北京理工大学珠海学院 08级 概率论与数理统计综合检测题（含答案）

概率论与数理统计综合检测（一）

（时间120分钟）

一、填空与选择题

1. 设袋中有5个红球，6个白球，从中任取两个，则取出两个红球的概率为 .

2. 设随机变量X～B(n, p)，E(X)=3, D(X)=2, 则p= . ?1?e?2x,x?03. 设随机变量X的分布函数为F(x)??，

x?00,?则X的概率密度函数f(x)?.

4. 设事件A和B相互独立，且P(A)=0.7, P(B)=0.6, 则P(A∪B)=____________. 5. 设随机变量X~π(λ)(即X服从参数λ的泊松分布)，且P(X=5)=P(X=6), 则

λ的值为 【 】 （A）5/6 (B) 4 (C) 5 (D) 6

6. 设E(X)=E(Y)=1,D(X)=D(Y)=1, ?XY??1,则下列选项中正确的是【 】 (A) D(X+Y)=2 (B) D(X+Y)=0 (C) D(X-Y)=0 (D) E(XY)=1 7. 设X1,X2,X3为总体X的样本，E(X)=μ，则参数μ的无偏估计量为【 】

11 (A) (X1+X2+X3) (B) ?X1?X2?X3?

32111 (C) X1-X2-X3 (D) X1?X2?X3

2348. 设X1，X2，…,X16为正态总体X~N(1, σ2)的样本，样本均值为X，已知Y=aX+b～N(0,1), 则有 【 】

444 (A) a=b= (B) a=σ，b=-σ (C) a=，b=? (D) a=b=σ

σσσ二、解答下列各题

1. 设二维随机变量（X,Y）的联合分布率如下表所示： (1) 求X和Y的边缘分布律 Y -1 0 1 P(X?xi) X （填入右边表格中）；

(2) X与Y是否独立，为什1 0.2 0.1 0 么？

2 0.3 0.3 0.1 (3) 求Z=X+Y2的分布律;

P(Y?yj) (4) 求E(X)、E(Y)、E(XY).

2. 设有一批同类产品，由甲、乙、

丙三厂制造，所占比例分别为甲厂20%，乙厂25%，丙厂55%，且甲、乙、

1

丙三厂产品的次品率分别为1%，1.5%，2%. 现在从这批产品中任取一件。 (1) 求取出的产品为次品的概率；

(2) 已知所取的产品为次品，求该产品是丙厂生产的概率。 三、 解答下列各题

1. 某人向某一目标射击10次，每次命中率为0.6，且每次射击结果相互独立. 求下列事件的概率：

(1) 第10次才命中； (2) 恰好命中8次。

?2,0?y?x,0?x?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)??

0,其他? (1)分别求X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y);

(2)随机变量X和Y是否独立？为什么？

?2e?2x,x?03. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??，求Y=3X-1的概率密

x?0?0,度函数。

四、 解答下列各题

1. 设X1,X2,?,Xn为总体X的简单随机样本，且设总体X的概率密度函数为

?(??1)x?,0?x?1f(x)??，其中参数θ>-1为待估参数。

其他0,?(1) 求θ的矩估计量; (2) 求θ的极大似然估计量。

2. 现有一批袋装化肥，第i袋重量为随机变量Xi(i?1,2,?,196), 它们独立同

分布，且其数学期望为??25(kg),

20?方差??????7?2x2. 如用一辆载重量为

5000(kg)的卡车一次运走这批化肥，试用中心极限定理计算超载的概率。 附：标准正态分布函数表（部分）,?(x)????12?e?t22dt x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

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概率论与数理统计综合检测（一）参考答案

一、填空与选择题 1.

C522?2C1111?2e?2x,.2. p= 1/3 . 3. f(x)???0,x?0. x?04. P(A∪B)= 0.88 . 5.【 D 】 6.【 B 】 7.【 A 】 8.【 C 】 二、解答下列各题 1.

Y －1 0 1 P(X?xi) X 1 2 0.2 0.1 0 0.3 0.7 0.3 0.3 0.1 P(Y?yj) 0.5 0.4 0.1 解 (1) (见上表) (2)不独立。由于P(X=1,Y=－1)=0.2≠P(X=1)P(Y=－1)=0.15 (3) (X,Y) (1,－1) (1,0) (2,－1) (2,0) (2,1) P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 2 1 3 2 3 Z=X+Y2 Z的分布律为 Z 1 2 3 P 0.1 0.5 0.4

EX=0.3+1.4=1.7, EY=－0.5+0+0.1=－0.4，E(XY)=－0.2－0.6+0.2=－0.6 2. 解 分别记A、B、C为取到甲、乙、丙厂的产品，D为取到次品。 (1)P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

167.5=20%×1%+25%×1.5%+55%×2%=?0.01675

10000P(CD)P(C)P(D|C)55%?2P(C|D)==???0.6567

P(D)P(D)0.0167516.75三、 解答下列各题

1. 解 P(第10次才命中)=P(前9次不中，第10次中)=0.49?0.6?0.000157286

820.68?0.42?C100.68?0.42=0.120932352 P(恰好命中8次)=C102. 解 (1) 当x<0或x>1时，fX(x)=0，当0≤x≤1时，fX(x)??2dx?2x

0x 3

?2x,所以， fX(x)???0,0?x?1；

others1y当y<0或y>1时，fY(y)=0，当0≤y≤1时，fY(y)??2dy?2(1?y)

?y),?0y?1?2(1所以， fY(y)??；

0,others? (2) 不独立，由于在0?y?x,0?x?1内，f(x,y)?fX(x)fY(y).

3. 解 随机变量Y=3X－1的分布函数

y?1???y?1?FY(y)?P(Y?y)?P(3X?1?y)?P?X??FX???

3???3?其概率密度函数

(y?1)?2?23,y??11?y?1??e?. fY(y)?fX?3??3?3??y??1?0,四、 解答下列各题

??1??2??1x?1. 解 (1) 总体X的数学期望EX??(??1)xdx?

0??2??2011??1??1??2X?1； ?X，解得θ的矩估计量：???21?X (2) 似然函数 L=(??1)n(x1x2?xn)?， 由EX=X得，

?(??1?)?对数似然函数 lnL?nlni?1nixl n

nndlnL???lnxi，解得θ的极大似然估计量 由?0，得

??1d?i?1??? ?n?lnXi?1n?1.

iD1?(?2. 解 E(X1???X196)?4900,X?X196?2)4 0,?196?X?4900??i5000?4900?i?1? ?P(超载)=P(X1???X196?5000)?P?4040???????1??(2.5)?1?0.9938?0.0062.

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