高中数学必修四课时作业2：§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

高中数学必修四课时作业

1 1.5 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二

)

一、基础达标

1．已知简谐运动f (x )＝2sin ? ????π3x ＋

φ(|φ

|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为

( )

A ．T ＝6，φ＝π6

B ．T ＝6，φ＝π3

C ．T ＝6π，φ＝π6

D ．T ＝6π，φ＝π3

[答案] A

[解析] T ＝2πω＝2ππ3

＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.

∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6

. 2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是

( )

[答案] D

[解析] 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，

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2 当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，

当|a |>1时T <2π，B 符合．

排除A 、B 、C ，故选D.

3．y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如

图所示，则y ＝f (x )的[解析]式为

( )

A ．y ＝3sin(x ＋1)

B ．y ＝－3sin(x ＋1)

C ．y ＝3sin(x －1)

D ．y ＝－3sin(x －1)

[答案] D

[解析] A ＝3，ω＝2πT ＝1，由ω×1＋φ＝π，

∴φ＝π－1，

∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1)．

4．下列函数中，图象的一部分如下图所示，则下列[解析]式正确的是

( )

A ．y ＝sin ? ??

??x ＋π6 B ．y ＝sin ? ??

??2x －π6 C ．y ＝cos ? ??

??4x －π3 D ．y ＝cos ? ??

??2x －π6 [答案] D

[解析] 由图知T ＝4×? ??

??π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项[解析]式符合题目要求．

5．函数y ＝12sin ? ??

??2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________．

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3 [答案] x ＝－π6 [解析

] 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，

∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．

由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.

6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.

[答案] 9π10

[解析] 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为

2?

????2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝3π4时，y 有最小值－1，

∴45×3π4＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )．

∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.

7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为? ??

??π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点? ????38π，0，若φ∈? ??

??－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×? ??

??38π－π8＝π， ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．

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4

又∵

sin ? ????

π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，

∴φ＝2k π＋π

4，k ∈Z ，

又∵φ∈? ????－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ? ?

???2x ＋π4.

(2)列出x 、y 的对应值表：

x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π 2π y

2

－2

描点、连线，如图所示：

二、能力提升

8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π

6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点

( )

A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变

B ．向左平移π

3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

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5 标不变

C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变

D ．向左平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

标不变

[答案] A

[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，

∴ω＝2πT ＝2.

∵图象过点(π3，0)，

∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，

∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .

∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．

故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到

原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．

9．(2013·四川理)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，? ??

??ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是

( )

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6 A ．2，－π3

B ．2，－π6

C ．4，－π6

D ．4，π3

[答案] A

[解析] 34T ＝5π12－? ????－π3＝3π4， ∴T ＝π，由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2，

得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)

又因为当x ＝5π12时取得最大值2，

所以2sin ? ??

??2×5π12＋φ＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3，故选A.

10．关于f (x )＝4sin ? ??

??2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；

②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ? ??

??2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于? ??

??－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．

其中正确命题的序号为________．

[答案] ②③

[解析] 对于①，由f (x )＝0，

可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．

∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；

对于②，f (x )＝4sin ? ??

??2x ＋π3利用公式得：

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7 f (x )＝4cos ??????π2－? ????2x ＋π3

＝4cos ? ????2x －π6. ∴②对；

对于③，f (x )＝4sin ? ??

??2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z .

∴? ??

??－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z

∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错．

11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高

点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的[解析]式． 解 由于最小值为－2，所以A ＝2.

又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.

故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13，

y ＝2sin ? ??

??13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12，

因为|φ|<π2，所以φ＝π6.

故所求[解析]式为y ＝2sin ? ??

??13x ＋π6. 12．如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (|φ|<π2)的一个周期内的图象．

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8 (1)写出y 1的[解析]式；

(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的[解析]式；

(3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．

解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，

ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ? ??

??π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ? ??

??－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ? ??

??π4x ＋π4. (2)作出与y 1的图象关于直线x ＝2对称的图象，可以看出y 2的图象相当于将y 1的图象向右平移2个单位得到的．

∴y 2＝2sin ??????π4(x －2)＋π4＝2sin ? ??

??π4x －π4. (3)由(2)知，y 2的周期T ＝2ππ4

＝8，

频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.

三、探究与创新

13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点

M ? ????3π4，0对称，且在区间????

??0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，

∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．

即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，

又0≤φ≤π，∴φ＝π2.

由图象关于M ? ??

??3π4，0对称可知，

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9 sin ? ??

??3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在????

??0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，

∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qwnq.html