第二章 现在控制理论 线性系统的数学描述1

第二章 线性系统的数学描述

数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

例如：微分方程式、传递函数和差分方程。

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型；

从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。

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2.1 线性系统的时域数学模型

对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：

c(n)(t)?a1c(n?1)(t)?a2c?b0r(m)(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?1)

(t)?b1r(t)?b2r(m?2)?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.1)

式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，c(n)(t)为c(t)对时间

t的n阶导数；ai(i?1,2,?n)和bj(j?0,1,?m)是由系统的结构参数决定的系

数。

一般情况下，列写控制系统运动方程的步骤是(建模过程):

首先，分析系统的工作原理及其各变量之间的关系，找出系统的输入量和输出量；

其次，根据系统运动特性的基本定律，一般从系统的输入端开始依次写出各元件的运动方程，在列写元件运动方程时，需要考虑相接元件间的相互作用；

最后，由组成系统各元件的运动方程中，消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程，并将其化为标准形式。

2.2 传递函数

控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机可以迅速而准确地求得结

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果。

但是，如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。

2.2.1 拉氏变换

拉氏变换是传递函数的数学基础，因此在讨论传递函数之前先简要介绍一下拉氏变换的有关概念、性质和结论。

1. 拉氏变换的定义

若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e?st（其中s???j?是一个复数），

并且在?0,???上对t积分，就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为f(t)的拉氏变换，并用符号L[f(t)]表示。

F(s)?L[f(t)]????0f(t)e?stdt (2.2)

上式就是拉氏变换的定义式。从这个定义可以看出，拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。通常将F(s)称作f(t)的象函数，将f(t)称作F(s)的原函数。常用函数的拉氏变换见附录A。

2.2.2 传递函数的定义和特点

一、 传递函数的定义

线性定常系统的传递函数为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述：

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a0c(n)(t)?a1c?b0r(n?1)(t)?a2c(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?2)

(m)(t)?b1r(m?1)(t)?b2r?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.3)

(n)c(t)为c(t)对时间t的式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，

n阶导数；ai(i?0,1,?n)和bj(j?0,1,?m)是由系统的结构参数决定的常系数。

如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t?0时的值均为零，即满足如下的零初始条件

?(0)?c??(0)???c(n?1)(0)?0c(0)?c(m?1)?(0)???r(0)?rr(0)???r(0)?0

则根据拉氏变换的定义和性质，对(2.3)进行拉氏变换，并令C(s)?L[c(t)]，

R(s)?L[r(t)]可得

由

得到

L[c(n)L[f(n)(t)]?sF(s)

n(2.4)

(t)]?sC(s)，L[r(n)(t)]?snR(s)

n

L[a0c(n)(t)?a1c?b0r(n?1)(t)?a2c(n?2)?(t)?anc(t)] (t)???an?1c(m?2)

(m)(t)?b1r(m?1)(t)?b2r?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.5)

[a0s?a1snn?1???an?1s?an]C(s)

m?1?[b0s?b1sm???bm?1s?bm]R(s)

由传递函数的定义可得系统(2.3)的传递函数为

G(s)?C(s)R(s)?b0s?b1snmm?1n?1???bm?1s?bm???an?1s?ana0s?a1s?M(s)N(s) (2.6) 12

式中

M(s)?b0s?b1smm?1???bm?1s?bm

N(s)?a0s?a1snn?1???an?1s?an

M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述

状态空间描述是现代控制理论的基础，它不仅可以描述输入输出关系，而且可以描述系统的内部特性，特别适合于多输入多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述。

2.5.1 状态空间描述的基本概念

状态：指系统的运动状态。设想有一个质点作直线运动，这个系统的状态就是质点每一个时刻的位置和速度。

状态变量:指足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。若知道这些变量在任何初始时刻t0的值和t?t0时系统所加的输入函数，便可完全确定在任何t?t0时刻的状态。

一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就完全披揭示了。因此可以说，系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。需要指出，对同一个系统，选取哪些变量作为状态变量并不是唯一的，但这些变量必须是互相独立的，

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且个数等于微分方程的阶数。对于一般物理系统，微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数。因此，系统状态变量的个数又可以说等于系统中独立储能元件的个数。

状态向量：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、?、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是向量x(t)的分量，则向量x(t)称为状态向量。记为

?x1(t)???x2(t)?x(t)???????x(t)??n??

或

x(t)??x1(t),x2(t),?,xn(t)?T

状态空间：以状态变量x1(t)、x2(t)、?、xn(t)为坐标轴构成的n维空间。系统在任意时刻的状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。已知初始时刻t0的状态x(t0)，可得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹线。

状态方程:描述系统的状态变量与系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。

输出方程:描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式:状态方程与输出方程组合起来，就构成对一个系统动态的完整描述，称之为状态空间表达式。

通常，对于单变量系统(单输入单输出)，状态方程习惯写成如下形式

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?1?a11x1?a12x2???a1nxn?b1u?x??2?a21x1?a22x2???a2nxn?b2u?x????x??n?an1x1?an2x2???annxn?bnu (2.7)

输出方程为

写成矩阵向量形式为

式中x??x1,?a11?a21?A??????an1x2,?,xn?Ty?c1x1?c2x2??cnxn?du (2.8)

??Ax?Bu?x??y?Cx?du (2.9)

表示n维状态向量；

?b1???b2??，B????，C??c1????bn??n?1a12a22?an2???a1n??a2n????ann??n?nc2?cn?1?n，d

A、B、C、d分别表示系统内部状态的系数矩阵（系统矩阵）、输入对状态作用的输入矩阵、输出与状态关系的输出矩阵、直接联系输入量与输出量的直接传递函数（或称前馈系数）。

推广到p输入、q输出的系统，其状态空间表达式为

?i?ai1x1?ai2x2???ainxn?bi1u1?bi2u2???bipup (i?1,2,?n)x (2.10)

yj?cj1x1?cj2x2???cjnxn?dj1u1?dj2u2???djpup (j?1,2,?q) (2.11)

写成矩阵向量形式为

??Ax?Bu?x??y?Cx?Du (2.12)

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式中x和A同单变量系统。

u???u1u2?up??T 表示p维输入向量；

?b11?b21?B??????bn1y???y1b12b22?bn2y2????b1p??b2p????bnp??n?pyq??T 表示输入矩阵；

表示q维输出向量；

?c11?c21?C??????cq1?d11?d21?D??????dq1c12c22?cq2d12d22?dq2?????c1n??c2n??? ?cqn??q?nd1p??d2p????dqp??q?p表示输出矩阵；

表示直接传递函数矩阵。

?上述系统可简称为系统(A,B,C,D)。

用状态空间表达式描述的系统也可以用框图2-25表示系统的结构和信号传递的关系。图中的双线箭头表示向量信号传递。

uB+A+D?xx+yC+?dt图2-25 状态空间表达式的框图

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2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系

同一系统的两种不同模型（传递函数和状态空间表达式）之间存在内在的联系，并且可以互相转化。以下是对单输入、单输出系统的讨论。

设要研究的系统的传递函数为

该系统在状态空间可表示为

?=Ax?Bu xG(s)?Y(s)U(s) (2.13)

(2.14) (2.15)

y?Cx?Du

式中x为状态向量，u,y分别为输入量和输出量。在零初始条件假设下，方程(2.14)和(2.15)的拉氏变换为

所以有

(sI?A)X(s)?BU(s)

?1其中I为单位矩阵。用(sI?A)乘上式两边，有

L[f(n)(t)]?sF(s)

n(2.16)

sX(s)?AX(s)?BU(s)

Y(s)?CX(s)?DU(s)

将式(2.63)代入下式

X(s)?(sI?A)BU(s)

?1(2.17)

Y(s)?CX(s)?DU(s)

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因此有

Y(s)?[C(sI?A)B?D]U(s)

?1(2.18)

根据传递函数的定义可知，系统的传递函数与状态空间描述之间的关系为

G(s)?C(sI?A)B?D?1 (2.19)

对于单输入单输出系统：采用式(2.19)可以求出系统的传递函数； 对于多输入多输出系统：用式(2.19)求出的是用于描述多变量系统输入输出关系的传递函数矩阵。

2.5.3 状态空间表达式的建立

线性定常系统的状态空间表达式也可以由系统的微分方程或传递函数来建立。

情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点 考虑下列n阶系统

y(n)?a1y(n?1)??any?u???an?1y (2.20)

(2.21)

L?y(i)(t)??siY(s),LyL[yn(n)L?u(t)??U(s),

?(n)?a1y(n?1)??any?L?u? ???an?1y?]?a1L[yn?1(n?1)?]?anL[y]?L?u? ]???an?1L[ysY(s)?a1sY(s)???an?1sY(s)?anY(s)?U(s)n?1

?sn?a1s???an?1s?anY(s)?U(s)

?因此，其对应的传递函数为

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