2013走向高考，贾凤山，高中总复习，数学6-3

1.(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )

A．(－∞，1) C．(－1，＋∞) [答案] B

[解析] ∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方?－2－2t＋4<0，∴t>1.

[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0?点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0?点P在直线下方．

由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1.

(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在( ) A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方 C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方 [答案] A

[解析] ∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知， 22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A. x＋y－1≥0，??

2．在平面直角坐标系中，若不等式组?x－1≤0，

??ax－y＋1≥0

B．(1，＋∞) D．(0,1)

(a为常

数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )

A．－5 C．2 [答案] D

[解析] 由题意知a>－1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，

1

∵S△ABC＝2，∴×(1＋a)×1＝2，解得a＝3.

2

3．(文)(2011·湖北高考)直线2x＋y－10＝0与不等式组

B．1 D．3

??y≥0，

?x－y≥－2，??4x＋3y≤20

x≥0，

表示的平面区域的公共点有( )

A．0个 C．2个 [答案] B

B．1个 D．无数个

[解析] 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.

0≤x≤2??

(理)(2011·泉州质检)设不等式组?0≤y≤3

??x＋2y－2≥0

所表示的平面

区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为( )

A．25 C．3 [答案] B

[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B.

B.13 D.5

4．(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )

A．12万元 C．25万元 [答案] D

B．20万元 D．27万元

[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，

??2x＋3y≤18

由题意得?x≥0

??y≥0

3x＋y≤13

，

获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，

??3x＋y＝13

由?，解得A(3,4)． ??2x＋3y＝18

52

∵－3<－<－，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.

33x＋2y≤4??

5．(文)(2010·广东中山)实数x，y满足条件?x＋y≥1

??y≥0＋5y的最大值为( )

A．12 B．9 C．8 D．3 [答案] A

[解析] 由图可知，当z＝3x＋5y经过点A(4,0)时，z取最大值，最大值为12，故选A.

，则3x

4x－y－10≤0??

(理)(2011·重庆一诊)设实数x，y满足条件?x－2y＋8≥0

??x≥0，y≥0

，若

23

目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则a＋b的最小值为( )

25A. 611C. 3[答案] A

[解析] 由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋byab

取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1，

32

8B. 3D．4

2323ab13ba1325∴a＋b＝(a＋b)·(＋)＝＋a＋b≥＋2＝，故选A.

326666．(2010·揭阳市模考、重庆南开中学模考)已知正数x、y满足

??2x－y≤0?1?x?1?y

???的最小值为( ) ，则z＝?4?·???2??x－3y＋5≥0?

3A．1 1

C. 16[答案] C

B.

2 4

1D. 32

?1?y?1?2x＋y??＝??[解析] 如图易得2x＋y的最大值为4，从而z＝4·?2??2?

－x

1

的最小值为，选C.

16

7．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x名，女教师y名，x2x－y≥5，??

和y满足约束条件?x－y≤2，

??x<6.名．

[答案] 10

[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x＋y＝0，平移该直线，因为x∈N，y∈N，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时x＋y取得最大值，x＋y的最大值是10.

则该校招聘的教师最多是________

0≤x≤1??

8．(2011·苏北四市三调)在约束条件?0≤y≤2

??2y－x≥1的最小值为________．

[答案]

25

5

下，?x－1?2＋y2[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到?x－1?2＋y2可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即|－1－1|25为＝.

55

1.(文)(2010·山东省实验中学)已知变量x，y满足约束条件x＋y≥2??

?x－y≤2??0≤y≤3

，若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实

数a的取值范围为( )

A．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) [答案] A

[解析] 点(5,3)为直线y＝3与x－y＝2的交点，画出可行域，让直线y＝ax＋z绕点M(5,3)旋转，欲使仅在M点z取最小值，应有a>1.

B．(－∞，1) D．(－∞，－1)

y≥1??

(理)已知实数x，y满足?y≤2x－1

??x＋y≤m最小值为－1，则实数m等于( )

A．7 B．5 C．4 D．3

，如果目标函数z＝x－y的

[答案] B

[解析] 由选项知m>0，作出可行域如图．目标函数z＝x－y对应直线y＝x－z经过可行域内的点A时，－z取最大值，从而z取最小值－1.

??y＝2x－11＋m2m－1?由，得A(，)，

33?x＋y＝m?

1＋m2m－12－m

∴z＝－＝＝－1，∴m＝5.

333

x－y－2≤0??2．(文)(2010·南昌市模考)设实数x，y满足?x＋2y－5≥0

??y－2≤0y

u＝x的取值范围是( )

1

A．[，2]

31

C．[，2]

2[答案] A

y

[解析] 在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，令t＝x，11B．[，] 325

D．[2，] 2

，则

根据几何意义，t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然kOA最小，kOB最大，

1

∵点A(3,1)，点B(1,2)，故≤t≤2.

32x＋y－2≥0??

(理)已知实数x，y满足?x－2y＋4≥0

??3x－y－3≤0( )

A．1 C．13 [答案] C

[解析] 作出可行域如图，x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，显然点B(2,3)使x2＋y2取最大值13.

B．4 16

D. 3

，则x2＋y2的最大值为

x＋2y－19≥0，??

3．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组?x－y＋8≥0，

??2x＋y－14≤0

所表

示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )

A．[1,3] C．[2,9] [答案] C

??x＋2y－19＝0

[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由?得

??x－y＋8＝0??x＋2y－19＝0

A(1,9)，由?得B(3,8)，当函数y＝ax过点A时，a＝9，

??2x＋y－14＝0

B．[2，10] D．[10，9]

过点B时，a＝2，∴要使y＝ax的图象经过区域M，应有2≤a≤9.

4．(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公

司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )

A．4650元 C．4900元 [答案] C

[解析] 设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得

B．4700元 D．5000元

?2x＋y≤19，?

?x＋y≤12，?0≤x≤8，x∈N?0≤y≤7，y∈N

10x＋6y≥72，

利润z＝450x＋350y，可行域如图所示．

??2x＋y＝19解?得A(7,5)． ?x＋y＝12?

当直线350y＋450x＝z过A(7,5)时z取最大值， ∴zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.

5．(2010·四川广元市质检)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案

后，所付租金最少为________元.

船型 大船 小船 [答案] 116 [解析] 设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，

53

∵－<－，∴当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，

32但x，y∈N，

每只船限载人数 5 3 租金(元/只) 12 8

∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.

6．(文)(2010·广东广雅中学)某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

[解析] 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x

x＋y≤300??

分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得?500x＋200y≤90000

??x≥0，y≥0

，即

??5x＋2y≤900

?x≥0??y≥0

x＋y≤300

??x＋y＝300

，作出可行域如图，由?

?5x＋2y＝900?

3z

得M(100,200)．由题意总收益y＝3000x＋2000y.当直线y＝－＋22000经过可行域内的点M时，z取最大值，故z＝3000×100＋2000×200＝700000(元)＝70万元，故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告时收益最大，最大收益是70万元．

(理)(2010·吉林省质检)某单位投资生产A产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A、B两种产品，那么分别生产A、B两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

[解析] 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，共获得利润

S百万元，则

??2x＋y≤9?x≥0??y≥0

2x＋3y≤14

，

目标函数为S＝3x＋2y. 作出可行域如图，

??2x＋y＝9由?解得直线2x＋y＝9和2x＋3y＝14的交点为?2x＋3y＝14??135??135?3S

A?4，2?，平移直线y＝－x＋，当它经过点A?4，2?时，直线y

22????

3SS

＝－x＋在y轴上截距最大，S也最大．

222

135

此时，S＝3×＋2×＝14.75.

42

因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．

7．(文)(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一

等品的概率少0.05.

(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；

(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？

??P甲－P乙＝0.25

[解析] (1)依题意得?，

?1－P甲＝P乙－0.05???P甲＝0.65

解得?，

??P乙＝0.4

故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙

＝0.4.

(2)依题意得x、y应满足的约束条件为

??20x＋5y≤55?x≥0??y≥0

域．

4x＋8y≤32

，且z＝0.65x＋0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行

作直线b：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．

??x＋2y＝8解方程组?，得x＝2，y＝3.

??4x＋y＝11

故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5

(理)某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，

他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

[解析] 设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y18x＋15y≤180??

满足?1000x＋600y≤8000

??x≥0，y≥0，x，y∈Z

，且z＝200x＋150y.

约束条件可化简为： 6x＋5y≤60??

?5x＋3y≤40??x≥0，y≥0，x，y∈Z

可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过点B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值．

??6x＋5y＝602060

?解方程组，得到B(，)．

77?5x＋3y＝40?

由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必须都是2060

整数，所以，可行域内的点B(，)不是最优解，通过检验，当经

77过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．

于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．

[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．

x＋y≥2??

1．(2010·重庆市南开中学)不等式组?2x－y≤4

??x－y≥0区域的面积为( )

A．32 C．6 [答案] D

[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)

B．62 D．3

所围成的平面

11

∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC＝×2×4－×2×1＝3.

22

y≤1??

2．(2010·全国Ⅰ文)若变量x，y满足约束条件?x＋y≥0

??x－y－2≤0则z＝x－2y的最大值为( )

，

A．4 B．3 C．2 D．1 [答案] B

[解析] 先作出可行域如图．

作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．

当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.

?x＋2y≤4

3．已知实数x、y满足不等式组?

1

?y≥2x＋m

A．(－∞，0) 4

C．(－∞，]

3[答案] B

y≤x

，且z＝x2＋y2＋

2x－2y＋2的最小值为2，则实数m的取值范围为( )

B．(－∞，0]

?4??D.0，3? ??

[解析] 画出可行域如图所示，由题知z＝(x＋1)2＋(y－1)2，过点(－1,1)作直线y＝x的垂线，垂足为原点O，点(－1,1)与点O之间1

距离的平方恰好为2，说明点O一定在可行域内，则直线y＝x＋m

2在y轴上的截距m≤0，故选B.

[点评] 本题解题的关键是理解z的最小值为2的含义及观察出(－1,1)到原点距离的平方为2，这样最优解为O(0,0)，从而知当y＝

12

x＋m经过O点时，取最优解，不经过O点时，向哪移动才能保证点O在可行域内，即可得出问题的答案．

x＋2y－3≤0??

4．(2011·汕头二检)已知变量x，y满足约束条件?x＋3y－3≥0

??y－1≤0

，

若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为________．

1

[答案] (，＋∞)

2

[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，即直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线11x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，所以a>. 22

2x－y＋2≥0，??

5．(2010·安徽理)设x，y满足约束条件?8x－y－4≤0，

??x≥0，y≥0，

若目标

函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．

[答案] 4

[解析] 作出可行域如图所示：

???2x－y＋2＝0?x＝1

由?得，? ??8x－y－4＝0y＝4??

∴点A的坐标为(1,4)． ∴当x＝1，y＝4时，z最大，

∴ab＋4＝8，

即ab＝4，a＋b≥2ab＝4. x≤my＋n??

6．若由不等式组?x－3y≥0

??y≥0

(n>0)确定的平面区域的边界为

三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.

3

[答案] －

3

[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上， ∴OA为外接圆的直径，

∴直线x＝my＋n与x－3y＝0垂直， 113∴m×＝－1，即m＝－. 33

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