2013走向高考，贾凤山，高中总复习，数学1-2

1.(2011·佛山调研)下列四组函数中，是相等函数的是( ) A．y＝x－1与y＝?x－1?2 B．y＝x－1与y＝

x－1 x－1

C．y＝4lgx与y＝2lgx2 x

D．y＝lgx－2与y＝lg

100[答案] D

[解析] y＝?x－1?2＝|x－1|与y＝x－1的对应法则不同；y＝x－1的定义域中可以有1，但y＝

x－1

的定义域中无1；y＝4lgxx－1

中x>0，但y＝2lgx2中的x≠0，故A、B、C中的两函数都不是相等x

函数，D中，定义域相同，都是x>0，由y＝lg＝lgx－2知，对应

100法则也相同．因此两函数是相等函数．

??2x，x>04

2．(文)(2010·浙江五校联考)已知f(x)＝?，则f()3?f?x＋1?，x≤0?

4

＋f(－)等于( )

3

A．－2 C．2 [答案] B

44

[解析] ∵f(－)＝f(－＋1)

33

B．4 D．－4

112＝f(－)＝f(－＋1)＝f()，

3334442∴f()＋f(－)＝f()＋f() 333342＝2×＋2×＝4.

33

??2x＋1，x≤0，(理)已知函数f(x)＝?则f(2012)等于( )

?f?x－3?，x>0，?

A．－1 C．－3 [答案] A

B．1 D．3

[解析] f(2012)＝f(2009)＝f(2006)＝??＝f(2)＝f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1.

3．(2010·广西柳州市模拟)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数f?2x?

g(x)＝的定义域是( )

x

A．[0,2] C．(0,2] [答案] C

??0≤2x≤4

[解析] 由?得，0

??x≠0

B．(0,2) D．[0,2)

4．已知函数f(x)是奇函数，且定义域为R，若x>0时，f(x)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为( )

A．f(x)＝x＋2

??x＋2 x>0

C．f(x)＝?

??x－2 x<0

B．f(x)＝|x|＋2

x＋2 x>0??

D．f(x)＝?0 x＝0

??x－2 x<0

[答案] D

[解析] ∵f(x)为奇函数，且定义域为R， ∴f(0)＝0.

设x<0，则－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)＋2] ＝x－2.

2

5．(文)函数f(x)＝x的值域是( )

2－2A．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) [答案] D

1

[解析] ＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈

f?x?(－∞，－1)∪(0，＋∞)．

1

(理)(2011·茂名一模)若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)

21

＝f(x)＋的值域是( )

f?x?

1

A．[，3]

2510C．[，]

23[答案] B

111

[解析] 令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]

t221510

上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，

22310

可得值域为[2，]，选B.

3

b

6．a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映

a

10

B．[2，]

310

D．[3，] 3

B．(－1,0)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

射，f(x)＝x，则a＋b的值为( )

A．－1 C．1 [答案] C

bb

[解析] ∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f()＝1，则有＝1，与集

aa合元素的互异性矛盾，

b

∴f()＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.

a

112

7．(2011·杭州调研)已知f(x－)＝x＋2，则f(3)＝________.

xx[答案] 11

11

[解析] ∵f(x－)＝(x－)2＋2，

xx∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.

8．(2010·浙江五校联考)函数y＝log2?4－x?的定义域是________．

[答案] (－∞，3]

[解析] 要使函数有意义，应有log2(4－x)≥0， ∵4－x≥1，∴x≤3.

B．0 D．±1

??log2x，x>0

1.(文)(2010·福州模拟)已知函数f(x)＝?x，若f(1)＋f(a)

??2，x≤0

＝2，则a的值为( )

A．1 C．4

B．2 D．4或1

[答案] C

[解析] ∵f(1)＝0，∴f(a)＝2，∴log2a＝2(a>0)或2a＝2(a≤0)，解得a＝4或a＝1(舍)，故选C.

2

??sin?πx? ?－1

(理)函数f(x)＝?x－1，若f(1)＋f(a)＝2，则a

?e ?x≥0??

的所有可能值为( )

A．1 2C．－

2[答案] B [解析] f(1)＝1，

当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2， ∴a＝1，

当－1

∴πa＝＋2kπ(k∈Z)，

2

2

2B．1，－ 22D．1，

2

∵－1

2，故选B. 2

???3－a?x－4a ?x<1?

2．(文)已知f(x)＝?是(－∞，＋∞)上的增

??logax ?x≥1?

函数，那么a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) 3

C．[，3)

5[答案] D

[解析] 解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单

B．(－∞，3) D．(1,3)

增，由对数函数单调性知a>1 ①，又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3 ②，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，3

＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥ 5③，由①②③可得1

3

解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，故选D.

5[点评] f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)

(理)(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )

x

A．y＝[]

10x＋4

C．y＝[]

10[答案] B

x

[解析] 当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y＝[]，

10xx＋3

且易验证此时[]＝[]．

1010

x

当x除以10的余数为7,8,9时，由题设知y＝[]＋1，且易验证

10xx＋3x＋3

知此时[]＋1＝[]．综上知，必有y＝[]．故选B.

101010

3．(文)设a

x＋3

B．y＝[] 10x＋5

D．y＝[]

10

[答案] C

[解析] x>b时，y>0，排除A、B；又x＝b是变号零点，x＝a是不变号零点，排除D，故选C.

??8x－8，x≤1，

(理)(2011·北京东城综合练习)已知函数f(x)＝?

?0，x>1，?

g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为( )

A．4 C．2 [答案] C

[解析] 如图，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点，且均在函数y＝8x－8(x≤1)的图象上．故选C.

B．3 D．1

1－x??2－1 ?x<1?

4．(文)设函数f(x)＝?，若f(x0)>1，则x0的取

?lgx ?x≥1??

值范围是( )

A．(－∞，0)∪(10，＋∞) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(－1,10) D．(0,10) [答案] A

?x0<1?x0≥1

[解析] 由条件知，?1－x0或?，

2－1>1?lgx>1?0

∴x0<0或x0>10.

1?ln?x x>0

(理)(2010·浙江省金华十校)已知f(x)＝?

1??x x<0的解集为( )

A．(－∞，－1)∪(0，e) B．(－∞，－1)∪(e，＋∞) C．(－1,0)∪(e，＋∞) D．(－1,0)∪(0，e)

，则f(x)>－1

[答案] A

1

[解析] 当x>0时，ln>－1，即lnx<1，故0

x1

>－1，即x<－1，故不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，e)． x

1?1?

[点评] 可取特值检验，x＝－时，f?－?＝－2>－1不成立，排

?2?21?1?

除C、D；x＝时，f??＝lne＝1>－1成立，排除B，故选A.

e?e?

1－x21

5．(文)如果函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋?f(2012)＋f()221＋x11

＋f()＋?＋f()的值为________．

32012

[答案] 0

12

1－??2

x1－x2x2－111－x

[解析] 由于f(x)＋f()＝＋＝＋＝0，f(1)

x1＋x2121＋x2x2＋1

1＋??x＝0，故该式值为0.

(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝ab＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．

[答案] (2，＋∞)

[解析] 1⊕k＝k＋k＋2＝4，解之得k＝1，

∴f(x)＝x＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.

6．(文)某地区预计2011年的前x个月内对某种商品的需求总量1

f(x)(万件)与月份x的近似关系式是f(x)＝x(x＋1)(19－x)，x∈

75N*,1≤x≤12，求：

(1)2011年的第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式． (2)求第几个月需求量g(x)最大．

1

[解析] (1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝x(x＋1)(19

7511

－x)－(x－1)x(20－x)＝x(13－x)．

7525

11

(2)g(x)＝(－x2＋13x)＝－[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或

25257时g(x)最大．

第6、7月需求量最大．

(理)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨，(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

[解析] (1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨， 则y＝400＋60t－1206t(0≤t≤24) 令6t＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，

∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)； ∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x2－120x<80， 得x2－12x＋32<0，

832

解得4

33

328

∵－＝8，∴每天约有8小时供水紧张． 33

7．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：

该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：

第t天 Q(件)

(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

5 35 15 25 20 20 30 10

(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)

*

??t＋20 ?0

[解析] (1)P＝? *

??－t＋100 ?25≤t≤30，t∈N?

(2)图略，Q＝40－t(t∈N*) (3)设日销售金额为y(元)，

2*

??－t＋20t＋800 ?0

?t－140t＋4000 ?25≤t≤30，t∈N??

2*??－?t－10?＋900 ?0

???t－70?－900 ?25≤t≤30，t∈N?

若0900，知ymax＝1125，

∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．

(理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，1已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－(x－40)2＋100万元(已扣

160除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元

的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售1591192的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－(60－x)＋(60

1602－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？

1

[解析] 在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，

160知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)

1

实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100知，每

160795

年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)

8

7953975

前5年的利润和为×5＝(万元)

88

设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，

则其总利润为

115921192

W2＝[－(x－40)＋100]×5＋(－x＋x)×5＝－5(x－

160160230)2＋4950.

当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值， 3975

从而10年的总利润为＋4950(万元)．

83975∵＋4950>1000，

8

∴该规划方案有极大实施价值．

1．设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且FG.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，且g(x)为偶函数，则称g(x)为f(x)在G上

?1?x

的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝??(x≤0)，若g(x)为f(x)在R

?2?

上的一个延拓函数，则函数g(x)的解析式为( )

A．g(x)＝2|x|

?1?

C．g(x)＝??|x|

?2?

B．g(x)＝log2|x| D．g(x)＝log1 |x|

2

[答案] A

?1?

[解析] 由延拓函数的定义知，当x≤0时，g(x)＝??x，当x>0

?2??1?－x

时，－x<0，∴g(－x)＝??＝2x，

?2?

∵g(x)为偶函数，∴g(x)＝2x， 1?????x x≤0

故g(x)＝??2?

?2x x>0

，即g(x)＝2|x|.

2．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

[答案] A

[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知0

3．函数f(x)＝|log1 x|的定义域是[a，b]，值域为[0,2]，对于区间

2

[m，n]，称n－m为区间[m，n]的长度，则[a，b]长度的最小值为( )

15

A. 4C．4 [答案] D

[解析] 令f(x)＝0得，x＝1，令f(x)＝2得，log1 x＝±2，∴x

2

B．3 3

D. 4

11

＝或4，∴当a＝，b＝1时满足值域为[0,2]，故选D. 44

x2? x≤1

4．若函数f(x)＝?log1 x x>1，则函数y＝f(2－x)的图象可

?

2

以是( )

[答案] A

[分析] 可依据y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，及y＝f(2－x)可由y＝f(－x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y＝f(2－x)的解析式取特值验证．

[解析] 由函数y＝f(x)的图象关于y轴对称得到y＝f(－x)的图象，再把y＝f(－x)的图象向右平移2个单位得到y＝f(2－x)的图象，故选A.

5．定义两种运算：a⊕b＝a2－b2，a?b＝?a－b?2，则函数f(x)2⊕x＝的解析式为( ) ?x?2?－2

4－x2A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]

x

x2－4

B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

xx2－4

C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

x4－x2D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]

x[答案] D

[解析] f(x)＝

，

?x－2?－2

24－x22

?4－x≥0?由?得，－2≤x<0或0

4－x2∴f(x)＝，

?2－x?－2

4－x2即f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．

x

6．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

[答案] B

[解析] 解法1：取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，

则EF∥AC，∵AC⊥BD，AC⊥BB1， ∴AC⊥平面BDD1B1，∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面BED1F⊥平面BDD1B1，

过点P作MN∥EF，则MN⊥平面BDD1B1，

BPMNEF

MN交BE、BF于M、N，则＝，∴MN＝·BP，

BOEFBO不难看出当P在BO上时，y是x的一次增函数， 当P在OD1上时，y是x的一次减函数，故选B.

解法2：连结AC，A1C1，则MN∥AC∥A1C1，当且仅当P为BD1

的中点Q时，MN＝AC取得最大值，故答案A，C错，又当P为BQ1

中点时，MN＝AC，故答案D错，所以选B.

2

1＋x?x??1?

??7．设函数f(x)＝ln，则函数g(x)＝f＋f??的定义域是?2??x?1－x________．

[答案] (－2，－1)∪(1,2)

1＋x

[解析] 由>0知－1

1－xx??－1<2<1 ∴?

1??－1

①②

，由①得－21或x<－1，因

此－2

8．已知函数f(x)的值域为[0,4]，(x∈[－2,2])，函数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，?x1∈[－2,2]，总?x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是______．

?5??5?[答案] ?－∞，－?∪?，＋∞?

??2??2

[解析] 只需要函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集即可． (1)当a>0时，g(x)＝ax－1单调递增，∵x∈[－2,2]，

??－2a－1≤0

∴－2a－1≤g(x)≤2a－1，要使条件成立，只需?，

??2a－1≥4

5

∴a≥. 2

(2)当a<0时，g(x)＝ax－1单调递减．

∵x∈[－2,2]，∴2a－1≤g(x)≤－2a－1，要使条件成立，

??2a－1≤0只需?

?－2a－1≥4?

1??a≤2

，∴?

5?a≤－?2

5

，∴a≤－.

2

?5??5????综上，a的取值范围是－∞，－∪，＋∞?. ??2??2

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