高中数学人教A版必修4讲义：第一章 1.5 第一课时 函数y=Asin(ωx

第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换

预习课本P49～54，思考并完成以下问题

(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？

(2)函数y＝A sin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？

(3)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？

[新知初探]

1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响

[点睛](1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．

(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．

(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”.

[小试身手]

第1页共12页

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由函数y＝sin????

x＋

π

3的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移．()

(2)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．()

(3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝A sin x 的图象．()

答案：(1)×(2)×(3)√

2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为()

A．y＝3sin x B．y＝1

3sin x

C．y＝sin 3x D．y＝sin 1 3x

答案：A

3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点() A．向左平行移动1个单位长度

B．向右平行移动1个单位长度

C．向左平行移动π个单位长度

D．向右平行移动π个单位长度

答案：A

4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

4倍(纵坐标不变)得________

的图象．

答案：y＝sin 4x

“五点法”作图

[典例]用“五点法”作出函数y＝3

2sin

1

3x－

π

3的简图．

[解]函数y＝3

2sin?

?

?

?

1

3x－

π

3的周期T＝

2π

1

3

＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期

上的图象．列表如下：

xπ5π

24π

11π

27π

1

3x－π

30

π

2π

3π

22π

第2页共12页

3

2

sin????

1

3x－

π

30

3

20－

3

20

描点、连线，如图所示，

利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝

3

2sin?

?

?

?

1

3x－

π

3的简图(图略)．

(1)“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

(2)用“五点法”作函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表.

ωx＋φ0

π

2π

3π

22π

x－

φ

ω

π

2ω－

φ

ω

π

ω－

φ

ω

3π

2ω－

φ

ω

2π

ω－

φ

ω

f(x)0A0－A0

第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．

[活学活用]

用“五点法”作出函数y＝2sin????

2x＋

π

4在[0，π]上的图象．

解：列出x，y的对应值表：

x－

π

8

π

8

3π

8

5π

8

7π

8

2x＋

π

40

π

2π

3π

22π

y020－20

第3页共12页

函数图象的平移变换

[典例](山东高考)要得到函数y＝sin ????

4x－

π

3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象()

A．向左平移

π

12个单位

B．向右平移

π

12个单位

C．向左平移

π

3个单位

D．向右平移

π

3个单位

[解析]由y＝sin????

4x－

π

3＝sin 4?

?

?

?

x－

π

12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移

π

12个单位即可，故选B.

[答案]B

平移变换的策略

(1)先确定平移方向和平移的量．

(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位．

当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移

φ

ω个单位；若φ＜0，则右移

|φ|

ω个单位．[活学活用]

1．将函数y＝sin????

2x－

π

6向左平移

π

6个单位，可得到函数图象是() A．y＝sin 2x B．y＝sin????

2x－

π

6

C．y＝sin????

2x＋

π

6D．y＝sin?

?

?

?

2x－

π

3

解析：选C y＝sin ????

2x－

π

6的图象yy＝sin?

?

?

?

2????

x＋

π

6－

π

6＝sin????

2x＋

π

6的图象．

第4页共12页

第5页 共12页 2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ????x －π6的图象，则φ＝________. 解析：因为

φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋

φ)的图象，而

sin ????x ＋11π6＝sin ????x ＋11π6－2π＝sin ????x －π6，即φ＝11π6

. 答案：11π6

函数图象的伸缩变换

[典例] 说明y ＝－2sin ?

???2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]

y ＝sin x 的图象――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y y ＝－2sin x 的图象―――――――――→各点的横坐标缩短到

原来的12y y ＝－2sin 2x 的图象

y y ＝－2sin ????2x －π6的图象――――――――→向上平移1个单位长度

y y ＝－2sin ?

???2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩] y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象y ＝

－2sin ????x －π6的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12

y y ＝－2sin ????2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y y ＝－2sin ?

???2x －π6＋1的图象．

由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤

第6页 共12页 [活学活用]

为了得到函数y ＝2sin ????x 3＋π6

，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所

有的点( ) A ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13

(纵坐标不变) B ．先向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13

(纵坐标不变) C ．先向左平移π6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．先向右平移π6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解析：选C 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6

个单位长度，得到函数y ＝2sin ???

?x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ????x 3＋π6，x ∈R 的图象．

层级一 学业水平达标

1．为了得到函数y ＝sin ???

?x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3

个单位长度 B ．向右平移π3

个单位长度 C ．向上平移π3

个单位长度 D ．向下平移π3

个单位长度 解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3

个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ???

?x －π3. 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2

个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

第7页 共12页 解析：选A y ＝sin 2x

y y ＝sin ????2????x －π2＝

sin ()2x －π＝－sin(π－2x )＝－sin 2x .

由于－sin(－2x )＝sin 2x ，所以是奇函数． 3．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12

，然后将图象沿x 轴负方向平移π4

个单位长度，得到的图象对应的解析式为( ) A ．y ＝sin 2x

B ．y ＝cos ????2x ＋π2

C ．y ＝cos ????2x ＋π4

D ．y ＝cos ????12x ＋π4 解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的12

(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x 的图象；

再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移π4

个单位长度，就得到y ＝cos 2????x ＋π4＝cos ?

???2x ＋π2的图象． 4．函数y ＝sin ????2x －π3在区间???

?－π2，π上的简图是( )

解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ????－π3＝－32

<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6

时，sin ????2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12

(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( ) A ．y ＝sin ?

???2x －π3 B ．y ＝sin ????x 2＋π6 C ．y ＝sin ????2x ＋π3 D ．y ＝sin ?

???2x ＋2π3

第8页 共12页 解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3

个单位长度后得到函数y ＝sin ????x ＋π3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12

，得到函数y ＝sin ?

???2x ＋π3的图象． 6．将函数y ＝sin ???

?x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．

解析：y ＝sin ????x －π3的图象―――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ???

?15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ????15x －π3

7．函数y ＝12 s in ????2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12

s in 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．

解析：∵y ＝12sin ?

???2x －π4＝12sin 2????x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y ＝12sin ?

???2x －π4的图象． 答案：右 π8

8．将函数y ＝sin ?

???2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ?

???2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ?

???2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ?

???2x －π4的图象． 答案：伸长 3

9．y ＝cos ???

?x ＋π3的图象如何变换得到y ＝sin x 的图象？ 解：cos ????x －5π6＋π3＝cos ???

?x －π2＝sin x ， 所以将y ＝cos ????x ＋π3的图象向右平移5π6

个单位长度便可得到y ＝sin x 的图象． 10．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后

把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12

sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．

第9页 共12页 解：反过来想，y ＝12 sin x y y ＝12

sin ????x －π2y ＝12sin2x －π2，即f (x )＝12sin ?

???2x －π2. 层级二 应试能力达标

1．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3

个单位得到的，则g ????π6等于( )

A ．1

B ．－12

C ．0

D ．－1

解析： 选D 由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3

个单位得到的是g (x )＝cos ????2????x ＋π3的图象，则g ????π6＝cos ???

?2????π6＋π3＝cosπ＝－1.故选D. 2．把函数y ＝sin ????5x －π2的图象向右平移π4

个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12

倍，所得函数图象的解析式为( ) A ．y ＝sin ?

???10x －3π4 B ．y ＝sin ????10x －7π2 C ．y ＝sin ????10x －3π2 D ．y ＝sin ?

???10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4

个单位长度，得y ＝sin ????5????x －π4－π2＝sin ????5x －7π4的图象，再把y ＝sin ????5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12

倍得y ＝sin ????10x －7π4的图象．

3．下列命题正确的是( )

A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2

个单位长度得到y ＝sin x 的图象 B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2

个单位长度得到y ＝cos x 的图象 C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象

D ．y ＝sin ????2x ＋π3的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3

个单位长度得到

第10页 共12页 解析：选A A 中，y ＝cos x 的图象y ＝cos ????x －π2＝sin x 的图象； B 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin ???

?x －π2＝－cos x 的图象； C 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象；

D 中，y ＝sin 2x 的图象

y ＝sin 2????x ＋π3＝sin ????2x ＋2π3的图象. 4．为了得到函数y ＝sin ?

???2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6

个单位长度 B ．向左平移π6

个单位长度 C ．向右平移π3

个单位长度 D ．向左平移π3

个单位长度 解析：选C 由于y ＝sin ????2x －π6＝cos ????π2－?

???2x －π6＝cos ????2π3－2x ＝cos ????2x －2π3＝cos ????2????x －π3，为得到该函数的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3

个单位长度． 5．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

???ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6

个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ????π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6

个单位长度可得y ＝sin ????x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ????12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ????12x ＋π6，所以f ???

?π6＝sin ????12×π6＋π6＝sin π4＝22

. 答案：22

6．要得到y ＝sin ????x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2

的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．

解析：cos x 2

＝sin ????x 2＋π2，将y ＝sin ????x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y ＝sin ????x 2＋φ2＋π2的图象．令φ2＋π2＝2k π＋π3

，

第11页 共12页

∴φ＝4k π

－π

3，k ∈Z.

∴当k ＝1时，φ＝11π

3

是φ的最小正值． 答案：

11π3

7．函数f (x )＝5sin ????2x －π

3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ 解：先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π

3个单位，得y ＝sin ????x －π3的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的1

2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ????2x －π3的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y ＝5sin ????2x －π

3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y ＝5sin ?

???2x －π

3－3的图象．

8．已知函数f (x )＝3sin ???

?12x －π

4，x ∈R. (1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期????

π2，9π2上的简图．

(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π

2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图

象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1

3

倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．

解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.

x π

2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π f (x )

3

－3

(2)将f (x )＝3 sin ????12x －π4图象上所有点向左平移π

2

个单位长度得到f 1(x )＝

第12页 共12页 3sin ????12????x ＋π2－π4＝3sin 12

x 的图象． 把f 1(x )＝3sin 12

x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．

所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ilol.html