现代控制理论大作业概要

现代控制理论

(主汽温对象模型)

班级: 学号: 姓名:

目录

一. 背景及模型建立

1. 火电厂主汽温研究背景及意义 2. 主汽温对象的特性 3. 主汽温对象的数学模型 二.分析

1. 状态空间表达

2. 化为约当标准型状态空间表达式并进行分析 3. 系统状态空间表达式的求解 4. 系统的能控性和能观性 5. 系统的输入输出传递函数 6. 分析系统的开环稳定性 7. 闭环系统的极点配置 8. 全维状态观测器的设计

9. 带状态观测器的状态反馈控制系统的状态变量图 10. 带状态观测器的闭环状态反馈控制系统的分析

三.结束语

1. 主要内容 2. 问题及分析 3. 评价

一.背景及模型建立

1.火电厂主汽温研究背景及意义

火电厂锅炉主汽温控制决定着机组生产的经济性和安全性。由于锅炉的蒸汽容量非常大、过热汽管道很长，主汽温调节对象往往具有大惯性和大延迟，导致锅炉主汽温控制存在很多方面的问题，影响机组的整个工作效率。主汽温系统是表征锅炉特性的重要指标之一，主汽温的稳定对于机组的安全运行至关重要。其重要性主要表现在以下几个方面：

(1) 汽温过高会加速锅炉受热面以及蒸汽管道金属的蠕变，缩短其使用寿命。例如，12CrMoV 钢在585℃环境下可保证其应用强度的时间约为10万小时，而在 595℃时，其保证应用强度的时间可能仅仅是 3 万小时。而且一旦受热面严重超温，管道材料的强度将会急剧下降，最终可能会导致爆管。再者，汽温过高也会严重影响汽轮机的汽缸、汽门、前几级喷嘴和叶片、高压缸前轴承等部件的机械强度，从而导致设备损坏或者使用年限缩短。

(2) 汽温过低，会使得机组循环热效率降低，增大煤耗。根据理论估计可知：过热汽温每降低10℃，会使得煤耗平均增加0.2%。同时，汽温降低还会造成汽轮机尾部的蒸汽湿度增大，其后果是，不仅汽轮机内部热效率降低，而且会加速汽轮机末几级叶片的侵蚀。此外，汽温过低会增大汽轮机所受的轴向推力，不利于汽轮机的安全运行。

(3) 汽温变化过大会使得管材及有关部件产生疲劳，此外还将引起汽轮机汽缸的转子与汽缸的胀差变化，甚至产生剧烈振动，危及机组安全运行。

据以上所述，工艺上对汽温控制系统的质量要求非常严格，一般控制误差范围在±5℃。主汽温太高会缩短管道的使用寿命，太低又会降低机组效率。所以必须实现汽温系统的良好控制。而汽温被控对象往往具有大惯性、大延时、非线性，时变一系列的特性，造成对象的复杂性，增加了控制的难度。现代控制系统中有很多关于主汽温的控制方案，本文我们着重研究带状态观测器的状态反馈控

[1]制对主汽温的控制。

2.主汽温对象的特性

2.1主汽温对象的静态特性

主汽温被控对象的静态特性是指汽温随锅炉负荷变化的静态关系。过热器的传热形式、结构和布置将直接影响过热器的静态特性。现代大容量锅炉多采用对流过热器、辐射过热器和屏式过热器。对流过热器布置在450℃～1000℃烟气温度的烟道中，受烟气的横向和纵向冲刷，烟气以对流方式将热量传给管道。而辐射过热器则是直接吸收火焰和高温烟气的辐射能。屏式过热器布置在炉膛内上部

或出口处，属于辐射或半辐射过热器。对于辐射过热器，当锅炉负荷增加时，必须增加燃料量和风量。随着炉膛温度的提高，辐射传热量也将增加。但炉膛温度提高得并不多，而蒸汽量与燃料量是成正比的，这样就造成辐射传热量的增加赶不上蒸发量的增加。再者来说，当负荷增加时，强化燃烧后炉膛出口烟气温度将升高，这表明每公斤燃料产生的烟气带出炉膛的热量增多，这也说明了炉膛辐射吸热量的相对减少。所以，辐射受热面的汽温是随着锅炉负荷的增加而降低的。 对于对流式受热面，当锅炉负荷增加和燃料消耗量增大时，流过对流受热面的烟气流速也增加，从而使对流的放热系数增大。另外，因为炉膛出口烟温升高，即进入对流受热面的吸热量增加值，超过了流过对流受热面的蒸汽流量的增加值。所以，对流受热面的汽温是随锅炉负荷的增加而升高的。

2.2 主汽温对象的动态特性[3]

2.2.1蒸汽流量扰动下主汽温的动态特性

在蒸汽流量D产生阶跃扰动时，主汽温?变化的响应曲线如图2-2-1所示：

图2-2-1 蒸汽流量扰动下主汽温响应曲线

蒸汽流量D扰动下，主汽温调节对象动态特性的特点是: 有延迟、有惯性、有自衡能力。

当锅炉负荷增加时，通过对流式过热器的烟气温度和流速都增加，因此对流式过热器出口汽温升高；但对于辐射式过热器，炉膛内烟温升高增加的辐射传热量小于蒸汽流量增加所需的吸热量，因此辐射式过热器出口汽温下降。 2.2.2烟气热量扰动下汽温的动态特性

在烟气热量Qy产生阶跃扰动下，汽温θ变化的响应曲线如图2-2-2所示：

图2-2-2 烟气热量扰动下汽温响应曲线

烟气热量Qy扰动下，汽温调节对象动态特性的特点是:有迟延、有惯性、有自平能力。

由于烟气热量变化时，沿过热器长度使烟气和过热蒸汽之间的传热量同时变化，因此，汽温θ反应较快，其时间常数Tc和迟延时间τ均较小。 2.2.3减温水量扰动下汽温的动态特性

减温水量WB扰动下，汽温调节对象动态特性的特点是: 有迟延、有惯性、有自衡能力。由于现代大型锅炉过热器管路很长，因此减温水量WB变化时汽温θ反应较慢，其时间常数Tc和迟延时间τ均较大。

在减温水量WB产生阶跃扰动下，汽温θ变化的响应曲线如图2-2-3所示：

图2-2-3 减温水量扰动下汽温响应曲线

3.主汽温对象的数学模型

3.1主汽温对象模型的建立

分析和设计自动控制系统的一个首要任务是建立系统的数学模型，因为不论要了解的是简单系统的特性还是复杂系统的特性，都必须掌握系统中各变量之间的相互动态关系。尽管，电厂汽温控制系统的动态特性复杂，具有多变量、非线性和分布复杂的特点，难以建立精确的数学模型，但是运用多种知识，建立能相对反映汽温控制系统动态性能的数学模型，还是对研究相应的自动控制方法大有

益处。

锅炉过热器是由辐射过热器、对流过热器和减温器等组成，其任务是将从汽包出来的饱和蒸汽加热到一定的数值，然后送往汽轮机去做功。通常称减温器前的过热器为前级过热器，减温器后的过热器为后级过热器。

图2-3-1 过热蒸汽喷水减温系统示意图

过热器布置在高温烟道中，大型锅炉的过热器往往分为若干段，在各段之间设置喷水减温器，即采用汽温的分段控制，温度调节用减温水由锅炉的给水系统提供。其示意图如图2-3-1。图中，θs为过热器出口蒸汽温度，它是控制系统的被调量；Ws1、Ws2是减温器的喷水量，它是控制系统的调节量。

3.2主汽温对象的模型

目前电厂中广泛使用的汽温调节系统主要是基于常规控制器构成的串级控制系统。因为常规PID控制器的参数是根据被控对象的数学模型来整定的。而汽温调节对象的动态特性随机组负荷的变化而有较大变化，因此，当机组负荷变化时，该控制系统的工作点建立多固定模型，设计相应的控制器，在运行过程中根据系统工况变化选择相应的控制器输出以获得满意的控制效果，通过控制器在不同工况下的切换使系统达到全局稳定性的要求。 某机组导前区模型：G1(s)?y(s)1.1， ?y1(s)12s?1惰性区模型：G2(s)?y1(s)2.8?， u(s)(30s?1)2总体模型：G(s)?y(s)1.1?2.8?。 2u(s)(12s?1)（30s+1)对应的一种状态空间模型为

0?0??1/301/30???x???u x??0?1/301/300??????0?1/12??0??1.1*2.8/12??y??100?x

二.分析

1.状态空间表达式

0?0??1/301/30???x???u x??0?1/301/300??????0?1/12??0??1.1*2.8/12??y??100?x

2.化为约当标准型状态空间表达式并进行分析

程序:

>>clear;

>>A=[-1/30 1/30 0;0 -1/30 1/30;0 0 -1/12]; >>B=[0 0 1.1*2.8/12]'; >>C=[1 0 0]; >>D=0;

>>[P,J]=jordan(A); >>A1=inv(P)*A*P >>B1=inv(P)*B >>C1=C*P

结果:

?0.44440.0222?0.4444??00.6667?变换矩阵P???0.6667? ??00?1.0000?00??0.0833????0.03330特征值J??0? ??0?0.0333?0?00??0.0833?~?A??0?0.03331.0000?? ??00?0.0333???0.2567?~? 0B??????0.2567??~C??0.44440.0222?0.4444? 因此约当标准型状态空间表达式为

00??0.0833??0.2567??~?0?u ~???0x?0.03331.0000x????????0?0.0333?0??0.2567???~x y??0.44440.0222?0.4444系统矩阵A的特征根有重根,因此,经线性变换,将A化为约当标准型.

3.系统状态空间表达式的求解

线性定常非齐次状态方程的解可表示为

x?t????t?x(0)???(t)Bu(?)d?

0t??t??eAt矩阵A有重特征根时,

eAt?e?0.0833t??P?0?0?0e?0.0333t0??te?0.0333t?P?1 e?0.0333t??00e?0.0333t0??001.0000???te?0.0333t??45.000030.00000???0.0333t?e1.50001.0000??0???0?0.0833t?0.44440.0222?0.4444??e??0???0.666700.6667?????00?1.0000???0?0.999e?0.0333t???0?0?0.0333te?0.0333t?0.0006e?0.0333t1.00005e?0.0333t00.4444e?0.0833t?0.2222te?0.0333t?0.4444e?0.0333t???0.6667e?0.0833t?0.6667e?0.0333t??0.0833t?e?当输入脉冲函数u(t)??(t)时,则系统状态方程的解

x(t)??(t)x(0)??(t)B 因此

?0.999e?0.0333t?x(t)??0?0?0.0333te?0.0333t?0.0006e?0.0333t1.00005e?0.0333t00.4444e?0.0833t?0.2222te?0.0333t?0.4444e?0.0333t???0.6667e?0.0833t?0.6667e?0.0333t?x(0)?e?0.0833t??0.1141e?0.0833t?0.0570te?0.0333t?0.1141e?0.0333t??????0.1711e?0.0833t?0.1711e?0.0333t???0.2567e?0.0833t??

4.系统的能控性和能观性

(1) 能控性

①代数判据:线性定常系统状态完全能控的充要条件为:矩阵

UC?BAB...An?1B是满秩的,或表示成rankUC?rankBAB...An?1B?n

???? ②模态判据1:若系统矩阵A为对角型,则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零

③模态判据2:若系统矩阵为约当型,则系统能控的充要条件是: 输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行,没有一行的元素全为零; 输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行,没有一行的元素全为零.

>>Qc=ctrb(A,B) >>rank(Qc)

00.0003??0?Qc??00.0086?0.0010??

??0.2567?0.02140.0018??

ans?3

因此系统能控

(2) 能观性

①代数判据:系统定常系统?(A,C)状态能观测的充要条件为:VO?CCA...CAn?1的秩为n

②模态判据1:若系统A为对角型,则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为零

③模态判据2:若系统A为约当型,则系统能观测的充要条件是:

??T输出矩阵C中对应于互异的特征值的各列,没有一列的元素全为零; 输出矩阵C中与每个约当块的第一列相对应的各列,没有一列的元素全为零

>>Qo=obsv(A,C) >>rank(Qo)

00??1.0000? Qo???0.03330.03330?????0.0011?0.00220.0011?ans?3

因此系统能观

5.系统的输入输出传递函数

>>G=ss(A,B,C,D); >>Gc=tf(G)

Transfer function:

0.0002852

----------------------------------------

s^3 + 0.15 s^2 + 0.006667 s + 9.259e-005

0.0002852G(s)?C(sI?A)?1B?D?3 2?5s?0.15s?0.006667s?9.259*106.分别用特征根方法和Lyapunov第二法分析系统的开环稳定性

(1) 特征根方法:

特征根分别为-0.0333,-0.0333,-0.0833,均在左半平面,因此系统开环稳定

(2) Lyapunov第二法:

1) 由平衡点方程 11x1?x2 3030???1x2?1x3 x23030???1x3 x312??? x1 解出唯一平衡点?x1?0,x2?0,x3?0?为坐标原点

2) 设李氏函数为

v?x??xTPx ?(x)?xT(?Q)x v

取Q?I,则矩阵由下式确定:

ATP?PA??I 则1?1??1??00?0?30?P11P12P13?P11P12P13??3030?????100??1???111???P21P22P23??0????0?10??0??P21P22P23??????303030???30??11??1???P31P32P33????P31P32P33????00?1???0?00???3012?12?????

1515??15?27??1545345?? 解出 P??249??2?15345432??4949??7? 用塞尔维斯判据检验P的正定性: ?1?P11?15?0 ?2?P11P12P21P22152?0 ?15452215151527P131545345P23??0 2249P33153454327494915P11P12 ?3?P21P22P31P32可知P?0,正定,系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的.

7.采用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值,使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右

>>step(G)

开环阶跃响应如图一,上升时间约为200s 图一:

>>M=[-0.15 -0.15 -0.4]; >>K=acker(A,B,M) >>eig(A-B*K)

>>G1=ss(A-B*K,B,C,D); >>G2=tf(G1) >>step(G2)

期望反馈闭环极点为-0.15,-0.15,-0.4

? 状态反馈矩阵为K??17.500011.59092.1429验证配置结果ans=-0.1500,-0.1500,-0.4000

a =

x1 x2 x3 x1 -0.03333 0.03333 0 x2 0 -0.03333 0.03333 x3 -4.492 -2.975 -0.6333 b =

u1 x1 0 x2 0 x3 0.2567 c =

x1 x2 x3 y1 1 0 0 d =

u1 y1 0

Continuous-time model.

经过状态反馈后,系统的传递函数阵为 Transfer function: 0.0002852

-------------------------------- s^3 + 0.7 s^2 + 0.1425 s + 0.009

0.0002582G(s)?C(sI?(A?BK))?1B?3

s?0.7s2?0.1425?0.009并且经过状态反馈后,系统的阶跃响应为图二,上升时间约为50s 图二:

8.为系统设计全维状态观测器，将观测器的极点配置到合适的值

(1)配置状态观测器的极点

>>N=[-3 -3 -8]; >>L=acker(A',C',N)' >>eig(A-L*C)

配置观测器期望极点为-3,-3,-8

?14??1661全维状态观测器的反馈阵为L???????60612?

验证配置结果,ans=-8.0000,-3.0000,-3.0000

(2)生成系统状态估计器

>>est=estim(G,L)

a =

x1 x2 x3 x1 -13.88 0.03333 0 x2 -1661 -0.03333 0.03333 x3 -6.061e+004 0 -0.08333 b =

u1 x1 13.85 x2 1661 x3 6.061e+004 c =

x1 x2 x3 y1 1 0 0 y2 1 0 0 y3 0 1 0 y4 0 0 1 d =

u1 y1 0 y2 0 y3 0 y4 0

Input groups: Name Channels Measurement 1 Output groups: Name Channels OutputEstimate 1 StateEstimate 2,3,4 Continuous-time model.

(3)状态观测器的阶跃响应

>>step(

(4)输出和观测状态的传递函数

>>tf(est)

Transfer function from input to output...

13.85 s^2 + 56.99 s + 72 #1: ------------------------ s^3 + 14 s^2 + 57 s + 72

13.85 s^2 + 56.99 s + 72 #2: ------------------------ s^3 + 14 s^2 + 57 s + 72

1661 s^2 + 2214 s + 71.96 #3: ------------------------- s^3 + 14 s^2 + 57 s + 72

6.061e004 s^2 + 4041 s + 67.35 #4: ------------------------------ s^3 + 14 s^2 + 57 s + 72 Input groups: Name Channels Measurement 1 Output groups: Name Channels OutputEstimate 1 StateEstimate 2,3,4

9.画出带状态观测器的状态反馈控制系统的状态变量图

>>T=1:300;plot(T/50,y(1:300,:));ylabel('y');legend('系统','观测'); >>T=1:300;plot(T/50,x1(1:300,:));ylabel('x1');legend('系统','观测'); >>T=1:300;plot(T/50,x2(1:300,:));ylabel('x2');legend('系统','观测');

>>T=1:300;plot(T/50,x3(1:300,:));ylabel('x3');legend('系统','观测');

(1) 跟踪正弦波 正弦x1

正弦x2

正弦x3

正弦y

(2) 跟踪阶跃信号 阶跃x1

阶跃x2

阶跃x3

阶跃y

10.求带状态观测器的闭环状态反馈控制系统的状态空间表达式，并求闭环传递函数、分析闭环系统的稳定性

(1)带状态观测器的闭环状态反馈控制系统的状态空间表达式 设能控能观测的受控系统为

??Ax?Bu x y?Cx 状态反馈控制率为

? u?r?Kx状态观测器方程为

??(A?LC)x??Bu?Ly x由以上三式可得整个闭环系统的状态空间表达式为

??Ax?BKx??Br x???LCx?(A?LC?BK)x??Br xy?Cx

将它写成分块矩阵的形状

???A?x ????????LC?x?BK??x??B??x???B?r ?A?LC?BK???????x? y??C0???

???x 即

0??0.033330.03333?0?0.033330.03333????00?0.08333?x??x???00????13.85?166100?00??60610

??0???0?000????4.492?2.975?0.55??x??0.2567???????r??13.880.033330x0??????0??1661?0.033330.03333?????60620?2.975?0.6333????0.2567??000?x?y??100000???

???x(2)系统的闭环传递函数

带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递

函数阵,它玉是否采用观测器反馈无关,即

0.0002852G(s)?C(sI?(A?BK))?1B?3

s?0.7s2?0.1425s?0.009(3)闭环系统的稳定性

由观测器构成状态反馈的闭环系统,其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式sI?(A?BK)和观测器部分的特征多项式sI?(A?LC)的乘积,而且相互独立.这个闭环系统的特征值为-0.15,-0.15,-0.4,-3,-3,-8,因此闭环系统稳定.

三.结束语

1.主要内容

本次大作业是以火电厂主汽温为研究背景,通过分析主汽温的静态以及动态特性(蒸汽流量扰动下主汽温的动态特性, 烟气热量扰动下汽温的动态特性,减温水量扰动下汽温的动态特性)进行主汽温对象模型的建立,最后得到状态空间模型为:

0?0??1/301/30???x???u x??0?1/301/300??????0?1/12??0??1.1*2.8/12??y??100?x.以上的模型是老师建立好的,但是通过阅读这些资料并且对比这些模型的建立过程,我了解了建模的基本步骤,以及如何对模型进行简化.

我做的工作主要包括将系统状态空间表达式化为标准型(约当标准型),线性定常齐次状态方程的求解,控制系统的能控性及能观性的判别,控制系统的稳定性的判断,闭环系统的极点配置,状态观测器的设计.

2.问题及分析

在熟读课本的基础上,借助MATLAB进行辅助计算及对部分环节进行仿真,对控制系统有较为全面的分析.同时也遇到了很多问题.开始的时候由于盲目的追求进度,忽略了这个系统矩阵的特征根有重根,就想把它化为对角线标准型.后来通

(A)语句求出了矩阵特征根及特征向量.在每一章的过查阅资料用?P,J??jordan学习中,针对同一类问题都有若干种不同的解法,比如关于线性定常非齐次状态方程转移矩阵的计算就有直接法,拉普拉斯变换法,化矩阵A为标准型法三种,要根据实际的题目选择最合适的方法.关于线性控制系统能控性和能观性的判别同样有多种判据,代数判据(秩判据),模态判据1,模态判据2.进行系统判稳,主要学习的是李雅普诺夫第二法.采用状态反馈可以实现闭环系统的极点任意配置,以获得所希望的动态性能.在系统完全能观测,或其不能观测子系统是渐进稳定的前提下,才可以构造观测器.

3.评价

这是大学以来第一次以大作业的形式结课.个人觉得这种方式比以往的开卷,闭卷或者交论文的方式要好.任何形式的考试都避免不了有抄袭作弊的现象,而且试卷题目过难或者过于简单都不能考出学生的水平,因此试卷的难易程度不

容易控制.由于现在网上资源很丰富,写论文的方式则很难体现公平的原则,而且本科生由于经验,知识储备的限制,很难写好论文.

现代控制理论这种课程更侧重于应用以解决实际的问题,而不是单纯的计算,我觉得很适合大作业的方式.以实际的问题为背景,通过建模进而做出分析,这种方式很新颖.要完成这样一份大作业.必然要熟读教材内容,在掌握相关知识点的基础上,才能对所给出的控制系统进行分析,因此学生会很主动的去学习教材内容,增强了学生的主动性.并且,它是借助MATLAB进行计算及仿真,又迫使学生去学习相关的软件应用.这种方式不仅可以使学生更好的掌握知识,而且减轻了考试带来的压力.

就我个人而言,我是通过课设才接触了MATLAB软件,而通过做大作业,我又进一步掌握了它的使用方法.在平时上课,做作业的时候觉得这门课的理论并不是很复杂,但是计算量很大,通过做大作业我发现,相关的软件可以简化计算,可是对于实际的控制系统的分析并不容易,当很多知识点综合到一起,就会混乱,因此学习的时候很重要的是学习的思路,以及要清楚各章知识之间的关联.

通过做大作业,我受益匪浅.

容易控制.由于现在网上资源很丰富,写论文的方式则很难体现公平的原则,而且本科生由于经验,知识储备的限制,很难写好论文.

现代控制理论这种课程更侧重于应用以解决实际的问题,而不是单纯的计算,我觉得很适合大作业的方式.以实际的问题为背景,通过建模进而做出分析,这种方式很新颖.要完成这样一份大作业.必然要熟读教材内容,在掌握相关知识点的基础上,才能对所给出的控制系统进行分析,因此学生会很主动的去学习教材内容,增强了学生的主动性.并且,它是借助MATLAB进行计算及仿真,又迫使学生去学习相关的软件应用.这种方式不仅可以使学生更好的掌握知识,而且减轻了考试带来的压力.

就我个人而言,我是通过课设才接触了MATLAB软件,而通过做大作业,我又进一步掌握了它的使用方法.在平时上课,做作业的时候觉得这门课的理论并不是很复杂,但是计算量很大,通过做大作业我发现,相关的软件可以简化计算,可是对于实际的控制系统的分析并不容易,当很多知识点综合到一起,就会混乱,因此学习的时候很重要的是学习的思路,以及要清楚各章知识之间的关联.

通过做大作业,我受益匪浅.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lkc6.html