华南理工大学数值分析试题A

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华南理工大学研究生课程考试

《数值分析》试卷A

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请按要求填写在本试卷上； 3. 课程代码：S0003004 4. 考试形式：闭卷

5. 考生类别：硕士研究生

6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一．选择、判断、填空题(10小题,每小题2分,共20分): *** 第1--2小题: 选择A、B、C、D四个答案之一, 填在括号内, 使命题成立 *** 1．数学模型的数值解与该数学模型的精确解之间的误差称为 。 A）模型误差 B） 观测误差 C） 截断误差 D） 舍入误差 2. 解线性代数方程组的列主元高斯消去法,与顺序高斯消去法相比,其优点是能( )。A）节省存储空间 B） 提高计算精度 C） 减少计算量 D） 提高计算速度

*** 第3--6小题: 判断正误, 正确写\√ \错误写\× \填在括号内 ***

3．一般而言，两个相近的数相减会导致有效数字的损失。( ) 4．通过n+1个点的n次牛顿插值多项式Nn(x)与通过这n+1个点的n次拉格朗日插值多项式Ln(x)是恒等的。( ) 5．两个节点的Newton—Cotes求积公式就是两点高斯求积公式。( ) 6．在常微分方程数值解法中，点xn+1处精确解y(xn+1)与对应数值解yn+1之差就称为 局部截断误差。（ ）

*** 第7--10小题: 填空题，将答案填在横线上 *** 7．设x= 0.012345 是经四舍五入得到的近似数，则它有 位有效数字，它的非保守 估计的绝对误差限为 。 8．解线性代数方程组的顺序高斯消去法包括 过程和 过程。 9．一次插值在几何上就是用 线近似代替已知曲线。

10．设A???12??34??, 则 A1? ， Cond(A)?? 。

二．( 12分) 依据如下函数值表

《数值分析》A卷 第 1 页 共 3 页

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x f(x) 0 1 0 1 2 f'(x)

(1) 构造插值多项式满足以上插值条件； (2) 给出插值余项表达式（不必证明）。

三．(11分) 设有试验数据如下：

x： 1 2 3 4 y： 4 10 18 26

试求其形如y?a?bx2的拟合曲线。 四．( 11分) 求积公式

?10f(x)dx≈

311f()?f(1)的代数精度是多少？ 已知其余项 434?10f(x)dx?[311f()?f(1)]的表达式为Cf???(?)，其中??(0,1)，问C是多少？ 434

五．（11分）用顺序Gauss消去法解线性方程组（用增广矩阵表示求解过程）：

??2x1?10x2?x3?15? ?10x1?2x2?x3?3

??x?2x?5x?1023?1计算过程中遇小数保留小数点后4位。 六．(11 分) 设A?Rn?n非奇异，b?R，证明：对于?xn（0）, 迭代公式

x(k?1)?x(k)?1T(k)Ab?Ax?2??

2产生的近似解序列收敛于方程组Ax=b 的解，其中 ??A。

七．（12分）已经知道，求一个数 R 的倒数可以不用除法而用下面的迭代公式算出: x n+1 = x n (2 – x n R), n = 0,1,2,......

试利用求根的牛顿迭代推导出该迭代公式，并利用判据确定该迭代法的收敛阶数。 八． ( 12分)

(1) 试分别运用Taylor展开的方法、以差商离散导数项的方法和数值积分的方法推导出

求解y’ = f (x , y), y (x0) = y0 的Euler公式：

y n+1 = y n + h f (x n , y n )，n = 0,1,2…

(2) 若用Euler公式解初值问题

?dy???2y?dx??y(0)?1《数值分析》A卷 第 2 页 共 3 页

试推导出该数值方法的绝对稳定条件。

《数值分析》A卷 第 3 页 共 3 页

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