江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(应试笔记) (1)

1

1

江苏省高考数学复习知识点

一.集合性质与运算：不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想

二\.复数运算

1.运算律：⑴m n m n z z z +?=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.

2.模的性质：

⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||

z z z z =

； ⑶n n

z z =.

3.重要结论：

⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ⑵2

212

z z z z ?==； ⑶()2

12i i ±=±； ⑷

11i i i -=-+，11i

i i

+=-； ⑸i 性质：T=4；.

【拓展】：

1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i ()()3211101ωωωωω=?-++=?=

或12

2

ω=-.

A4.幂函数的的性质及图像变化规律：

(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；

(2)当0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地， 当1a >时，幂函数的图像下凸； 当01a <<时，幂函数的图像上凸；

(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23

a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且

1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.

A5.统计

1.抽样方法：

2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

①频率=样本容量频数

.

②小长方形面积=组距×

组距

频率

=频率. ③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.

3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

样本平均数： 1211

1()n

n i

i x x x x x n

n ==++

+=∑

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).

1x

2 (1)一组数据123,,,,n x x x x ? ①样本方差2

222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+???+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ； ②样本标准差

σ==

(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=

③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,

,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，方差为22a s . 样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'x ax b =+，222()S a S '=.

B1.线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边.

（2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.

2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A

A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：

两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.

3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：

若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；

若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”.

4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.

①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小；

②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：

（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，z 越小.

（2）y m

x n --表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别

y x 表示过原点和(),n m 的直线的斜率. （3）()()22t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.

（4）

y =(),x y 到点()0,0的距离.

（5）(cos ,sin )F θθ；

（

6）d =； （7）22a ab b ±+；

【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。

B 2.三角变换：

（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：

2=+ααα，22

αα=?；

3 22αβ

αβ++=?，()

222αβ

βααβ+=---； ()()2222=+-=-+==+-+-+-ααββαββαβαβ

βα

βα

；

22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；

2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；

154530,754530?=?-??=?+?；

()

424ππααπ+=--等. （2）“降幂”与“升幂”（次的变化） 2222cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα 2cos 2sin 12=-αα，2sin 2cos 12

=+αα， （3）切割化弦（名的变化）

利用同角三角函数的基本关系经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.

（4）常值变换

常值12.此外，对常值 “1”可作如下代换：22221sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042

x x x x x x ππ=+=-=?=?====等. （5）引入辅助角

一般的，sin cos )sin()a b +=

=+ααααα?，

期中cos tan b a ===

???.

特别的，sin cos )4A A A +=+π

; sin 2sin()3

x x x +=+π，

cos 2sin()6

x x x +=+π等. （6）特殊结构的构造

构造对偶式，化繁为简.

举例：22sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，22cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+?? 可以通过两式和，作进一步化简.

（7）整体代换

举例：sin cos x x m +=22sin cos 1x x m ?=-

sin()m +=αβ，12sin 70,sin 702

A B A B +=+?-=--?sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.

B 3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点．

(1)角的变换

因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以

任意两角和：与第三个角总互补，

任意两半角和与第三个角的半角总互余.

锐角三角形：①三内角都是锐角；

②三内角的余弦值为正值；

③任两角和都是钝角；

4 ④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．

22sin cos A

B C +=；22cos sin A B C +=；22tan cot A B C +=.

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．

面积公式：11sin 22

a S sh a

b C r p =

==?=其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222

A B B C C A ++= (3)对任意ABC ?，；

在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．

(4)在ABC ?中，熟记并会证明：

*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?． *2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan

tan 223A C =；3≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3≤

B π. (5)锐角AB

C ?中,2A B π

+>?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；

sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.

(6)两内角与其正弦值：

在ABC ?中，sin sin a b A B A B >?>?>?cos 2cos 2B A >，…

(7)若π=++C B A ，则222

2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥.

B 4.三角恒等与不等式

组一 33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-

()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-

323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθ

π

π

θθθθθ-==-+-

组二

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=

sin sin sin 4cos cos cos 222

A B C A B C ++= cos cos cos 14sin sin sin 222

A B C A B C ++=+ 222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……

组三 常见三角不等式

(1)若(0,)2x π

∈，则sin tan x x x <<；

(2) 若(0,)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+ (3) |sin ||cos |1x x +≥； (4)x

x x f sin )(=在),0(π上是减函数；

B5.概率的计算公式：

5 ⑴古典概型：()A P A =包含的基本事件的个数

基本事件的总数

； ①等可能事件的概率计算公式：()()()m card A p A n card I ==； ②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；

③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；

⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为

()g A P A Ω==的测度

构成事件的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

B6.最值定理

①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +

有最小值

②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值

214s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.

若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大； 当||y x -最小时，||y x +最小. 若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；

当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=

，则有：21

111()()by ax ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++++=≥ ④,,,R a x b y +∈，若1a

b

x y +=则有：(

)2(

)ay

bx

x y x y a b x y +=++=++=

B7.求函数值域的常用方法：

①配方法： ②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如

,(,)ax b

y x m n cx d +=∈+的函数值域；

④换元法：

⑤三角有界法：如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；

⑥不等式法：

利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧； ⑦单调性法：

⑧数形结合法：

⑨分离常数法：

【说明】：对分式函数一般先考虑分子分母次数，齐次的话则先分离出常数，若次数不一样且两倍的化则将次数低的整体换元： 1.2

b y k x =

+型，可直接用不等式性质； 2.2bx y x mx n

=++型，先化简，再用均值不等式； 3.

2x m x n y mx n ''++=+型，可先换元转化为类似于2型 4. 22x m x n y x mx n ''++=++型，通常先分离出常数再转换为3型

?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……

6

B8.函数值域的题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.

(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.

解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；

(3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型 (1)cx d y ax b

+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈. (2)(2)cx d y x ax b

+=≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围. (3)2223261

x x y x x +-=--： (21)(2)21()(21)(31)312

x x x y x x x x -++==≠-++ ，则1y 13y ≠≠且且y R ∈. (4)求2211

x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。 2211

x y x x -=++?2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域. (四) 不可变形的杂函数求值域：

(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.

(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.

B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <

，求函数1()4245

f x x x =-+-的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1

x x f x x x ++=≠-+的值域；

⑷变用公式：基本不等式2

a b +≥

22

2a b ab +≥, 2()2a b ab +≥， 2

a b +≥

，222()22a b a b ++≥. 前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；

例4.求函数15()22

y x =

<<的最大值； ⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求216()

y a b a b =+-的最小值； ⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>，且xy e =，求ln (2)y t x =的最大值； ⑺三角变换：例7.已知20y x π

<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；

7 ⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b =

+的最小值.

B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

若22x y a +=（a 为定值，0a ≠）

，可设,,x y αα==，其中02α

π<≤.

①(,))4

f x y x y πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数， 在15[,]44

ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444

πππππ上是增函数， 在1357[,],[,]4444

ππππ上是减函数；

③11(,)x y m x y x y xy +=+==

令sin cos )4

t π

ααα=+=+

，其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--. 由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-

，

从而2(,)1)m x y t t

==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值

若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =- ①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2b

+∞上是减函数；

②211(,)x y b m x y x y xy x bx

+=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2

b +∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b +∞上是增函数； ⑶积为定值

若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x =

①(,)c f x y x y x x

=+=+.当

0c >

时，在[

上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数； 当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；

②111(,)()x y c m x y x x y xy c x

+=+==+.

当0c >

时，在[

上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；

当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；

③2222

22(,)()2c c n x y x y x x c x x

=+=+

=+-

在(,-∞上是减函数，

在()+∞上是增函数. ⑷倒数和为定值

8 若

112x y d +=（d 为定值，111,,x d y

），则.c y x =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d ≠±，则1111,,z z x d y d

=-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d

+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d

--+∞上减函数； ②2

22

(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11[0,),(,)d d

--+∞上是增函数； ③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t

==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 注意：不要忘记最基本的方法：减元转化为函数，多个变量尽量减少

B11.理解几组概念

*1. 广义判别式

设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，则240b ac ?=-≥是方程

[]2()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别式.

*2. 解决数学问题的两类方法：

一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；

二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数

设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.

把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ；

当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影.

*4. 格点

在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.

*5. 间断点

我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.

*6. 拐点

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.

如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.

(1)求()f x ''；

(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根；

(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.

9

*7.驻点

曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性

定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有221()[()()]22

x x f f x f x ++11≥

，则称是()f x 上的凸函

数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有2

21(

)[()()]2

2

x x f f x f x ++11≤

，则称()f x D 是上的凹函

数. 【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.

若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.

B12. 了解几个定理 *1. 零点定理： 设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ． *2. 介值定理：

设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）． *3. 夹逼定理：

设当00||x x δ-＜＜时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0

，则必有.)(lim 0

A x f x x =→

【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）

C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力

C1.线段的定比分点公式 C 2. 抽象函数

C 3.函数图像的对称性

C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠) C5.对称性与周期性的关系

C6.函数图象的对称轴和对称中心举例 C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系 C8.关于奇偶性与单调性的关系. C 9.几何体中数量运算导出结论

数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中：

①体对角线长为2

2

2

c b a ++

，外接球直径2R ②棱长总和为4()a b c ++；

③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；

④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.

⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有

cos 2

α+cos 2

β+cos 2

γ=2，sin 2

α+sin 2

β+sin 2

γ=1.

(10)在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心； ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；

③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.

3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：

①全面积2S =；

②体积312V =；

③对棱间的距离2d =；

④相邻面所成二面角1

3arccos α=；

⑤外接球半径R =

； ⑥内切球半径12r =；

⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3h =

.

4.在立方体中： 设正方体的棱长为a ，则①体对角线长为a 3，

②全面积为26a ，

③体积3V a =，

④内切球半径为1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则 12r a =,22r =,22r =,且1231r r r =::

C10.圆锥曲线几何性质

椭圆方程的第一定义：为端点的线段

以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线

以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-

圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

C11.. C 12.

d =(a -

11

C 13.大小比较常用方法：

①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

②作商（常用于分数指数幂的代数式）；

③分析法；

④平方法；

⑤分子（或分母）有理化；

⑥利用函数的单调性；

⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；

⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

C 14.不定项填空题易误知识点拾遗：

(1)情况存在的“个数”问题

①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）；

②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；

③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）；

④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；

⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）；

⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）；

⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；

⑧两异面直线成60°，经过空间外一点与它们都成30°（45°，60°，80°）的直线有＿＿条.（1；2；3；4）；

(2)平面与空间的“区分”问题

1.错误的命题

①垂直于同一条直线的两直线平行；

②平行于同一直线的两平面平行；

③平行于同一平面的两直线平行；

④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；

⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；

⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直……

2.正确的命题

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；

④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面……

(3)易误提点：

①0a b ?<是,a b <>为钝角的必要非充分条件.

②截距不一定大于零，可为负数，可为零；

③0常常会是等式不成立的原因，0模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；

④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑

检验“左正右负”或“左负右正”；

⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

12 C15．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体

多边形； 面 边

体 积 面 积 ； 二面角 平面角

面 积 线段长； … ….

D 、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽

D1.熟知几个重要函数

1.()f x x

b a x =+ (1) 0,0

a b >>时，()f x 为“双钩函数”：

① 定义域：(,0)(0,)-∞+∞；

值域为(,[,)b a

-∞+∞； ② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；

③ 单调性：在区间(,)-∞+∞上单调递增； 在区间[上单调递减. ④ 极值：x =x =. ⑤ 记住()f x x b

a x =+(0,0)a

b >>的图像的草图.

⑥ 不等式性质：0x >时，()f x x b a x =+≥；

0x <时， ()f x x

b

a x =+-≤(2) 0,0a

b <>时，()f x 在区间00,（，）（，）-∞+∞上为增函数. 【思考】：图像大致如何分布.

(3)常用地，当1a b ==时，()1f x x x =+

的特殊性质略. 【探究】：①函数()1

f x x b

a x =+的图像变化趋势怎样？

②()()()22,n n b

b f x ax f x ax n x x

*=+=+∈N 的有关性质.

y

13 2.(0,)ax b y c ad bc cx d

+=≠≠+ 化简为，ax b y cx d b

a c c d x c

+==+++ ①定义域：(,)(,)d d c c

-∞-+∞；值域为a y c ≠的一切实数； ②奇偶性：不作讨论；

③单调性：当

0b c <时，在区间(,],[,)d d c c

-∞-+∞上单调递增； 当0b c >时，在区间(,],[,)d d c c

-∞-+∞上单调递减. ④对称中心是点(,)d a c c -； ⑤两渐近线：直线d c x =-和直线a c y =； 【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x 的系数确定.

⑥平移变换：(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+可由反比例函数(0)b c k y x

=≠图像经过平移得到； ⑦反函数为b dx cx a

y --=； 【说明】：分式函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+与反比例函数(0)

c c y x =≠，离心率均为，同源于双曲线2222

1y x a b -=. 3.三次函数图像与性质初步

*1.定义：形如)0(23≠+++=a d cx bx ax y 的函数叫做三次函数. 定义域为R ,值域为R .

*2.解析式：①一般式：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠；

②零点式：123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠

*3.单调性：

【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我

们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤

判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.

那三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像及性质，要从那里入手呢？

再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、

拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性

质. )0(23≠+++=a d cx bx ax y

所以，2()32f x ax bx c '=++，导函数对称轴3x a b

=-.

【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.

2

412b ac ?=-（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）

（一）若24120b ac ?=->

令()0f x '=，由根与系数关系知：1223x x b a =-+，123x x c a = 两极值点：a

ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= （1）当0a >，0b >，0c >，约定0d >，则拐点在y 轴左边，极值点分布在y 轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：

14

（2）当0a >，0b >，0c <

y

对值；

（3）当0a >，

0b <

，0

c >

时，拐点在y 轴右边，极值点分布在

y

轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略

（4）当0a

>，0b <

，0c <时，拐点在

y 轴右边，极值点分布在y 轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略 （二）若

2

4120

b

ac ?=-<

由1

2x x -==知：无极值点，拐点横坐标仍为3a b

-，所以

图像如右图所示.

（三）若0=? 即032=-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)

(x f 在),(+∞-∞为增函数.

x *4.极值：

函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系

(1)若230≤b ac -，则)(x f 在R 上无极值；

(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.

*5.零点个数(根的性质)

函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像与x 轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？

（联系函数的极值，进行等价转化）

一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；

两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；

三个交点：极大值大于零，极小值小于零.

D2.几个重要图像

1.y ax b

=-（0

a b

>>） 2.y

3.y x a x b

=-+-（0

a b

>>） 4.y x a x b

=---（0

a b

>>）

5.x a y b m

-+-= 6.x a y b m

---=

D3.函数)

(

)

(

)

(x

g

x

f

x

F

y-

=

=的零点处理：

（1）)

(x

F

y=的零点（不是点而是数）?()0

F x=的根

?()

y F x

=与x轴的交点的横坐标

?)(

),

(x

g

y

x

f

y=

=的交点问题.

（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.

（3）零点存在定理：)

(x

f

y=单调且端点值异号

012

()

,

x x x

??∈使

()0

f x=.

【说明】：

1.方程0

)

(=

x

f在)

,

(

2

1

k

k上有且只有一个实根，与0

)

(

)

(

2

1

<

k

f

k

f不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.

特别地，方程)0

(0

2≠

=

+

+a

c

bx

ax有且只有一个实根在)

,

(

2

1

k

k内，等价于0

)

(

)

(

2

1

<

k

f

k

f，或0

)

(

1

=

k

f且

b

+

15

16 22211k k a b k +<-<，或0)(2=k f 且22122k a

b k k <-<+. 2.()f x 在[],a b 上连续，且()()0f a f b <，则()f x 在[],a b 上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.()()0f a f b >，()f x 在[],a b 上可能无零点也可能有无数个零点.

3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对(),0x .

D4.比例的几个性质 ①比例基本性质：

bc ad d

c b a =?=； ②反比定理：c

d a b d c b a =?=； ③更比定理：d

b c a d c b a =?=； ④合比定理；d d c b b a d c b a +=+?=； ⑤分比定理：d

d c b b a d c b a -=-?=； ⑥合分比定理：d c d c b a b a d c b a -+=-+?=；⑦分合比定理：d

c d c b a b a d c b a +-=+-?=； ⑧等比定理：若n n b a b a b a b a ==== 332211，0321≠++++n b b b b ，则11321321b a b b b b a a a a n n =++++++++ . D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理）

在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BC

BC AB BD AC AD ?-+=222． ①若AD 是BC 上的中线，222222

1a c b m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc c

b t a -?+=2，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()

c p b p a p p a h a ---=2，其中p 为半周长． （2）三角形“五心”的向量性质(P 为平面ABC 内任意一点)： ①O 为ABC ?的重心?1

3()PO PA PB PC =++ 0OA OB OC ?++=

②O 为ABC ?的垂心?0OA BC OB CA OC AB ?=?=?=

OA OB OB OC OC OA ??=?=? 222222OA BC OB CA OC AB ?+=+=+； ③O 为ABC ?的内心?||||||||||||()()()AB

AC BA

BC CA

CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ???-=-=-

()|||||||||||0PA PB PC AB BC CA PO BC CA AB ?=++++= ④O 为ABC ?的外心

?()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=

?,,OA AB OB BA OB BC OC CB OC CA OA AC ?=??=??=?

222

OA OB OC ?==； ⑤O 为ABC ?中A ∠的旁心||||||OA OB OC BC AC AB ?=+；

D6.含绝对值不等式

(1)复数集内的三角形不等式： 121212z z z z z z -±+≤≤

其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.

B C

M F H A

17 (2)向量不等式：

||||||||||||a b a b a b -±+≤≤

【注意】： a b 、同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；

a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；

a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)

(3)代数不等式：

,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥；

,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥.

D7.重要不等式

1、和积不等式：,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．

【变形】：①22

2()22

a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==） 【注意】：

(,)2a b a b R ++∈，2()(,)2a b ab a b R +∈≤ ②22223()()3()a b c a b c ab bc ca ++++++≥≥ (当且仅当a b c ==时取“=”号)．

2、均值不等式：

两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”

2

2“”112ab a b a b a b a b +===++时取） 【拓展】：

①幂平均不等式：

222212121...(...)n n a a a a a a n

++++++≥(,,,)a b c R a b c ∈==时取等 ② “算术平均≥几何平均（a 1、a 2…a n 为正数）”：

12n a a a n

+++a 1=a 2=…=a n 时取等） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ①332

2a b a b ab ++≥

②3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---

?3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）

；

3a b c ++ ?3()3a b c abc ++≤333

3

a b c ++≤ 4、柯西不等式：

①（代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222()()()a b c d ac bd +++≥，其中等号当且仅当bc ad =时成立.

②（向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||αβαβ??≥，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.

③（三角形式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

【思考】：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

④（推广形式）设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则

222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++

+++++++≤

18 等号成立当且仅当n

n b a b a b a === 2211时成立．（约定0=i a 时，0=i b ） 5、绝对值不等式：123123a a a a a a ++++≤

(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤

（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）

6、放缩不等式：

①00a b a m >>>>，，则

b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】：b b m a a m

+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则

，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈，b d a c <，则b b d d a a c c

+<<+； ③n N +∈

< ④,1n N n +∈>，21111111n n n n n

-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈.

D8.三角函数最值题型及解题捷径

①sin cos y a x b x =+； ②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++；

③2sin cos y a x b x c =++； ④2sin cos y a x x =?（均值不等式法）； ⑤含有sin cos x x ±或sin cos x x ?； ⑥sin cos a x c y b x d

+=

+.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3onq.html