17】动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到

A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

D P C 解：如图： 当P在AB边上运动时, PA?x 2当P在BC边上运动时PA?1?(x?1)

P

2当P在CD边上运动时PA?1?(3?x)

A P B

当P在DA边上运动时PA?4?x

0?x?1,?x,2?x?2x?2,1?x?2,∴y??2

x?6x?10,2?x?3,?3?x?4.?4?x,8．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A

A?B中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意

两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射。

注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

【例18】从集合A到B的映射中，下列说法正确的是 A．B中某一元素b的原象可能不只一个

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B．A中某一元素a的象可能不只一个 C．A中两个不同元素的象必不相同 D．B中两个不同元素的原象可能相同

【例19】已知集合A=?x0?x?4?，B=?y0?y?2?,下列从A到B的对应f不是映射的

是（ ）

A．f:x?y?1x B．f:x?y?1x C．f:x?y?2x D． f:x?y?1x2

2338三．练习反馈

练习：学生做课本第23页练习第4题。

四．课堂小结

1.映射的概念 2.映射与函数的区别

五．作业：课本第25页习题1.2A组10，B组3、4

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