多速率信号处理4

多速率信号处理

第五章 基本信号处理工作的多抽样率实现

目的：用多抽样率技术实现窄带数字FIR滤波器、分数抽样延迟（相移）器、Hilbert变换器、

窄带高分辨率频谱分析,并同一般的实现方法进行比较。

5.1 窄带FIR滤波器的多抽样率实现

FIR滤波器的类型：主要有四种类型，即

1．低通FIR滤波器； 2．高通FIR滤波器；

3．带通FIR滤波器； 4．带阻FIR滤波器；

带宽B的定义：通常，将通带宽度定义为低通和带通滤波器的带宽，而将阻带宽度定义为高

通和带阻滤波器的带宽。

窄带的含义：带宽B远小于抽样率F0，即B/F0 1 基于多抽样率实现方法的优点：可以大幅度地降低运算量！

一．窄带低通FIR滤波器的多抽样率实现

（低通）

jω

这是一个典型的线性时不变系统！而且有 Y(e

)=H(ejω)X(ejω)。

假设：h(n)的长度为N，通带宽度为B，且B F0，即h(n)是窄带低通FIR滤波器。 用通常的方法来实现滤波运算的运算量：NF0 （次乘法/秒）；由于F0 B，相对于信号的

有效带宽来说，运算量NF0比较大。

1．用M倍抽取器和M倍内插器的级联实现低通滤波器

考虑下图所示的抽取器和内插器的级联构成的系统，很明显，一般来讲，级联的系统不是一个线性时不变系统，而是一个线性时变系统。

现在的问题是：（1）级联的系统能否在满足一定的条件下等效为一个线性时不变系统 ？

（2）如果可能，其条件是什么？

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F0=1/T0

F1=F0/MF0=1/T0

下面通过分析各信号之间的关系，回答上面的两个问题。 根据第二章分析的结果，有 W(z)=H1(z)X(z)

M V(z1

∑ 1)=

M

W(z

1/M

e j2πl/M)

l=0M

M∑

1 U(z)=V(z)=

1

W(ze j2πl/M

M

) l=0

Y M 1(z)=H2(z)U(z)=H2

(z)1∑

W(ze j2πl/M

M

) l=0

HM 1

=2(z)H j2πl/M1(ze)X(ze j2πl/MM∑) l=0

Y (ejω

)=H2(ejω)M 1

j(ω 2πl/M)j(ω 2πl/M)M∑

H1

(e)X(e) (5.1) l=0

如果H1(ejω

)满足

则有

Y (ejω)=1M

H2(ejω)H1

(ejω

)X(ejω)ω≤π/M (5.3)

进一步，如果 则有

Y

(ejω)=H(ejω)X(ejω)=Y(ejω)

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结论：只要(5.2)式和(5.4)式成立，在ω≤π/M范围内，则M倍抽取器和M倍内插器的级联等

效为一个线性时不变的低通滤波器。 2．两种实现方法的运算量比较

假设h(n)，h1(n)，h2(n)的长度都为N，则

(1) 直接实现所需要的运算量为：NF0 （次乘法/秒）；

(2) 当采用有效的实现结构时，抽样率变换的方法所需要的运算量： 抽取器的运算量：N F0/M=NF1 （次乘法/秒）； 内插器的运算量：NF1=N F0/M （次乘法/秒）； 总的运算量：2N F0/M （次乘法/秒）；

由此可见：

z 两者的运算量之比为M/2，即运算量下降了M/2倍；

z 实际上，当内插器和抽取器采用多级实现结构时，h1(n)，h2(n)的长度远小于h(n)的

长度，所以，运算量降低的倍数要远大于M/2。

3．M的选取

原则：保证M倍抽取后，信号不发生混叠。

若输入信号的抽样率为F0，低通滤波器h(n)的阻带起始频率为fs，则要求 F1=F0/M≥2fs 即

M≤ 所以有

由于h(n)是窄带滤波器，则

F0

2fs

(5.5) F 1，M 1，运算量降低比较明显； 2fs

F0

比较小，运算量降低不明显。 2fs

注意：若h(n)是一般的非窄带滤波器，则

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4．h1(n)，h2(n)的技术指标

如果 (1) h(n)的技术指标为：通带波纹δp，阻带波纹δs，通带截止频率fp，阻带起始频率fs； (2) h1(n)，h2(n)有相同的指标； 则

fp1=fp2=fp

fs1=fs2=fs

δp=δp=δp/2

1

2

(5.6)

δs=δs=δs

1

2

5．实现方法

z 当M比较小时，采用单级结构实现抽取器和内插器； z 当M比较大时，采用多级结构实现抽取器和内插器；

例5-1：设计一个窄带低通滤波器，其技术指标为：抽样率为F=10KHz，fp=47.5Hz，

fs=50Hz，δp=0.001，δs=0.0001。

(1) 直接实现

采用等波纹法设计此FIR滤波器，则滤波器的阶数为 N=

D(δp,δs)(fs fp)/F

f(δp,δs)(fs fp)

F

4

+1≈15591

运算量为：NF=15591×10 （次乘法/秒） (2) 用抽取器和内插器的级联来实现

F

M= =100

2fs

单级结构实现抽取器和内插器

抽取器：

fp1=fp=47.5Hz δp1=δp/2=0.0005 δs1=δs=0.0001

则用等波纹法，可以计算出h1(n)的阶数为：N1=16466 其运算量为： N1F/M=164.66×10 （次乘法/秒）

4

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内插器：由于抽取器和内插器的结构互为转置，所以内插器的阶数和运算量与抽取器

相同。

总的运算量为： 2N1F/M=329.32×10 （次乘法/秒）

两级结构实现抽取器和内插器

若：M1=50，M2=2，按照多级结构的设计方法，可得

4

N1=423，N2=347；

总的运算量为：

N1FNF

+2 ×2≈23.8×104 （次乘法/秒）

M1M1M2

三级结构实现抽取器和内插器

若：M1=10，M2=5，M3=2，按照多级结构的设计方法，可得

N1=50，N2=44，N3=356；

N1FN2FN3F 4

总的运算量为： （次乘法/秒） ++×2≈18.8×10

M1M1M2M1M2M3

抽取和 内插比

直接实现

直接式

N=15591

运算量

用抽取器和内插器的级联实现

单级结构

二级结构

三级结构 M1=50

M=100

滤波器 长 度

N=16466

M1=50，M2=2 M2=2

M=2

N1=50 N1=423 N2=44 N2=347

N3=356

15591×10

4

329.32×10

4

23.8×10

4

18.8×104

运算量减

1 小的倍数

47 655 829

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二．窄带高通FIR滤波器的多抽样率实现

由于

HHP(e)=1 HLP(e) (5.7) 其中：HLP(e)是窄带低通滤波器，HHP(e)是窄带高通滤波器。

jω

jω

jω

jω

所以，利用窄带低通滤波器可以很方便地实现窄带高通滤波器。

注意：低通滤波器的δp是高通滤波器的δs，低通滤波器的δs是高通滤波器的δp。

三．窄带带通FIR滤波器的多抽样率实现

1．基本原理

与窄带低通滤波器的原理相同。

（带通）

F0=1/T0

F1=F0/MF0=1/T0

注意：这里的h(n)，h1(n)，h2(n)为窄带带通FIR滤波器，且带宽B F0。

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2．h1(n)，h2(n)的技术指标 设：h(n)的技术指标为：

fpu：通带的上限频率； fpl：通带的下限频率；

fsu：上阻带的边缘频率； fsl：下阻带的边缘频率；

δp：通带波纹； δs：阻带波纹。

fsl

f

fpl

fpu

fsu

如果h1(n)，h2(n)采用相同的滤波器，则它们的技术指标为：

fpl1=fpl2=fpl,fpu1=fpu2=fpu

fsl1=fsl2=fsl,fsu1=fsu2=fsu

δp1=δp2=δp/2,

3．M的确定

δs1=δs2=δs

设经过h1(n)滤波后的带通信号w(n)的频率范围为fl~fu。

确定M的原则：经过M倍抽取后，保证信号v(m)在通带范围内不发生混叠。

下图是W(e)的频谱示意图，根据抽样率压缩器的输入和输出频谱的关系可知：v(m) 的频谱是w(n)的频谱以F1=F0/M周期重复叠加。

jω

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ul

lu

f

W(ejω)的频谱示意图，fl=fsl,fu=fsu

为了保证抽取后的频谱在fl~fu频段上不发生混叠，应该同时满足下列两个条件

(1) fl右移kF1后要小于等于fl，其中k为正整数，即

fl+kF1≤fl (5.8)

(2) fu右移(k+1)F1后要大于等于fu，即

fu+(k+1)F1≥fu (5.9) 综合(5.8)及(5.9)式，得：

2fl 2fu

≤F1≤

k (5.10) k+1

F1≥2(fu fl)

将F1=F0/M代入上式，整理后得：

(5.11)

找到满足(5.11)式的最大的M值，作为抽取比和内插比。

四．窄带带阻FIR滤波器的多抽样率实现

由于

HBS(e)=1 HBP(e) (5.12) 其中：HBP(e)是窄带带通滤波器，HBS(e)是窄带带阻滤波器。

jω

jω

jω

jω

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所以，利用窄带带通滤波器可以很方便地实现窄带带阻滤波器。

注意：带通滤波器的δp是带阻滤波器的δs，带通滤波器的δs是带阻滤波器的δp。

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5.2 基于多相滤波器的分数抽样相移器

一．问题的提出

设一个理想的延迟器，延迟时间为τ，如下图所示。

则：y(t)=x(t τ)。如对信号以F=1/T进行均匀采样，得

y(nT)=x(nT τ)=x[(n τ/T)T]

即： y(n)=x(n τ/T) (5.13) 1． 当延迟时间是整数倍抽样间隔，即τ=rT（r是正整数）

y(n)=x(n r) (5.14) 在此情况下，将x(n)简单地延迟r个抽样点，即可得到y(n)。

L

2． 当延迟时间是分数倍抽样间隔，即τ= T（M,L是正整数，且L<M）

M

y(n)=x(n L/M) (5.15) 如果我们只知道x(0),x(1),",x(k),"，所以在此情况下，不能直接从x(n)通过延迟

方法，得到x(n L/M)，即：分数抽样间隔延迟不可能通过简单的延迟方法来获得。

二．解决问题的思路

1．原理框图

F0=1/T0

F1=MF0F0=1/T0

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2．时域分析

x(n)=xc(t)t=nT u(m)=xc(t)t=mT′，T′=

T M

w(m)=u(m L)=xc(t)t=(m L)T′=xc(mT′ LT′)=xc(mT/M LT/M) y(n)=w(Mn)=x Tc

nM

M LMT

=x(n L/M) 3．频域分析 U(z)=H(z)X(zM

) W(z)=z L

U(z)

M∑ 1Y(z)=

1

W(z1/MM

e j2πl/M

) l=0

M=1M

∑ 1z

L/M

e j2πLl/MH(z1/Me j2πl/M)X(ze j2πl)

l=0

=1M 1

z L/MX(z)∑H(z1/Me j2πl/M)e j2πLl/MM l=0

Y(ejω

)=1e jωL/MX(ejω

M 1)∑H(ej(ω/M 2πl/M)M)e j2πLl/M l=0

如果h(m)是理想的低通滤波器，且

H(ejω′

)=

1

ω′≤π/M

0

其它

当ω≤π时，ω′≤π/M，此时，(5.16)式的求和项只有l=0一项，故

Y(ejω

)=1M

e jωL/M

X(ejω) (5.17)

或 Y(ejω)1 jLM

X(ejω

)=M

e (5.18)

(5.16)

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结论：(1) 原理框图等价于一个具有线性相频特性的全通系统；

H

(ejω

)=1e jM

M

(2) 分数抽样间隔延迟问题转化为设计一个全通的线性相频特性的系统。

三．多相滤波器的特性

1．设有一个理想的低通滤波器H(e

jω′

)

H(ejω′

)=

1

ω′≤π/M 0

其它 通常，用一个有限长度的h

(m)来逼近这个低通滤波器。 2．对h

(m)进行多相抽取 令：m=rM+k，r是整数，k∈{0,1,2,",M 1}

pk(r)=h

(rM+k) 称为多相滤波器 则：多相滤波器的频率特性为：

当k=M L时，有

四．基于多相滤波器的分数抽样间隔延迟

(5.19) (5.20)

多速率信号处理

j

M L

j

L

Y(ejω)=e

jω

e

M

X(ejω

)=e

M

X(ejω)

五．实现步骤

1．设计一个长度为N的FIR滤波器h (n)逼近理想的低通滤波器 H(ejω

)=

1

ω≤π/M

0

其它

如采用窗函数法、等波纹法等设计方法。

2．对h (n)进行多相抽取，得到pM L(n)，即 pM L(n)=h

[nM+(M L)] 3．用一个延迟单元和多相滤波器级联，即可实现分数抽样间隔延迟L/M

L<M）（

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5.3 希尔伯特变换器的多抽样率实现

一．希尔伯特（Hilbert

）变换器

hHT(n)为Hilbert变换器，其频域和时域特性为

频域特性：

Hjω

j

0≤ω≤π

HT(e)=

+j

π≤ω<0

(5.21)

ω

Hjω

Hjω

HT(e)是全通系统，即HT(e)=1，ω≤π； Hjω

HT(e)具有非线性相频特性。

时域特性：

2sin2(nπ/2) h

n≠0HT(n)= (5.22)

πn

0n=0

hHT(n)是关于原点对称，即：hHT( n)= hHT(n) 偶数点的hHT(n)=0

问题：如何设计hHT(n)？

频域法（如等波纹法）

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HjωHT(e)是全通的，且具有非线性相频特性，频域设计比较困难

时域法（窗函数法）

hHT(n)是非因果的，具有无限长度，实际实现时必须要截短和延迟； 由于hHT(n)∝

1

n

，要求窗口的长度较长。 二．实信号x(n)的解析信号xA(n)

1．定义

设实信号x(n)经过Hilbert变换器后的输出信号x

(n)，即 x

(n)=hHT(n) x(n) x(n)的解析信号xA(n)定义为一个复信号

xA(n)=x(n)+jx

(n) 2. 频域关系

Xjω=X(ejω 2X(ejω

)A(e))+jX

(ejω)= 0≤ω≤π

0

π≤ω<0

即：Xjω

A(e)只有正频率分量，没有负频率分量。

000

ω

ω

000ω

(5.23) (5.24) (5.25)

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3. 产生解析信号的方法

(1) 直接方法

(2) 间接方法

将x(n)的频谱向左搬移ω0，然后低通滤波取出 ω0~+ω0范 设x(n)的带宽为2ω0，

围内的频谱，再右移ω0，得到只有正频率分量(0~2ω0)的解析信号xA(n)。

e jω0n

ejω0n

三．间接方法的时域分析

目的：从时域分析得到hLP(n)的特性，以及hLP(n)与Hilbert变换器hHT(n)的关系。 v(n)=a(n)+jb(n)=w(n) hLP(n) =

m= ∞

+∞

∑

+∞

w(m)hLP(n m)=

m= ∞

∑

+∞

x(m)e jω0mhLP(n m)

=e

jω0n

m= ∞

∑

jω0n

x(m)ejω0(n m)hLP(n m)=e jω0nx(n) h(n)e LP (5.26)

{}

xA(n)=v(n)e

jω0n

jω0n

h(n)e=x(n) LP

=x(n) [hLP(n)cos(ω0n)]+jx(n) [hLP(n)sin(ω0n)]

(n) (5.27) =x(n)+jx

多速率信号处理

x(n)=x(n) [hLP(n)cos(ω0n)]=x(n) u0(n) （u0(n)为单位冲激响应） (5.28)

(n)=x(n) [hLP(n)sin(ω0n)]=x(n) hHT(n) (5.29) x

所以有：

hLP(n)cos(ω0n)=u0(n) (5.30) hLP(n)sin(ω0n)=hHT(n) (5.31)

如果x(n)是一个满带信号，即x(n)的频率范围为0~π，则ω0=π/2。 1．hLP(n)的特性 从(5.30)式可知：

n=0

hn)=

1

LP( 0

n为偶数

任意值n为奇数

结论1：hLP(n)可以用半带低通滤波器来逼近，所以比较容易设计。 2．hHT(n)与hLP(n)的关系 从(5.31)式可知：

n 1

h

2HT(n)= ( 1)hLP(n)

n为奇数

(5.33)

0

n为偶数（包括0）

结论2：Hilbert变换器的设计可以转化为半带低通滤波器的设计。

四．用多相滤波器实现Hilbert变换器

+∞

x

(n)=x(n) hHT(n)=HT

(m)x(n m)

m∑h

= ∞

+∞

=

1)

m 1 2

hLP(m)x(n m)

m∑(m为奇数

= ∞令：m=2r+1，则

(5.32)

多速率信号处理

(n)=x

r= ∞+∞

∑

+∞

( 1)hLP(2r+1)x(n 2r 1)

( 1)p1(r)x(n 2r 1) (5.34)

r

r

=

∑

r= ∞

其中：p1(r)=hLP(2r+1) 是M=2，k=1时的多相滤波器。

1．当n为偶数时

令：n=2l，则

x

(2l)=(r)x(2l 2r 1)

r∑+∞

( 1)

r

p1= ∞+∞

=

( 1)

r

p1(r)x[2(l r) 1]

r∑= ∞

= ( 1)r

p1(r) x(2r 1) (5.35) x(2r 1)是x(n)的奇数点序列；

x

(n)的偶数点序列是x(n)的奇数点序列同( 1)r

p1(r)的线性卷积。 2．当n为奇数时

令：n=2l+1，则

x

(2l+1)=r∑+∞

( 1)

r

p1(r)x(2l+1 2r 1)

= ∞

+∞

=

r

p1(r)x[2(l r)]

r∑( 1)

= ∞

= ( 1)r

p1(r) x(2r) (5.36) x(2r)是x(n)的偶数点序列；

x

(n)的奇数点序列是x(n)的偶数点序列同( 1)r

p1(r)的线性卷积。

多速率信号处理

3．实现的结构

x(n)的偶数点

x(n)的奇数点

(n)的偶数点x

p1(n)是hLP(n)的抽样，即是M=2，k=1时的多相滤波器，而hLP(n)是半带滤波器，

设计方法和设计过程比较简单；

系统的总延时为z，即一个单位的抽样时间间隔；

通过抽样率变换，将Hilbert变换器设计转化为低通的半带滤波器设计问题； 一旦设计出hLP(n)，则可以得到p1(n)=hLP(2n+1)，从而实现了Hilbert变换。

1

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5.4 基于多抽样率技术的窄带、高分辨率频谱分析

一．频谱分析的一般方法

设有一个N点序列x(n)，n=0,1,",N 1，则x(n)的频谱可以用Fourier变换求出

jω

X(e)=

jω

∑x(n)e

n=0

N 1

jωn

计算X(e)的可以用离散Fourier变换（DFT），它表示为 X(k)=X(e)

r

jω

ωk=

2π

kN

=∑x(n)e

n=0

N 1

j

2πknN

其中，k=0,1,",N 1，N=2，r为整数。注意，计算X(k)的快速算法是FFT。

1．FFT的主要特点

它是在一组等间隔的频率点上给出x(n)的频谱信息，即FFT给出了X(e)的抽样值，

jω

2π

抽样间隔为Δω=；

N

FFT计算的频率范围为ω=0~2π，即f=0~F，F为x(n)的抽样率； N点FFT的运算量为Nlog2N（次乘法/秒）量级； 基于FFT的频谱分析的频率分辨率为Δω=2π/N，或Δf= 若F一定，则N越大，频率分辨率越高，运算量也就越大。 2．窄带信号的频谱分析

当x(n)是窄带信号时，它的带宽B F，直接用FFT来分析它的频谱，存在一些缺点：

计算出的N点频谱中，有用的或我们感兴趣的频率点很少，故效率很低； 如在带宽B内，希望有P个频率点的值，即要求分辨率Δf=

分辩率越高；

F； N

B

，则P越大，要求的P

多速率信号处理

计算FFT需要的点数N=

FF

= P，当要求分辨率较高时，P 1，而且由于B/PB

F

1，导致N很大，所以计算量也很大 B

由此可以看出：

z 直接应用FFT来对窄带信号进行高分辨率的频谱分析是不合适的； z 在分辨率一定时（即

B

一定），降低抽样率F，可以使N降低，从而降低了运算量。 P

二．带通信号的整数倍抽取

信号x(n)是带通信号，通带范围为

fl~fu，如下图所示。

fT0

)

X +

fu fl

l

u

f

x(n)经M抽取后，其频谱将以F1=

F0

为周期重复。 M

F0

关注的焦点：M抽取后，信号y(m)中的低频成分，即0~F1=范围内的频谱。

M

1．x(n)为整数频带信号 (1) 整数频带信号的定义

若带通信号x(n)的fl，fu 满足

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mp54.html