概率论与数理统计-章节习题加总结-华南理工大学 (3)

第4章 二维随机变量

一、大纲要求

（1）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的意义、性质及其基本形式：离散型联合分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度.会利用二维概率分布求有关事件的概率.

（2）理解二维随机变量的独立性及不相关的概念，掌握二维离散型和连续型随机变量独立的条件.

（3）掌握二维均分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.

（4）会求两个独立的二维随机变量的简单函数的分布.

二、重点知识结构图

三、基本知识

1.二维随机变量及其分布

定义1 设E是一个随机实验,它的基本空间为 { }x1( ),x2( ), ,xn( )是定义在这个基本空间 上的n个随机变量,则X=(x1( ),x2( ), ,xn( ))称n维随机变量.

定义2 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x、y,二元函数 F(x,y)=P{X x,Y y}称为(X,Y)的联合分布函数.

定理1 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)联合分布函数，则 （1）F(x,y)对每个变量是单调不减的函数，即 当x1 x2时，F(x1,y) F(x2,y)； 当y1 y2时，F(x,y1) F(x,y2). （2）F(x,y)对每个变量是左连续的，即

F(x 0,y) F(x,y),F(x,y 0) F(x,y).

（3）F( ,y) F(x, ) F( , ) 0,F( , ) 1. （4）对任意两点(x1,x2),(y1,y2),若

x1 x2,y1 y2

，则

F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2) F(x1,y1) 0.

2．二维离散型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值是有限或可列多对

(xi,yi),(i,j 1,2, )，则称（X，Y）的联合分布律（概率函数）.其具有以下性质：

①0 pij 1(i,j 1,2, ). ② pij 1.

i 1j 1

离散型随机变量（X，Y）的分布函数，可用分布律表示为

F(x,y) P{X xi,Y yj} pij.

xi xyj y

xi xyj y

3．二维连续型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式：

F(x,y)

x

y

f(u,v)dudv

则称（X，Y）是二维连续型随机变量.被积函数f(x,y)为（X，Y）的联合概率密

度，其具有如下性质： ①f(x,y) 0. ②

f(x,y)dxdy 1.

称以

f(x,y) {

的面积.

称密度函数

f(x,y)

12 1 2

2

1/SD,当(x,y) D0,其它

为密度函数的二维随机变量（X，Y）服从二维均匀分布.其中SD为平面区域D

e

[(

x 1

1

) 2 (

x 1

1

)(

y 2

2

) (

y 2

2

)2]/2(1 2)

2

为二维正态分布，记作(X,Y)～N( 1, 2, 12, 2, ).

4．边缘分布

若二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则称随机变量X或Y的分布函数Fx(x)或FY(y)为F(x,y)的边缘分布函数; 对于二维离散随机变量（X，Y），其边缘分布律为

pi P{X xi} P{X xi,Y yj} pij（i=1,2, ）

j

j

p j P{Y yj} P{X xi,Y yj} pij（j=1,2, ）

i

i

对于二维连续随机变量（X，Y），其边缘密度函数为

fX(x) f(x,y)dy,fY(y) f(x,y)dx

5 条件分布

对二维离散型随机变量，当p j>0时，称

P{X xi|Y yj}

P{X xi,Y yj}P{Y y j}

pijp j

（i=1,2, ）

为Y=yj条件下X的条件分布律. 类似地，当pi >0时，称

P{Y yj|X xi}

pijpi

（j=1,2, ）

对二维连续型随机变量，当fY(y) 0时，称fX|Y(x|y) 为Y=y条件下X的条件密度.

f(x,y)

（ x ） fY(y)

类似地，当fX(x) 0时，在X=x条件下Y的条件密度为

fY|X(y|x)

f(x,y)

（ y ） fX(x)

6．二维随机变量的相互独立性 定义 若对任意实数x、y有

F(x,y) FX(x)FY(y)

则称随机变量X、Y互独立的.

对二维离散型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意一组可能值xi、

yj,有

P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}

即 pij pi pj （i,j=1,2, ）

对二维连续型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意x、y,有

f(x,y) fX(x)fY(y) 四、典型例题

例1设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X 1} P{Y 1}

P{X 1} P{Y 1}

1

,则下列各式中成立的是（ ）. 2

1

(B) P{X Y} 1 211

(C) P{X Y 0} (D) P{XY 1}

44

(A) P{X Y}

解 P{X Y} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

=

11111

×+×= 22222

P{X Y 0} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

=

11111

×+×= 22222

P{XY 1} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

11111×+×= 22222

所以B、C、D项均不对，只有A项正确.

=

例2（1999年研究生入学考试数学四）已知随机变量X1和X2的概率分布为

1 1 10 0

X1～ ，X2～ 1/21/2 ， 1/41/21/4

且P{X1X2 0} 1，求X1和X2的联合分布列. 解 由P{X1X2 0} 1，有P{X1X2 0} 0，故

p12 P{X1 1,X2 1} 0,p32 P{X1 1,X2 1} 0. 由p11 0 1/4,得p11 1/4；由p31 0 1/4,得p31 1/4； 由p11 p21 p31 p 1，即1/4 p21 1/4 1/2 ，得p21 0； 最后由p21 p22 p2 ，即0 p22 1/2，得p22 1/2. 于是所求的X1和X2的联合分布列

X1 0 1 i X2

p j 1/2 1/2 1

例3甲乙两人独立地进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X、Y

分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合分布率.

解 设事件Ai={甲第i次击中}，Bi={乙第i次击中}，则事件Ai={甲第i次未击中}，Bi={乙第i次未击中}，（i=1,2）,且由两次实验（射击）相互独立可知Ai、Bi相互独立，又P(Ai) 0.2，P(Bi) 0.5，P(Ai) 0.8，P(Bi) 0.5，引入随机变量

1当Ai发生 1当Bi发生

Xi (i 1,2) Yi (i 1,2 )

0当Ai不发生 0当Bi不发生

则P{X 0}P{X1 0,X2 0} P(A1A2) P(A1)P(A2) 0.64

P{X 1} P{X1 0,X2 1} P{X1 1,X2 0} =P(A1)P(A2) P(A2)P(A1) =0.8 0.2 0.8 0.2 0.32

P{X 2} P{X1 1,X2 1} P(A1)P(A2)

=0.2 0.2 0.04

P{Y 0} 0.25,P{Y 1} 0.5,P{Y 2} 0.25 于是X、Y的分布列分别为

X 0 1 2 X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 P 0.25 0.5 0.25 由于Ai、Bi相互独立，故X、Y相互独立，则

pij P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} （i,j=0,1,2） 因此得P{X 0,Y 0} 0.16，P{X 0,Y 1} 0.32， P{X 0,Y 2} 0.16，P{X 1,Y 0} 0.08， P{X 1,Y 1} 0.16，P{X 1,Y 2} 0.08， P{X 2,Y 0} 0.01，P{X 2,Y 1} 0.02， P{X 2,Y 2} 0.01.

所求的联合分布列为

0 1 2 X

例4设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）服从均匀分布，Y的概率密度为

1 y/2

当y 0 e

fY(y) 2

当y 0 0

（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设有a的二元方程a2 2Xa Y 0，求有

， (0) 0.5） 实根的概率.已知（ (1) 0.843

解 （1）有题设可知

1当0 x 1

fX(x)

0其他

又因为X和Y相互独立，故X和Y的联合概率密度为

1 y/2

当0 x 1,y 0 e

f(x,y) fX(x)fY(y) 2

其他 0

（2）P{a有实根} P{ 4X 4Y 0} P{X Y}

2

2

2

x2 y

f(x,y)dxdy

dx

1

x2

1x21 y/2 y

edy dx e y/2d

002 2

(e

0

1

x2/2

1)dx 1 e

2

1

x2/2

dx

1

1

e

x2/2

dx e x/2dx

1

1

1

e

x2/2

dx0

e

x2/2

dx

(1) (0)

34,P{X 0} P{Y 0} ,求77

已知 (1) 0.843, (0) 0.5，代入上式得P{a有实根} 0.1448. 例5 设X和Y为两个随机变量，且P{X 0,Y 0}

P{max(X,Y) 0}的值. (Y, ) 解法一 P{maxX

0}P

X{ ( 0)Y (

P{X 0} P{Y 0} P{X 0,Y 0}

4435

7777

解法二 由于P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0|X 0} 故P{Y 0|X 0}

43P{Y 0|X 0} 77

3

. 4

3

.因此 4

同理，P{X 0|Y 0}

P{max(X,Y) 0} P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 0} 3

P{X 0}P{Y 0|X 0} P{Y 0}P{X 0|Y 0} 7

341415

774747

例6 设二维随机变量(X,Y)服从区域G {(x,y):0 x 2,0 y 2}上的均匀分布，求Z X Y的概率密度.

解 有已知条件可得，X和Y相互独立，从而X与 Y也相互独立，记U Y，则U的密度函数为

1

当 2 u 0

fU(u) 2

0其他

于是Z X Y X U的概率密度为

fZ(z)

fX(x)fU(z x)dx

由于0 x 2, 2 z x 0,即0 x 2,z x 2 z. 当z 2时，fZ(z) 0； 当 2 z 0时，fZ(z) 当z 2时，fZ(z) 0. 综上起来，有

z11 210du du (z 2); z 2 2244

11

z

fZ(z) 24

0

例7 设随机变量(X,Y)的概率密度为

当z 2其他

1当0 x 1,y x

f(x,y)

0其他

求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).

解 由于概率密度f(x,y)仅在阴影部分为非零值.故f(x,y)的边缘密度为

x 1dy当0 y 1 2x当0 y 1

fX(x) x

0其他 其他 0

11dx当-1 y 1 1 y

fY(y) y

0 其他 0

所以，当0 x 1时，

当-1 y 1

其他

1

当y xf(x,y)

fY|X(y|x) 2x

fX(x)

其他 0

当y 1时，

1

f(x,y)

fX|Y(x|y) 1 y

fY(y)

0

例8 设随机变量(X,Y)的概率密度为

当y x 1其他

1 (x y)

当x 0,y 0 (x y)e

f(x,y) 2

其他 0

试求：（1）X和Y是否独立？（2）Z X Y的概率密度.

解 （1）X的边缘密度为

1

(x y)e (x y)dy当x 0 0

fX(x) 2

当x 0 0

1 x

当x 0 (x 1)e

2

当x 0 0

同理，Y的边缘密度为

1 y

当y 0 (y 1)e

fY(y) 2

当y 0 0

当x 0,y 0时，

f(x,y)

11

(x y)e (x y) (x 1)(y 1)e (x y) fX(x)fY(y) 24

因此，X与Y不独立. （2）Z的概率密度为

fZ(z)

f(x,z x)dx

z

11

(x z x)e zdx z2e z (z 0) 22

当z 0时，fZ(z) 0，所以

12 z

当z 0 ze

fZ(z) 2

当z 0 0

例9 设X、Y是相互独立的随机变量，X~P( 1),Y~P( 2).证明： 证 因为X、Y分别服从参数为 1、 2的泊松分布，故X、Y的分布律分别为

P{X k}

1k

k!

e 1 ( 1 0)

P{Y r}

而Z X Y的分布律为

2r

r!

e 2 ( 2 0)

P{Z i} P{X k}P{Y i k}

k 0

k 0

ii

1k

k!

e

1

2i k

(i k)!

e 2

e ( 1 2)

i!

1i!

1k 2i k k 0k!(i k)!

i

( 1 2)i ( 1 2)

e2, (i 0,1, i!

即Z X Y服从参数为 1 2的泊松分布.

例10 在10件产品中有2件一级品、7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回地抽取3件，用X表示其中的一级品件数，Y表示其中的二级品件数.（1）求X与Y的联合分布；（2）求X、Y的边缘分布；（3）X与Y相互独立吗？（4）求在X 0的条件下， Y的条件分布，以及在Y 2的条件下X的条件分布.

[思路点拨]对于二维离散随机变量，用表格的形式表示它们的联合分布律，这便于求边缘分布及判定相互独立.

解 （1）根据题意，X只能取0,1,2三个值；Y只能去0,1,2,3四个值，要求(X，Y)的联合分布律，就是求X与Y在各种搭配下的概率，由古典概率公式得

iC2C7jC1k

(i j k 3;i 0,1,2j; pij P{X i,Y j} 3

C10

0,1,k2 ,3;

将(i,j)取各种值的概率逐个算出，即得(X,Y)的联合分布列：

pijY 0 1 2 3

0 0 0 120 120 1 0 1442

120 120 0

2 17

120 120

0 0

（2）由（1）可得X、Y的边缘分布分别为

X 0 1 2

P

56120 568120 120

Y 0 1 2 3 P 12163120 120 120 120

（3）因为P{X 0,Y 0} 0，但P{X 0}P{Y

01561

20120

，P{X 0,Y 0} P{X 0P}Y{ ，因此X与Y并不相互独立.

（4）在X 0的条件下，Y的条件概率为

P{Y j|X 0}

P{X 0,Y j}

P{X 0}

(j 0,1,2, 3

因此，Y的条件分布为

0123 0123

002135， 即 35

5656

0088 类似地，在Y 2的条件下，X的条件分布为

012

12 330

例11 设(X,Y)的联合概率密度为

1

f(x,y)

当0 x 1,0 y 2 2

0其他

所以0

求X与Y中至少有一个小于

1

的概率. 2

[思路点拨]利用对立事件的目的，在于容易确定二重积分的积分限，这是解本题的关键. 解 P (X ) (Y ) 1 P X 1

12

1 2 11 ,Y 22 f(x,y)dxdy

1

2

12

1

12

12

12

15dxdy 28

例12 一旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7点55分至8点之间，而火车在

这段时间开出的时刻为Y，且Y具有密度函数.

2

(5 y)当0 y 5

fY(y) 25

其他 0

求旅客能乘上火车的概率.

[思路点拨]找出X、Y之间的关系是解本题的关键.

解 因为X均匀分布在7点55分至8点之间，将7点55分作为时间轴（单位：分）的起点，则X在区间[0,5]上服从均匀分布，其密度函数为

1

当0 x 5

fX(x) 5

0其他

（X，Y）由于X与Y之间互不影响，可认为相互独立，于是可得的联合密度函数为

1

(5 y)当0 x 5,0 y 5

f(x,y) 125

其他 0

事件“旅客能乘上火车”可以表示为“Y X”，也就是“0 Y X 5”，因此问题

归结为求“0 Y X 5”的概率.所求概率为

P{0 Y X 5}

0 y x 5

f(x,y)dxdy

五、课本习题全解

4-1

1 2 3

Y

612

111

2

66611

3 0

126

1 0

i4 i j

C3C5jC2

4-2 P{X i,Y j} 4

C10

1

1

4-3 由于

f(x,y)dxdy Axydxdy A xdx ydy

R

A

1， 4

故A 4，代入密度函数，得

4xy当0 x 1,0 y 1

f(x,y)

0其他

111112

所以 P{X ,Y 4 xdx 3ydy

002336

4-4 （1）当X 0且Y 0时，F(x,y)

当x 0或y 0时，F(x,y) 0.

x

du e (u v)dv (1 e x)(1 e y)；

y

(1 e x)(1 e y)当0 x ,0 y

所以 F(x,y)

其他 0

（2）由于D {(x,y):x 0,y 0,x y 1}，有

P(X,Y) f(x,y)dxdy dx

D

11 x

e (x y)dy 1 2e 1

1

4当(x,y) B 4-5 由题意可知：f(x,y) 1

22

其他 0

当x

1

或y 0时，F(x,y) 0； 2

当

xy1

x 0且0 y 2x 1时，F(x,y) y 1 4dudv 2y(2x y 1)；

022

x2x 11

4dudv 2(2x 1)2； 当 x 0且y 2x 1时，F(x,y) 1 022

当x 0且0

y 1时，F(x,y) y 1 4dudv 2y( y 1)；

2

xy

当x 0且y 1时，F(x,y) 1.

0

2y(2x y 1)

因此 F(x,y)

2(2x 1)2

2y(1 y) 1

4-6

1

当x 或y 0

21

当 x 0且0 y 2x 1

2

1

当 x 0且y 2x 1

2

当x 0且0 y 1当x 0且y 1

P{X 0}

715 ， P{X 1} ， ， P{Y 0}12612

5111

P{Y 1} ， P{X 2} ， P{Y .

123312

4-7 由于

fX(x)

f(x,v)dv，得

1当(x,y) D

f(x,y)

0其他

当x [0,1]时，当x [0,1]时，

fX(x)

2 2x

1dv 2 2x；

fX(x) 0.

2 2x当0 x 1

因此 fX(x)

其他 0

当y [0,2]时，当y [0,2]时，

fY(y)

2 y

20

1

1du (2 y)；

2

fY(y) 0.

1

1 y当0 y 2

因此 fY(y) 2

其他 0

4-8 由于

fX(x)

f(x,v)dv， fY(y)

uf(u,y)d

当x 0时，当y

fX(x) e x vdv e x；

0 0

0时，fY(y) e u ydu e y.

e x当x 0 e y当y 0

因此 fX(x) ， fY(y)

当x 0当y 0 0 0

4-9 由题意可知

X1 0 1

X2

0 0.1 0.8

1 0.1 0 4-10 由于

X1 -1 0 1 X2

-1 0

1 0

4-11 （1）由于

1

0 4

11 0 44

1

0 4

f(x,y)dxdy Ae

R

(3x y4

dxdy A dx e

)x( 3y4

dy)

A

1， 12

故A 12.

（2）当x 0或y 0时，F(x,y) 0；

当x 0且y 0时，F(x,y)

xy

12e (3u 4v)dudv (1 e 3x)(1 e 4y).

(1 e 3x)(1 e 4y)当x 0,y 0

故 F(x,y)

其他 0

（3）P{0

X 3,0 Y 4} dx 12e (3x 4y)dy (1 e 9)(1 e 16)

34

4-12 由题意可知

1

当(x,y) D

f(x,y) 2

0其他

当 1 x 0时，

fX(x)

1

dv x 1； x 12

x 1

当0 x 1时，fX(x)

x 1

x 1

1

dv x 1. 2

x 1当 1 x 0

故 fX(x) 1 x当0 x 1

0其他

4-13 （1）a

11 111 1111

1， 88 121212 16161616

故a

1. 4 i}

125 (i 1,2,3,，4 P{Y 1} ， 44827133

，P{Y 3} ，P{Y 4} .

484848111125

. 48121648

（2）P{X

P{Y 2}

（3）P{X Y}

4-14 由联合分布函数的性质可知 （1）F( , )

A(B )(C ) 1，

22

F( , ) A(B )(C ) 0， 22

y

F( ,y) A(B )(C arctan) 0，

23

x

F(x, ) A(B arctan)(C ) 0，

22A

1

故

2

，B

2

，

C

2

.

（2）F(x,y)

1 x y

arctan arctan ， 2 22 23

2F(x,y)6

f(x,y) . 2

22

x y (4 x)(9 y)

（3）

fX(x) fY(y)

62

， dy 2 2(4 x2)(9 y2) (4 x)

63

dx 2 2(4 x2)(9 y2) (9 y)

4-15 （1）由于

f(x,y)dxdy

1

00

2

(x2 Cxy)dxdy

2

C 1， 3

故C

1 . 3

（2）当x 0或y 0时，F(x,y) 0； 当x 1,y 当0

2时，F(x,y) 1；

x 1,0 y 2时，

111

F(x,y) du (u2 uv)dv x3y x2y2；

003312

x

y

当0 x 1,y 2时，

121F(x,y) du (u2 uv)dv x3 x2

00333

x

2

当x 1,0 y 2时，

111

F(x,y) du (u2 uv)dv y y2.

003312

1

y

0 1

x3y 1x2y2

12 3

21

故 F(x,y) x3 x2

3 3

112

y y 312 1

（3）由于

当x 0或y 0当0 x 1,0 y 2当0 x 1,y 2当x 1,0 y 2当x 1,y 2

fX(x)

f(x,v)dv， fY(y)

f(u,y)du，

当x [0,1]时， 当x [0,1]时，

2 1 2fX(x) x2 xy dy 2x2 x；

03 3

fX(x) 0.

22

2x x当0 x 1

故 fX(x) 3

其他 0

当y [0,2]时， 当y [0,2]时，

1 11

fY(y) x2 xy dx y；

03 36

1

fY(y) 0.

11

y当0 y 2

故 fY(y) 36

其他 0

（4）由于

fX|Y(x|y)

f(x,y)f(x,y)， fY|X(y|x) ，

fY(y)fX(x)

6x2 2xy

当0 x 1,0 y 2

故 f(x|y) 2 y

0其他

3x y

当0 x 1,0 y 2

故 f(y|x) 6x 2

其他 0

4-16 由于

fX|Y(x|y)

f(x,y)f(x,y)

， fY|X(y|x)， fY(y)fX(x)

（1）当x 0时， 当y

fX(x) 2e (2x y)dy 2e 2x；

0 0

0时，fY(y) 2e (2x y)dx e y.

2e 2x当x 0,y 0

故 fX|Y(x|y)

其他 0 e y当x 0,y 0

fY|X(y|x)

其他 0

（2）P{X

2|Y 1}

P{X 2,Y 1}

P{Y 1}

2

dx2e (2x y)dy

1

e

01

y

dy

1 e 1 e 4 e 5 4

. 1 e 1

1 e

4-17 （1）由于

fX(x) 1 (0 x 1)

fY|X(y|x)

1

(0 x 1, x y 1)1 x

1

当0 x 1,x y 1

故 f(x,y) 1 x

其他 0

（2）由于

fY(y)

f(x,y)dx

1

dx ln(1 y)

01 x

y

ln(1 y)当0 y 1

故 fY(y)

0其他

（3）

P{(X Y) 1} 1dy

2

1

1

dx ln2

1 y1 x

y

4-18

X与Y相互独立的充要条件是pij pi p j (i 1,2;j 1,2,3)，因此有

P{X 1,Y 3} P{X 1}P{Y 3}

111 1 1 B 6918 18 18

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