1.2.2函数的表示法 - 图文

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回想函数的表示方法有哪几种？解析法，列表法，图象法.用图象表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系用数学表达式表示两个变量之间的对应关系h=130t-5t.2解析法图象法

列表法

那么这三种表示方法各自有什么优点呢？面对实际问题时怎么样选用恰当方法来表示函数呢？

1.2.2 函数的表示法

学习目标

知识与能力

明确函数的三种表示方法，会根据不同实际情境选择适合的方法表示函数，通过具体实例，了解简单的分段函数及应用，了解映射的概念及表示方法，结合简单的对应图表，理解一一映射

的概念．

过程与方法

（1）学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程.

（2）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合,通过实例进一步理解映射的概念,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．

情感态度与价值观

（1）让学生感受到学习函数表示的必要性，渗

透数形结合思想方法.

（2）映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．

教学重难点

重点

函数的三种表示方法，分段函数的概念，映射的概念.

难点

根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象，映射的概念.

例在礼品盒的专卖店里，某种包装盒的单价是3元，

买x 个包装盒需要y元,试用函数的(x?{1,2,3,4,5})三种表示法表示函数.

解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝；

用解析法可将函数y=f(x)表示为

y=3x,x?{1,2,3,4,5}用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？函数的定义域是函数存在的前提，再写函数解析式的时候，一定要写出函数的定义域.用列表法可将函数表示为:笔记本数x钱数y132639412515用图象法可将函数表示为下图:

yy15129630．．．12345x.．用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？思考

列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.

注意y=3x(x?R)是连续的直线，但

y=3x(x?{1,2,3,4,5})却是5个离散的点.

所以说在函数概念中，对应关系，定义域，值域是一个整体.

三种表示方法的特点

解析法①函数关系清楚、精确；

②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.

解析法是中学研究函数的主要表达方法.能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今

图象法后利用数形结合思想解题的基础.不必通过计算就知道当自变量取某些值时函列表法数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.所有的函数都能用解析法表示吗？例: 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

成绩姓名测试序号第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟张城赵磊班级平均分98906888.287766578.391887385.492757280.388867575.795808282.6对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.

y王伟张城

100908070600图1

1赵磊班级平均分

23456xy王伟张城赵磊班级平均分

100908070600123456x图2在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班为了更容易的看出学级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚生的学习情况，将离散的同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波点用虚线连接。动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.

例画出函数y=|x|的图象.解：y=

x, x≥0-x, x<0

y54321-3-2-10123图象如下：

x比较做图方法与前面例题有何不同？前面的例题采用的是描点法，而现在借助于已知函数画图象,描点法一般适用于那些复杂的函数，而对于一些结构比较简单的函数，则通常借助于一些基本函数的图象来表示.

变式1：作函数y=|x－1|的图像.

yy54321-3-2-10123y=|x|y=|x－1|4321y=|x－1|y=|x－1|＋1

x-3-2-110

23x变式2：作函数y=|x－1|＋1的图像.

y63-10 -4 0 4 10 x解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示,由物理学知识可知,喷出的水柱轨迹是抛物线型,建立如图所示的直角坐标系.

已知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x（m）与此时的高度y（m）之间的函数关系是

a1（x + 4 ）2+ 6 （-10≤x＜0 ）y = a2（x –4 ）2 + 6 （0≤ x ≤ 10）

由x = -10，y = 0，得a1 = -1/6；由x = 10，y = 0，得a2 = -1/6.于是，所求函数解析式是

2 -1/6（x + 4 ）

+ 6 （-10≤x＜0 ）

y = -1/6（x –4 ）2 + 6 （0≤ x ≤ 10）

当x = 0 时，y =10/3. 所以装饰物的高度为10/3m .

例国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算：

1.信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推；

2.信函质量大于100g且不超过200g时，每100g付邮资200分，即信函质量超过100g，但不超过200g付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函质量超过200g ，但不超过300g付邮资（A+400）分，依次类推.

设一封（0?x?200）的信函应付的邮资为（单yx为自变量的函数y的解析式，位：分），试写出以并画出这个函数的图象.

解：这个函数的定义域是0＜x≤200 ，函数解析式为

80，x ∈（0，20］160 ，x ∈（20，40］240，x ∈（40，60］320，x ∈（60，80］

y =

400，x ∈（80，100］600，x ∈（100，200］

它的图象是6条线段（不包括左端点），都平y行于x轴，如图所示。64040032024016080我们把这样的函数称为分段函数0 20 40 60 80 100 200 X1. 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是

几个函数，而是一个函数.

2. 函数图象不一定是光滑的曲线（直线），还可以是一些孤立的点，一些线段，一段曲线等.

思考函数是两个数集之间的一种确定关系，那么现在将数集扩展到任意集合，那又会得到什么呢？

常见的对应关系：

1. 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x, y)和它对应；

2. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

3. 长途汽车上的每位乘客都有唯一确定的座位相对应；

4. 对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；

我们把它们称作什么呢？

称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射.

设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.

函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？函数是从非空数集A到非空数集B的映射.映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他集合.函数是一种特殊的映射.

判断下面对应关系是不是映射？

A????B304560900000求正弦A????B3-32-21-194求平方1222321√

1√A????B9413-32-21-1开平方A

1乘以2

B12345623×

√

映射f:A→B，可理解为以下几点:

1、映射有三个要素：两个集合、一个对应法则，

三者缺一不可;

2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应;3、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.

例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A={P︱P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）集合A={P︱P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x，y)︱x?R,y?R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A={x︱x是三角形}，集合B={x︱x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A={x︱x是新华中学班级}，集合B={x︱x是新华中学的学生}，对应关系f：每一班级都对应班里的学生.

解：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都与唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.

（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.

（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映.

（4）新华中学的每一班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一个映射.

对应关系f改为：每个学生都对应它的班级，那么f：B→A是集合从B到A的映射吗？课堂小结

（1）理解函数的三种表示方法；

（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数；

（3）注意分段函数的表示方法及其图象的画法;（4）映射的概念.

高考链接

（2008 全国）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（A）

sO

stO

stO

stO

A

．

B

．

C

．

D

t．

解析：启动时汽车速度较慢，单位时间内行驶的路程少，加速时汽车速度快，此时单位时间内行驶的路程多，匀速时路程与时间成正比.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1k8f.html