控制器试验台的控制分析

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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制动器试验台的控制方法分析

摘要

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。为了在制动器惯性试验台架上更好的模拟制动器的路试状况，真实反映制动器性能，本文建立等效转动惯量的计算模型，之后提出驱动电流关于扭矩、角加速度、补偿惯量等参数的函数模型，基于能量守恒定律评价控制方法结果的模型，并提出差分方程模型评价控制方法的优劣。

首先，我们利用能量守恒定律求出等效转动惯量为52.0kg?m2，设计出8种机械惯量，根据电动机所能补偿的惯量范围，确定出要补偿的惯量为12kg?m2和-18kg?m2。

通过驱动电流关于扭矩、角加速度、补偿惯量等参数的函数模型，利用已知数据求出驱动电流为174.9612A和-262.44A，负值表示电流对车轮胎等期间的模拟系统做负功，即表现为车轮转速降低。

在问题四中，通过MATLAN拟合出扭矩-时间图形和扭矩-转速图形（见正文图5-1、图5-2），更加直观的观察出制动器的运行阶段，确定在0.97s之前为制动器启动阶段，0.97s之后为制动器稳定阶段。然后运用差分方程模型，计算出在试验台上试验时制动器能量的消耗，以及路试时制动器能量的消耗，通过比较两者差值约为25146000J，误差较大，判断出此控制方法存在较大的失误。

在问题五中，我们建立BP神经网络模型，将上一时间的瞬时转速和瞬时扭矩作为输入，分配权重之后，将所要的驱动电流作为输出。根据问题三的函数模型推导出;

?wI驱?1.5?Jz?Jj???t

作为计算神经网络模型的公式。但是此方法的学习率不宜选取，所要在第六问中我们又推出了更加完善的控制方法。

在问题六中，由于电动机能补偿能量我们建立反馈补偿算法模型，推导出：

2k(I?Ia)[Wn2?1?(2Wn?1?Wn)2]?[k(Tn?1?Tn)?2i(n)](Wn?1?Wn)?ti(n?1)?2(3Wn?1?Wn)?t

试验台在上一时间段缺少的能量，可以根据实际参数计算出来，那么在下一时间段，电动机就可以直接弥补出那部分能量，又可以称之为补偿能量。

模型中利用了大量有效、可靠的原始数据和相关信息，利用数理模型、动力学模型和神经网络的有关知识，对电流的变化趋势进行分析、预测，得出了在试验条件下的电流的预测结果。同时，用到的模型方法也可以推广到生产方面。动态数据分析模型可以用于地理因素等的分析中，当然，只需将模型稍作改变即可；BP神经网络模型也适用于对培养记得配比、不同元素的分配问题中等，只需要改变其中的输入层、隐含层和输出层，再微调一下程序和相关数据即可。

关键词： 物理函数，MATLAB拟合，差分方程模型，BP神经网络，反馈补偿算法

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一、问题重述

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。 由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 现在要求你们解答以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392

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m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？、 3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。

二、问题分析

2.1 问题一

根据物理上的能量守恒定律，计算出汽车平动产生的能量和飞轮转动时产生的动能，利用角速度和线速度的转化关系，直接求出等效的转动惯量。 2.2 问题二

分析由三个钢制飞轮组成的飞轮组所能产生的转动惯量，通过质点惯量求出一个飞轮在转动时产生的能量。通过飞轮的体积和均质的密度，根据每一种飞轮不同的厚度计算出每一种飞轮所能产生的转动惯量。再根据题目文章中对机械惯量的诠释，排列组合出可能出现的机械惯量值。利用问题一求出的等效转动惯量，以及问题中给出的相应的惯量范围，可以从多种机械惯量中挑选出几种，并逐一求出需要电动机补偿的惯量。 2.3 问题三

同样根据题中给出的比例公式，查阅扭矩与补充惯量和加速度之间的关系。利用题干中的已知条件求出角加速度，代入公式就可以解出电动机的驱动电流。在这里由于问题二中补充惯量正负两个不同数值，解出的驱动电流亦有正负两个不同数值，但都符合假设的实际情况。 2.4 问题四

根据附件中提供的控制方法得到的数据，对扭矩和时间进行分析，确定制动过程中的启动区和稳定区。然后运用差分方程模型，计算出在试验台上试验时制动器能量的消耗，以及路试时制动器能量的消耗。对比两者之间的差值，如果误差较小，则说明此方法真实可靠；如果误差较大，则说明此控制方法并不真实，存在较大的错误。 2.5 问题五

为了实现根据前一个时间段观测到的瞬时转速或瞬时扭矩来判断驱动电流和控制方法，我们建立BP神经网络模型。将前一个时间的参数作为输入，通过权重分配，得出驱动电流的输出。利用问题三中建立的函数模型，化简推导出可以利用的神经网络模型。

2.6 问题六

问题五中运用到的神经网络模型本身就有所缺陷，学习率不宜选取。所以我们通过问题二考虑到了反馈补偿算法模型，将上一时间段机械惯量与等效转动惯量的差值计算

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