数学建模复习题

1．什么是数学模型和数学建模？数学建模的方法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。

数学建模：利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解和检验

一种抽象模型，是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这个数学结构：是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

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2．椅子放稳问题

§2.1椅子能在不平的地面上放稳吗通常~ 三只脚着地放稳~ 四只脚着地问题分析?四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;模型假设?地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;?地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。?通过旋转的方式调整椅子的位置 3

模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来?椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性B ′BA ′用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置?四只脚着地四个距离(四只脚)椅脚与地面距离为零C距离是?的函数两个距离C ′OD?D′Ax正方形对称性A,C 两脚与地面距离之和~ f(?)B,D 两脚与地面距离之和~ g(?)正方形ABCD绕O点旋转 模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地f(?) , g(?)是连续函数对任意?,f(?), g(?)至少一个为0数学问题已知：f(?) , g(?)是连续函数;对任意?，f(?) ?g(?)=0 ;且g(0)=0，f(0) > 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(?/2)=0 , g(?/2)>0.令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)>0和h(?/2)<0.由f, g的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) .因为f(?) ?g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0.评注和思考建模的关键~?和f(?), g(?)的确定考察四脚呈长方形的椅子 假设条件的本质与非本质 4

3．核军备竞赛的模型及分析，如乙安全线的性质及分析等，模型解释及应用

模型假设以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略：?认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；?己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一枚核导弹。摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。 y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当x=0时y=y0，y0~乙方的威慑值y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数双方yy?y0?x安全区乙安全区y=f(x)乙安全线y00y0?y?f(x)?y0?x图的模型yy1y0x0y=f(x)x0P(xm,ym)甲安x=g(y)全区x1xP~平衡点(双方最少导弹数) 精细模型x

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精细模型x=a y,yx

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模型解释?双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标( x,y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率变小乙安全线y=f(x)y0减小?y下移且变平残存率变小?y增加且变陡yy=f(x)y00x0P??P(xm,ym)P?x=g(y)xP?P??P?P???双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析 4．存贮模型相关内容和方法

背景及问题§3.2存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付一次性生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求建立最佳生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。

问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。?每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。每天费用5000元?10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。平均每天费用950元?50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?

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问题分析与思考?周期短，产量小?周期长，产量大贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小?这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值?思考：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 不允许缺货的存贮模型模型假设1. 产品每天的需求量为常数r；2. 每次生产准备费为c1, 每天每件产品贮存费为c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。建模目的设r, c1, c2 已知，求T, Q使每天总费用的平均值最小。

模型建立离散问题连续化q贮存量表示为时间的函数q(t)t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.QrA=QT/2Q?rT一周期贮存费为0Tt2c2?0q(t)dt?c2ATQrT一周期~C?c1?c2T?c1?c2总费用22~CccrTC(T)??1?2TT2每天总费用平均值（目标函数）

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模型求解dC?0dT求T 使C(T)?c1c2rT??MinT2T?2c1rc2Q?rT?2c1rc2模型分析c1??T,Q?模型应用?回答问题c2??T,Q?r??T?,Q?c1=5000, c2=1，r=100T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) ?经济订货批量公式（EOQ公式）用于存贮、订货、供应等情形每天需求量r，每次订货费c1, 每天每件贮存费c2 ，T天订货一次(周期)，每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。T?2c1rc2Q?rT?2c1rc2不允许缺货的存贮模型

允许缺货的存贮模型当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)AqQr0T1BTQ?rT1t现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费c3,缺货需补足假设周期为T, 订货量为Q，t=T1 时贮存量降到零。一周期贮存费一周期缺货费c2?0q(t)dt?c2AT1一周期总费用c3?Tq(t)dt?c3B1TQT1r(T?T1)2C?c1?c2?c322

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一周期总费用C?c1?11c2QT1?c3r(T?T1)222每天总费用c3(rT?Q)2Cc1c2Q2C(T,Q)????平均值TT2rT2rT（目标函数）C(T,Q)?Min求T ,Q 使?C?C?0,?0?T?Q为了与不允许缺货的存贮模型相比较，T记作T ’, Q记作Q’T??2c1c2?c3rc2c3Q??c32c1rc2c2?c3 允许T'?缺货模型Q'?2c1c2?c3rc2c32c1rc3c2c2?c3不允许缺货模型T?Q?rT?2c1rc22c1rc2记不允许缺货??c2?c3c3T???T,Q??Q???1T'?T,Q'?Qc3????c3?????1T??T,Q??Q

允许缺货模型T??2c1c2?c3rc2c3qQ?rR0T1TtQ??2c1rc3c2c2?c3注意：缺货需补足Q?~每周期初的存贮量每周期所需的生产量(或订货量）RR?rT??2c1rc2?c3c2c3R??Q?Q

Q~不允许缺货时的产量(或订货量) 10

6．指数增长模型和Logistic模型，求解、性质及其应用

模型1 马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯在分析英国一百多年人口出生与死亡情况的资料后发现，人口增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：N(t??t)?N(t)?rN(t)?tdN1dN?rN?r或dtNdt（1）（2）（1）的解为：N(t)?N0er(t?t0)其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的人口数量。马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故T?ln2r2N0?N0erT 模型2 Logistic 模型人口增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：dN?r(N)Ndt（3）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(N)=r-aN(5)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境此时得到微分方程：恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为dNK（近似地将K看成常数），dNNN表示当前的种群数量，?(r?aN)N?r(1?)N（4）或5）指出，种群变化率与两者的乘积K-N恰为环境还能供养的种群数量，（dtdtKr(N)最简单的形式是常数，此时为了得出一个有实际意义的成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（5）也被r(N)是未知函数，但根得到的就是马尔萨斯模型。对称为统计筹算律的原因。（4）可改写成：模型，我们不妨采用一下工据实际背景，它无法用程师原则。工程师们在建立马尔萨斯模型的最简单的改进dN就是引进一次项（竞争项）。实际问题的数学模型时，总?k(K?N)拟合方法来求N（5）是采用尽可能简单的方法。dt（44）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生（）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增长产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。量很大时，会对自身增长产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。

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对（5）分离变量：两边积分并整理得：令N(0)=N0，求得：1??1???dN?kKdt?NK?N?故（5）的满足初始条件N(0)=N0的解为：N(t)?N0KN0?(K?N0)e?kKtK1?Ce?kKtK?N0C?N0N?（6）易见：N(0)=N0，limN(t)?Kt???N(t)的图形请看图3.5：图3-5 模型检验用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：375N(t)?几乎完全吻合,如图3.61?74e?2.309t图3-6 12

Malthus模型和Logistic模型的总结Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有类似的性质即可。

7．某企业生产两种混合配料A和B，每100千克的成本分别为100元和80元。两种混合配料含三种营养成分，但它们的含量各不相同，在每100千克混合配料中各种营养成分的含量分别如下表: 混合配料 A 混合配料 B 营养成分甲(千克) 营养成分乙(千克) 营养成分丙(千克) 10 4 6 2 5 9 现要获得各种营养成分的总量应为：营养成分甲至少20千克，营养成分乙至少25千克，营养成分丙至少36千克，问满足这些要求的最低成本为多少？用LINDO软件如何求解。

8. 钢管下料问题及其数学规划模型

§6 钢管和易拉罐下料原料下料问题生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大 13 例1钢管下料客户需求4米50根6米20根原料钢管:每根19米8米15根节省的标准是什么？5米10根问题1. 如何下料最节省? 问题2. 客户增加需求：由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？ 钢管下料切割模式按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。4米1根4米1根6米1根6米1根8米1根8米1根6米1根8米1根余料1米余料3米余料3米合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸 钢管下料问题1 模式12345674米钢管根数4321100合理切割模式6米钢管根数01021308米钢管根数0010102余料(米)3133113为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？两种标准1. 切割后剩余的总余料量最小2. 所用原料钢管总根数最少 14

决策变量xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量）MinZ1?3x1?x2?3x3?3x4?x5?x6?3x7模式1234567需求4米根数4321100506米根数0102130208米根数001010215余料3133113约束满足需求4x1?3x2?2x3?x4?x5?50x2?2x4?x5?3x6?20x3?x5?2x7?15整数约束：xi 为整数最优解：x2=12, x5=15, 其余为0；最优值：27。按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

钢管下料问题1 目标2（总根数）MinZ2?x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7约束条件不变4x1?3x2?2x3?x4?x5?50x2?2x4?x5?3x6?20x3?x5?2x7?15xi 为整数按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；最优值：25。与目标1的结果“共切割27根，余料27米”相比虽余料增加8米，但减少了2根当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标 钢管下料问题2增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式决策变量xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i,r2i,r3i,r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量

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钢管下料问题2目标函数（总根数）约束条件满足需求Minx1?x2?x3模式合理：每根余料不超过3米16?4r11?5r21?6r31?8r41?19r11x1?r12x2?r13x3?50r21x1?r22x2?r23x3?1016?4r12?5r22?6r32?8r42?1916?4r13?5r23?6r33?8r43?19r31x1?r32x2?r33x3?20r41x1?r42x2?r43x3?15整数约束：xi ,r1i,r2i,r3i,r4i (i=1,2,3)为整数 整数非线性规划模型钢管下料问题2增加约束，缩小可行域，便于求解每根原料钢管长19米?4?50?5?10?6?20?8?15??26??19??需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根原料钢管总根数下界：特殊生产计划：对每根原料钢管模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：13+10+8=31 26?x1?x2?x3?31模式排列顺序可任定x1?x2?x3 LINGO求解整数非线性规划模型Local optimal solution found at iteration: 12211模式1：每根原料钢管切割成3Objective value: 28.00000Variable Value Reduced Cost根4米和1根6米钢管，共10根；X1 10.000000.000000X2 10.000002.000000X3 8.000000 1.000000模式2：每根原料钢管切割成2R11 3.0000000.000000根4米、1根5米和1根6米钢管，R12 2.0000000.000000R13 0.000000 0.000000共10根；R21 0.0000000.000000R22 1.0000000.000000 R23 0.000000 0.000000 模式3：每根原料钢管切割成2R31 1.0000000.000000 根8米钢管，共8根。R32 1.0000000.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.0000000.000000 原料钢管总根数为28根。R42 0.0000000.000000 R43 2.000000 0.000000

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5．植物基因的分布

植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa和aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？

2. 模型假设假设1an,bn,cn分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。an?bn?cn?1(n)第n代植物的基因型分布为x?an?????bn?,?c??n?x(0)?a0?????b0?,?c??0?表示植物基因型初始分布。

假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。父体-母体的基因对3. 模型建立1an?an?1?bn?121bn?bn?1?cn?12cn?0AA-AA AA-Aa后AA代基Aa因对aa1001/21/20AA-aa010an?bn?cn?1 17

1an?an?1?bn?121bn?bn?1?cn?12cn?0?an??11/20??an?1????????bn???01/21??bn?1??c??000??c??n????n?1??11/20???M??01/21??000???an?bn?cn?1x(n)?Mx(n?1)x(n)?Mx(n?1)?M2x(n?2)?M3x(n?3)???Mnx04. 求解模型关键计算Mn x(n)?Mnx0特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。?11/20???M??01/21??000???特征值为1，1/2，0的特征向量分别为?1??0??1????????0?,??1?,??2??0??0??1??????? 则1??10??P??0?1?2??001????100???D??01/20??000???x(n)?Mnx0?PDnP?1x01??1?11?????0?1?2??0?00?1????0 0?1/2?n00??111????00??0?1?2?x?0?1???00?18 ?1 1??1?11?????0?1?2??0?00?1????00?1/2?n00??111????00??0?1?2?x?0?1???00??1?11?(1/2n)1?(1/2n?1)???0nn?1??01/21/2?x?0?00???a0?b0?c0?(1/2n)b0?(1/2n?1)c0???nn?1??(1/2)b0?(1/2)c0???0??nn?1?1?(1/2)b0?(1/2)c0???nn?1??(1/2)b0?(1/2)c0???0??

x(n)?an??1?(1/2n)b0?(1/2n?1)c0?????nn?1??bn???(1/2)b0?(1/2)c0???c??0??n??当n??时，an?1,bn?0,bn?05. 结论经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。10. 差分方程，市场经济中的蛛网模型

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7.2 市场经济中的蛛网模型供大于求价格下降数量与价格在振荡增加产量价格上涨供不应求减少产量现象问题描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 蛛网模型xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系yy00需求函数yk?f(xk)减函数供应函数xk?1?h(yk)增函数yk?g(xk?1)fgP0x0f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦xk=x0，则yk=y0, xxk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 蛛网模型yk?f(xk)xk?1?h(yk)设x1偏离x0yk?g(xk?1)x1?y1?x2?y2?x3??xk??x0,yk??y0P0是不稳定平衡点yP3fP0P1x0x xk?x0,yk?y0P0是稳定平衡点yy2y0y3y10fP3P2P0gP4P?P2?P???P?P?P???P?P0131230曲线斜率gP4Kf?KgP1x1xy00P2Kf?Kgx2x0x3 20

1.模型分析：也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。Aox??yB 一个辅助结论设质点从A1经直线l到达A2，质点速度在l 的上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点何时越过l？如图，若A1,A2到l 的垂足分A1别为O,D, A1,A2 到l的距离分别为a, b,OD=c, 质点经过l于COC=x 那么质点由A1到A2需时间:t?(c?x)2?b2x2?a2?v1v2O?1CDl?2A2 dtxc?x??dxv1x2?a2v2(c?x)2?b2惟一驻点满足xv1x?a22?c?xv2(c?x)?b22A1?1DlC也即sin?1sin?2?v1v2O?2A2这就是光学中的Snell折射定律 26 2. 建立数学模型分析：如图建坐标系，若用与x 轴平行的直线将AB 分割成小段, 考虑在第k层与k+1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知sin?ksin?k?Av?1kvk?1由于上式对任何k成立，故导出sin?kv?C(常数)k令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线y上任何一点sin?v?C(常数)其中α为该点切线与铅垂线的夹角。AcxαBy据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线无关，设质点质量为m，重力加速度为g，质点从A下滑至P?x,y?点时速度为v，则122mv?mgy或v?2gy从这里的几何关系得sin??cos??1sec??11??y??227

cx B sin??cos??11?2sec?1??y??这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得2??y[1?y??]?c????y?0??0这就是最速降线的微分方程数学模型。3. 模型求解：我们要求解上面微分方程，将上式变形为12?y?dx???c?y??dy???y???c?y???tant??2从而，y?csint,dy?2csintcostdt令故dx?tantdy?2csin2tdt?c?1?cos2t?dt积分后得到cx??2t?sin2t??c12t?0时，这曲线过原点，故由上面第一式得，x?y?0于是，c1?0。这样x?c?2t?sin2t?2cy?csin2t??1?cos2t?212 而 ccy?csin2t??1?cos2t??2t?sin2t?22c若令a?,??2t，则联立上两式得2x???x?a???sin?????y?a?1?cos??这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为a的圆周上一点沿x轴滚动产生的。见图。yo?x,y?2?ax 28

4. 结论：需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的a值只有一个，因若让a从0增到?，这一拱弧就逐渐膨大，扫过整个第一象限，因而若适当选取a，就能使它通过B。Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1） 5. 模型评价：约翰·伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隐藏的简单性。 6. 模型的进一步思考：用变分法同样可以得到速降线的数学模型。以s表示曲线从A点算起到P?x,y?的弧长，有dsv??2gydt2?ds?1?ydx??又由弧长微分21??y??dxdsdsdt???得v2gy2gy从而整个下降时间是dt?ds的积分，故需取极小值v的积分是2t?y?x????0x11??y??2gydx 这是泛函的极值问题. 29

令f?y,y???21??y??2gy由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足的欧拉方程为：?fy??f?c1?y?即y?y??221??y??1??y??y2?c1化简为y[1?(y?)2]?c和伯努利解法的结果相同。

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方程模型yk?f(xk)在P0点附近用直线近似曲线yk?y0???(xk?x0)(??0)xk?1?x0??(yk?y0)(??0)k?1xk?1?h(yk)xk?1?x0????(xk?x0)x?x0?(???)k(x1?x0)P0稳定Kf?KgP0不稳定Kf?Kg???1(??1/?)xk?x0xk?????1(??1/?)方程模型与蛛网模型的一致??Kf1/??Kg 结果解释结果解释考察?, ?的含义xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格yk?y0???(xk?x0)?~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度xk?1?x0??(yk?y0)?~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量?~ 消费者对需求的敏感程度?~ 生产者对价格的敏感程度?小, 有利于经济稳定?小, 有利于经济稳定???1结果解释经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法yy00ygf021 1. 使?尽量小，如?=0需求曲线变为水平以行政手段控制价格不变2. 使?尽量小，如?=0供应曲线变为竖直靠经济实力控制数量不变 gfxx0x 模型的推广生产者管理水平提高xk?1?h(yk)?y?yk?1?xk?1?h?k??2??生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。设供应函数为xk?1?x0??[(yk?yk?1)/2?y0]需求函数不变yk?y0???(xk?x0)2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k??,xk?x0的条件 模型的推广2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0kk方程通解xk?c1?1?c2?2(c1, c2由初始条件确定)?1, 2~特征根，即方程2?2????????0的根平衡点稳定，即k??,xk?x0的条件:?1,2?1??2????(??)2?8???1,2?4平衡点稳定条件???2比原来的条件?1,2????1放宽了 12. 层次分析法的建模步骤及应用

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层次分析法的基本步骤归纳如下1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。3.计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。4.计算总排序权向量并做一致性检验计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率 CR?a1CI1?a2CI2???amCIma1RI1?a2RI2???amRImCR?0.1进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。三层次分析法建模举例 1旅游问题(1) 建模ZA1A1,A2,A3,A4,A5分别表示景色、费用、A2A3A4A5居住、饮食、旅途。B1,B2,B3B1B2B3分别表示苏杭、北戴河、桂林。 23 （2）构造成对比较矩阵??1?2?1?A??4?1?3?1??3??1?B2??3??8??11?38?1??13?31???121171515??1B3??1?1??347123351211?3?5?1??3?1???1????1?1B4???3?1??4??1?1B1???2?1??52112?5??2??1????13?13?1?1?3??34??11??11?????11?B5??11??44??1?4?1??4?1??? (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵A的最大特征值??5.073该特征值对应的归一化特征向量???0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110?则5.073?5CI??0.0185?1RI?1.12故表明ACR?0.018?0.016?0.11.12 通过了一致性验证。对成对比较矩阵B1,B2,B3,B4,B5可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：k12345?k10.5950.0820.4290.6330.166?k20.2770.2360.4290.1930.166?k30.1290.6820.1420.1750.668?kCIkRIk3.0053.00233.00930.0030.0010.58可知00.580.0050.5800.58通过一致 0.58计算CRk性检验。 B1,B2,B3,B4,B524 （4）计算层次总排序权值和一致性检验B1对总目标的权值为：0.595?0.263?0.082?0.475?0.429?0.055?0.633?0.099?0.166?0.110?0.3同理得，B2,B3对总目标的权值分别为：0.246, 0.456,决策层对总目标的权向量为：又?0.3, 0.246, 0.456?CR?(0.263?0.003?0.475?0.001?0.055?0?0.099?0.005?0.110?0)/0.58?0.015?0.1 故，层次总排序通过一致性检验。?0.3, 0.246, 0.456?即各方案的权重排序为可作为最后的决策依据。B3?B1?B2又B1,B2,B3分别表示苏杭、北戴河、桂林，故最后的决策应为去桂林。 13. 最速降线问题的建模与分析 最速降线问题确定连接两定点A，B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点（忽略摩擦力和阻力）。? A? B 25

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