专题16 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用-2018年高考数学（理）

【高频考点解读】

象变化的影响

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图

2.解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题

【热点题型】

热点题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及变换 π2x＋?， 例1、已知函数y＝2sin?3??(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

π

2x＋?的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到。 (3)说明y＝2sin?3??π2ππ2x＋?的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝。 解析：(1)y＝2sin?3??23ππ

2x＋?＝2sinx′。 (2)令x′＝2x＋，则y＝2sin?3??3列表：

x x′ y＝sinx′ π2x＋? y＝2sin?3??描点连线得函数图象：

π－ 60 0 0 π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0

【提分秘籍】

1．在指定区间[a，b]上画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法

(1)选取关键点：先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内选取特殊点，连同区间的两端点一起列表，此时列表一般是六个点。

(2)确定凹凸趋势：令ωx＋φ＝0得x＝x0，则点(x0，y0)两侧的变化趋势与y＝sinx中(0,0)两侧的变化趋势相同，可据此找准对应点，以此把握凹凸趋势。 2．两种不同变换思路中平移单位的区别

由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位；|φ|

而先伸缩再平移，平移的量是(ω＞0)个单位。

ω提醒：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。 【举一反三】

1π?已知函数y＝3sin??2x－4?。 (1)用五点法作出函数的图象；

(2)说明此图象是由y＝sinx的图象经过怎么样的变化得到的。 解析：(1)列表：

x 1πx－ 24π 20 3π 2π 25π 2π 7π 23π 29π 22π

1π?3sin??2x－4? 描点、连线，如图所示：

0 3 0 －3 0

方法二：“先伸缩，后平移”

11

先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象；再把y＝sin

22π

x图象上所有的点向右平移个单位，

2

πxπ1?x－π?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横x－?＝sin?－?的图象，得到y＝sin?最后将y＝sin?24??24?2?2?1π?

坐标不变)，就得到y＝3sin??2x－4?的图象。 热点题型二由图象求解析式

ππ

ω＞0，－＜φ＜? 例2、(1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?22??的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

ππππ

A．2，－ B．2，－C．4，－ D．4，

3663

?0，π??图象的一部分，则f(x)的解析式为(2)如图所示是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B?A＞0，ω＞0，|φ|∈??2??

__________。

2π?

答案：（1）A（2）f(x)＝2sin??3x＋6?＋1

5π?111π5π6ππ

解析：(1)根据图示可知T＝－＝＝，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过??12，2?代入21212122πππ

解析式，结合－＜φ＜，可得φ＝－，故选A。

223

【提分秘籍】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝。

T(3)求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升π

时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的

23π

交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π。

2【举一反三】

π

A＞0，ω＞0，|φ|＜?的图象如图所示，则它的解析式为__________。 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)?2??

M－mM＋m

，B＝。 22

ππ?

【答案】y＝2sin??4x＋4?

T

【解析】由图象得A＝2，＝3－(－1)＝4，

2所以T＝8。 2π2π1ω＝＝＝π，

T84

1π又π×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，且|φ|＜， 42ππ?π

所以φ＝，所以y＝2sin??4x＋4?。 4

热点题型三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 例3．【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x+π)的一个零点为x=【答案】D

? 6?)，则下列结论错误的是 38?B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

3?D．f(x)在(,π)单调递减

2??5?4?????x??,??x???,?2363????，函数在该区间内不单调，选择D选项. 【解析】当时，π

【变式探究】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A＞0,0＜φ＜)的最大值为2，最小正周期为π，直线

2π

x＝是其图象的一条对称轴。 6(1)求函数f(x)的解析式；

ππ

x－?－f?x＋?的单调递增区间。 (2)求函数g(x)＝f??12??12?2π

解析：(1)由题意，得A＝2，ω＝＝2，

π

ππ?π＋φ?＝±2×＋φ?＝±当x＝时，2sin?2，即sin?6??3?1， 6πππ

所以＋φ＝kπ＋，解得φ＝kπ＋，

326ππ又0＜φ＜，所以φ＝。

26π2x＋?。 故f(x)＝2sin?6??

【提分秘籍】

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

π

(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数。

22π

(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝。

ω

ππ

(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增

22π3π

区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间。

22

(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得中心坐标。 ππ

利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴。

22【举一反三】

已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴π

间的距离为。

2π?(1)求f??8?的值；

π

x＋?的最大值及对应的x的值。 (2)求函数y＝f(x)＋f??4?

πx＋? (2)y＝2cos2x＋2cos2??4?π2x＋? ＝2cos2x＋2cos?2??＝2cos2x－2sin2x π?＝22sin??4－2x?。

ππ

令－2x＝2kπ＋(k∈Z)，y有最大值22， 42π

所以当x＝－kπ－(k∈Z)时，y有最大值22。

8热点题型四函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用

π

例4、某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cost－

12sin

π

t，t∈[0,24)。 12

(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差。

π?π?2π2π?－1?－3＝10。 ×8－sin?×8＝10－3cos－sin＝10－3×解析：(1)f(8)＝10－3cos??12??12??2?233故实验室上午8时的温度为10 ℃。

(2)因为f(t)＝10－2?ππ

t＋?≤1。 1≤sin??123?

πππππ7π3π1π?

t＋?，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－cost＋sint＝10－2sin??123?31233?212212?

ππππ

t＋?＝1；当t＝14时，sin?t＋?＝－1。 当t＝2时，sin??123??123?于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8。

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃。 【提分秘籍】三角函数模型的应用

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。 【举一反三】

π

某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos??6x－

?(x＝1,2,3，…，12)?

来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__________℃。 答案：20.5

解析：因为当x＝6时，y＝a＋A＝28； 当x＝12时，y＝a－A＝18， 所以a＝23，A＝5， π所以y＝f(x)＝23＋5cos??6

x－

?，

?

π?1×4＝23－5×＝20.5。 所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos??6?2

1.【2017天津，理7】设函数f(x)?2sin(?x??)，x?R，其中??0，|?|??.若f( 且f(x)的最小正周期大于2?，则

（A）??（C）??2?，?? 3121???，??? 324【高考风向标】

5????)?2，f()?0，88 2???（B）??，??? 312（D）??1??，??324

【答案】A

5??????2k1??422?82【解析】由题意{其中k1,k2?Z，所以???k2?2k1??，又T? ，?2?，11??33????k2?821?，??2k1???，由???得??，故选A． 312122π2【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

3πA. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6所以0???1，所以??到曲线C2

B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移到曲线C2

C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2

D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2 【答案】D

π个单位长度，得121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得212

【考点】三角函数图像变换.

3.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x+π)的一个零点为x=【答案】D

? 6?)，则下列结论错误的是 38?B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

3?D．f(x)在(,π)单调递减

2??5?4?????x??,??x???,?2363????，函数在该区间内不单调，选择D选项. 【解析】当时，

【考点】函数y?Acos??x???的性质 1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的点( )

（A）向左平行移动（C）向左平行移动【答案】D

【解析】由题意，为了得到函数

，只需把函数

的图像上所有

个单位长度（B）向右平行移动个单位长度 （D）向右平行移动

个单位长度 个单位长度 的图象，只需把函数

的图象上所有

点向右移个单位，故选D.

2.【2016高考新课标2理数】若将函数称轴为（ ） （A）

（B）

的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对

（C）【答案】B

【解析】由题意，将函数则平移后函数的对称轴为

（D）

的图像向左平移

，即

个单位得

，故选B.

，

3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（）个单位长度

得到点，若位于函数的图象上，则（）

A.，的最小值为B.，的最小值为

C.，的最小值为D.，的最小值为

【答案】A 【解析】由题意得，故选A.

4.【2016高考新课标3理数】函数向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】

的图像可由函数

的图像至少

，当s最小时，所对应的点为

，此时

，

【2015高考山东，理3】要得到函数

的图象，只需要将函数

的图象（）

（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位

（C）向左平移【答案】B 【解析】因为

个单位 （D）向右平移个单位

，所以要得到函数的图象，只需将函

数的图象向右平移个单位.故选B.

，

【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（） A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】由图象知：的最大值是

【2015高考湖南，理9】将函数图像，若对满足A.

B.

C.

的

，

，因为

，故选C．

的图像向右平移，有

，则

个单位后得到函数（）

的

，所以

，解得：

，所以这段时间水深

D.

【答案】D.

【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0 0 5 0 的解析式； 的图象. 若

图

在某一个周期内的

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将

图象上所有点向左平行移动

，求的最小值.

；（Ⅱ）

.

个单位长度，得到

象的一个对称中心为【答案】（Ⅰ）

【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得

且函数表达式为（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为令由于函数解得

，

的对称中心为

，解得的图象关于点

. 由

，

0 0 5 0 . 数据补全如下表：

0 . ，得

. ，

.

， . .

成中心对称，令可知，当

时，取得最小值

（2014·四川卷）为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( ) 1

A．向左平行移动个单位长度

21

B．向右平行移动个单位长度

2C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 【答案】A

?1?【解析】因为y＝sin(2x＋1)＝sin2?x＋?，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin 2x?2?

1

的图像向左平行移动个单位长度．

2

π??（2014·安徽卷）若将函数f(x)＝sin?2x＋?的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则4??φ的最小正值是________． 3π

【答案】

8

?ππ?（2014·北京卷）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间?，??62??π??2π??π?上具有单调性，且f??＝f??＝－f??，则f(x)的最小正周期为________． ?2??3??6?

【答案】π

π2πππ

＋＋326T2

【解析】结合图像得＝－，即T＝π.

422

1

（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.

2π2

(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；

22(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

π22

【解析】方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝. 222所以f(α)＝1

＝. 2

12

(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cosx－

211＋cos 2x1＝sin 2x＋－ 22211

＝sin 2x＋cos 2x 22＝

π?2?

sin?2x＋?，

4?2?

2?22?1×?＋?－ 2?22?2

2π

所以T＝＝π.

2

πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

2423ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

88

3ππ??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.

88??12

方法二：f(x)＝sin xcos x＋cosx－

211＋cos 2x1＝sin 2x＋－ 22211

＝sin 2x＋cos 2x 22＝

π?2?

sin?2x＋?.

4?2?

π2π

(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，

224从而f(α)＝π?223π1?sin?2α＋?＝sin＝. 4?2242?

2π

(2)T＝＝π.

2

πππ3ππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

242883ππ??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.

88??

（2014·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D

【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线

l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．

（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－3cost－sint，t∈[0，24)．

(1)求实验室这一天的最大温差．

(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ π?1π??3π?π

cost＋sint?＝10－2sin?12t＋3?，

??12212??2

π?πππ7π?π

又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin?t＋?≤1.

3?31233?12【解析】(1)因为f(t)＝10－2?当t＝2时，sin?

π

12π12

?πt＋π?＝1；

3??12?

π??π

当t＝14时，sin?t＋?＝－1.

3??12

于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

?ππ?（2014·江西卷）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈?－，?.

?22?

π

(1)当a＝2，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

4

?π?(2)若f??＝0，f(π)＝1，求a，θ的值． ?2??π??π?【解析】(1)f(x)＝sin?x＋?＋2cos?x＋?＝

4?2???

222?π?(sin x＋cos x)－2sin x＝cos x－sin x＝sin?－x?.

222?4?π?3ππ?因为x∈[0，π]，所以－x∈?－，?，

4?4?4故f(x)在区间[0，π]上的最大值为

2

，最小值为－1. 2

π???cos θ（1－2asin θ）＝0，?f??2?＝0，?

(2)由???得? 2

??2asinθ－sin θ－a＝1.??f（π）＝1，

?ππ?又θ∈?－，?，知cos θ≠0， ?22?

??1－2asin θ＝0，所以?

?（2asin θ－1）sin θ－a＝1，?

a＝－1，??解得?π

θ＝－.?6?

πx222

（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sin，若存在f(x)的极值点x0满足x0＋[f(x0)]＜m，则

mm的取值范围是( )

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C

（2014·山东卷）已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点?

?π，3?和点?2π，－2?.

??3?

?12???

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间． 【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x. 因为y＝f(x)的图像过点?

?π，3?和点?2π，－2?，

??3?

?12???

ππ

3＝msin＋ncos，??66

所以?

4π4π

??－2＝msin3＋ncos3，13?3＝m＋n，?22即?

31

－2＝－m－n，??22解得m＝3，n＝1.

π??(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.

6??π??由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?. 6??设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x0＋1＝1，所以x0＝0，

即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． π??将其代入y＝g(x)得，sin?2φ＋?＝1.

6??π

因为0<φ<π，所以φ＝. 6

π??因此，g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x. 2??

π

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

2π??所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z. 2??π??（2014·陕西卷）函数f(x)＝cos?2x－?的最小正周期是( ) 6??A.

π

B．π C．2π D．4π 2

2

【答案】B

2π2π

【解析】已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为T＝，故函数f(x)的最小正周期T＝＝

ω2π.

π??（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin?3x＋?. 4??(1)求f(x)的单调递增区间；

π??α?4?(2)若α是第二象限角，f??＝cos?α＋?cos 2α，求cos α－sin α的值． 4??3?5?π?π?【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，

2?2?πππ

由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，

242π2kππ2kπ得－＋≤x≤＋，k∈Z.

43123

?π2kπ，π＋2kπ?，k∈Z. 所以，函数f(x)的单调递增区间为?－＋3123??4?

π?4?π??22

(2)由已知，得sin?α＋?＝cos?α＋?(cosα－sinα)，

4?5?4??

ππ?ππ4?22

所以sin αcos＋cos αsin＝?cos α cos－sin αsin?(cosα－sinα)，

44?445?42

即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)(sin α＋cos α)．

5当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 3π

得α＝＋2kπ，k∈Z，

4此时，cos α－sin α＝－2.

52

当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)＝.

4

由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－综上所述，cos α－sin α＝－2或－

5. 2

5. 2

3?π?2

（2014·天津卷）已知函数f(x)＝cos x·sin?x＋?－3cosx＋，x∈R.

3?4?(1)求f(x)的最小正周期；

?ππ?(2)求f(x)在闭区间?－，?上的最大值和最小值．

?44?

π?1?π??π?ππ??π?(2)因为f(x)在区间?－，－?上是减函数，在区间?－，?上是增函数，f?－?＝－，f?－?＝12?4?12??4?124??4?1?π?1

－，f??＝， 2?4?4

11?ππ?所以函数f(x)在区间?－，?上的最大值为，最小值为－. 42?44?

（2014·浙江卷）为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像( ) ππ

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

44ππ

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

1212

π????π??【答案】C 【解析】y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos?3x－?＝2cos?3?x－??，所以将函数y＝2cos 3x4????12??π

的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选C.

12

ππ?π?（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ

2π?3π?3?π?α??(2)若f??＝?<α

3?2??2?4?6?

2π

【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以?(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝

T＝2.

又因为f(x)的图像关于直线x＝π

3对称，

所以2×π3＋φ＝kπ＋π

2，k＝0，±1，±2，….

因为－π2≤φ＜π

2，

所以φ＝－π

6

. (2)由(1)得???α?2???＝3sin(2×απ32－6)＝4， 所以sin???α－π6??1?＝4.

由

π6＜α＜2π3得0＜α－ππ

6＜2

， 2

所以cos???α－π6??1－sin2

?＝

???

α－π6???＝1－??1?4??15?

＝4.

因此cos??3π?α＋2??? ＝sin α

＝sin???

（α－π6）＋π6???

＝sin???α－π6???cosπ6＋cos??π?α－6??π?sin6 ＝13151

4×2＋4×2 ＝

3＋15

8

. 【高考冲1．为了得到函数刺】

y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( ) A．向左平行移动1个单位长度

B．向右平行移动1个单位长度

C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度

解析：由图象平移的规律“左加右减”，可知选A。 答案：A

2．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( A.π8 B.π4

)

3π3πC. D. 84

π

2x＋?，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2解析：f(x)＝2sin?4??πππkπ3π

2x＋－2φ?，由该函数为偶函数可知2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值sin?4??4228为3π。 8

答案：C

3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象( ) ππ

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

124ππ

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

124

ππ

3x－?，解析：因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos?所以将y＝2cos3x的图象向右平移个单位后可得到y＝24??12π

3x－?的图象。 cos?4??答案：A

ππ

2x＋?的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( ) 4．将函数y＝3sin?3??2π7π?

A．在区间??12，12?上单调递减 π7π?B．在区间??12，12?上单调递增 ππ

－，?上单调递减 C．在区间??63?ππ

－，?上单调递增 D．在区间??63?

ππ2ππ2ππ

x－?＋?＝3sin?2x－?，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ解析：由题可得平移后的函数为y＝3sin?2?3????2?3?232＋

π7ππ7π

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)上单调递增，≤x≤kπ＋，故该函数在?当k＝0时，选项B满足条件，故选B。 1212??1212

答案：B

π

5．将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是( )

4A．y＝cos2x＋sin2x B．y＝cos2x－sin2x C．y＝sin2x－cos2x D．y＝sinxcosx

π向左平移?2?x＋π?＋π?＝2sin?2x＋π＋π?＝2cos?2x＋π?2x＋?π解析：y＝sin2x＋cos2x＝2sin?――→y＝2sin4?个单位42?4??????4?4?4＝cos2x－sin2x。

答案：B

π

6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则

2只需将f(x)的图象( )

π

A．向左平移个长度单位

6π

B．向右平移个长度单位

3π

C．向右平移个长度单位

6π

D．向左平移个长度单位

3

T12π7ππ

解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可得A＝1，根据＝·＝－，求得ω＝2，再根据五点法作图

44ω123ππ

可得2×＋φ＝π，求得φ＝，

33

πππ

2x＋?＝sin2?x＋?，故把f(x)的图象向右平移个长度单位，可得g(x)＝sin2x的图象。 ∴f(x)＝sin?3???6?6答案：C

ππ

7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再

22π?π

向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f??6?＝__________。 6

πππ

x＋?的图象，再把函数y＝sin?x＋?图象解析：把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin??6??6?61π?π

x＋的图象，所以f??＝上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin??26??6?1ππ?π2

×＋＝sin＝。 sin??266?42答案：

2

2

8．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝__________。

π

0，?上的最大值为3，则 9．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m在区间??2?(1)m＝__________；

(2)当f(x)在[a，b]上至少含20个零点时，b－a的最小值为__________。 解析：(1)f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m ＝3sin2x＋1＋cos2x＋m π

2x＋?＋m＋1。 ＝2sin?6??πππ7π

因为0≤x≤，所以≤2x＋≤。

2666π1

2x＋?≤1， 所以－≤sin?6??2

f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，∴m＝0。

π2π

2x＋?＋1，周期T＝＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点。 (2)由(1)得f(x)＝2sin?6??2ππ1

2x＋?＋1＝0，得sin?2x＋?＝－， 由2sin?6?6???2π7ππ11π

2x＋＝2kπ＋，k∈Z或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，

6666π5π

所以x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z。

26

ππ5π

不妨设a＝，则当b＝9π＋时，f(x)在区间[a，b]上恰有19个零点，当b＝9π＋时恰有20个零点，此

226π28π

时b－a的最小值为9π＋＝。

3328π

答案：(1)0 (2) 3

π

其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜?的周期为π，且图象上有一个最低点为10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?2??

2π

，－3?。 M??3?(1)求f(x)的解析式；

3

(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合。

2解析：(1)由题意知：A＝3，ω＝2， 4π?由3sin??3＋φ?＝－3， 4ππ

得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，

32－11π

即φ＝＋2kπ，k∈Z。

6ππ

而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝。

26π2x＋?。 故f(x)＝3sin?6??

π33

2x＋?＜， (2)f(x)＜等价于3sin?6?2?2π1

2x＋?＜， 即sin?6?2?

7πππ

于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)，

6662π

解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)，

3

32π

故使f(x)＜成立的x的取值集合为{x|kπ－＜x＜kπ，k∈Z}。

23

2π

，－3?。 M??3?(1)求f(x)的解析式；

3

(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合。

2解析：(1)由题意知：A＝3，ω＝2， 4π?由3sin??3＋φ?＝－3， 4ππ

得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，

32－11π

即φ＝＋2kπ，k∈Z。

6ππ

而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝。

26π2x＋?。 故f(x)＝3sin?6??

π33

2x＋?＜， (2)f(x)＜等价于3sin?6?2?2π1

2x＋?＜， 即sin?6?2?

7πππ

于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)，

6662π

解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)，

3

32π

故使f(x)＜成立的x的取值集合为{x|kπ－＜x＜kπ，k∈Z}。

23

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