湖北省2019届高三1月联考测试数学（文）试题（精品Word版，含答案解析）

湖北省2019年元月高考模拟调研考试

文科数学

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知是虚数单位，若

，则的共轭复数对应的点在复平面的（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案． 【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z∴

，

），在复平面的第四象限．

，

则z的共轭复数z对应的点的坐标为（故选：D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.已知集合

，

，则

（ ）

A. 空集 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由

求其解集得到集合M，由

，所以.

值域得到集合P，求其交集即可. ，即M=

;又

=

.

【详解】因为所以

，因此

【点睛】本题主要考查交集及其运算，属于基础题型.

3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点A. B. 【答案】A 【解析】 【分析】

1

，则（ ）

C. D.

由三角函数定义先求出【详解】由三角函数的定义可得

,再由二倍角的正切公式

，所以

代入即可得出结果. .

【点睛】本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，只需熟记定义和公式即可解题，属于基础题型. 4.下列函数为奇函数的是（ ） A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据奇函数的定义逐项检验即可. 【详解】A选项中数, D选项中

故不是奇函数，B选项中

，是奇函数，故选D.

故不是奇函数, C选项中

故不是奇函

B. D.

【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题. 5.已知椭圆：A.

B.

C.

的离心率是，则椭圆的焦距是（ ） D.

【答案】C 【解析】 【分析】 由

得

c，再由得

c，所以

即可求出焦距的值.

所以

，因此焦距为

.

【详解】由

【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，只需掌握a,b,c三者之间关系即可，属于基础题型.

6.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）

2

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【详解】根据几何体的三视图：

该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体． 所以：v

．

故选：A．

【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型． 7.已知函数

，

，则函数

的图像是（ ）

，

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】 由

【详解】因为

可知g(x)图像与f(x)的图像关于原点对称，由f(x)的图像即可得出结果.

，所以g(x)图像与f(x)的图像关于原点对称，由f(x)解析式，作出f(x)的图像如右

3

图.,从而可得g(x)图像为A选项.

【点睛】本题主要考查函数图像变换问题，属于基础题型.

8.已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面.给出下列4个命题：（1）若（2）若

，

，则

；（3）若

，

，则

；（4）若

，

，则

，

，则

；

.则其中真命题个

数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】

由线面平行的判定定理和直线与平面位置关系可得（1）（4）错误；由线面垂直的判定定理和性质定理可得(2)(3)正确.

【详解】对于(1),若对于(4), 若

，

，，则

，则

或

，故(1)错;

或与相交，故(4)错；

由线面垂直的判定定理可得（2）正确； 由线面垂直的性质定理可得(3)正确. 故选B.

【点睛】本题主要考查线面位置关系的性质和判定定理，只需熟记相关定理和定义即可,属于一般难度题型. 9.已知等边A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出【详解】解：如图所示，

用

、

的表达式即可．

内接于 B. D.

，为线段

的中点，则

（ ）

4

设BC中点为E，则

（

故选：A．

【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题． 10.在长为于

的线段

上任取一点，再作一个矩形，使其边长分别等于线段

，

的长，则该矩形面积小

）

?

．

的概率为（ ）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】

根据几何概型的概率公式，设AC=x,则BC=10-x,由矩形面积的概率公式即可求出结果.

【详解】设AC=x,则BC=10-x，由题意矩形面积积小于16的概率为

.

，所以

或

,又

,所以该矩形面

可求出x的范围，利用几何概型

【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，只需熟记几何概型的概率公式即可求解,属于基础题型. 11.函数

向上平移2个单位，得到函数

的一部分图像如图所示，把函数的图像，则函数

的图像先向右平移个单位，再

的表达式是（ ）

A. C. 【答案】A 【解析】

B. D.

5

【分析】

根据函数图像求出A,T，从而求出，利用点数的平移变换即可求出结果. 【详解】有图像可得:A=1,因此

+

,所以

图像向右平移个单位，得到

，所以

=2，由点，因为

在曲线上，所以，所以

，从而

，;函数的图像.

在曲线上，求出，即可得出f(x)的解析式，再由三角函

的图像，再向上平移2个单位，得到

【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像来求三角函数的解析式，以及三角函数图像变换问题，属于基础题型，需要考生熟记A、T、、的求法. 12.椭圆：

与双曲线：

焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、

第三象限的交点分别为、，且程是（ ） A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】

B. D.

，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方

A与B关于原点对称，先设双曲线的右焦点为，由椭圆与双曲线的特征可知，可得可得

，再由椭圆与双曲线定义可得，由余弦定理可得

，结合基本不等式即可得出结果.

，又，

，由，，

，从而可得

【详解】设双曲线的右焦点为,由题意点A与点B关于原点对称，因此

；由椭圆与双曲线定义可得

弦定理可得

，即

，所以离心率乘积为

，所以

所以双曲线的渐近线方程为

或

，所以

，当且仅当

，再将（1）（2）代入

，故选C.

，所以

，所以，根据余，化简得时，去等号;由可得

，

【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质，难度系数

6

较大.

二、填空题（将答案填在答题纸上）

13.设，满足约束条件【答案】5 【解析】 【分析】

先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值． 【详解】作出x，y满足约束条件

，所示的平面区域，如图：

，则

的最大值为__．

作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大， 由

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14.如下图所示的茎叶图为高三某班30名学生的某次考试成绩，该班学生的学号依次为1，2，3，...，30.算法框图中输入的为该班这次考试中的学号为的学生的成绩，则输出的值为____．

可得A（1，2），此时z＝5．

7

【答案】15 【解析】 【分析】

该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数,根据茎叶图即可得出结果. 【详解】有程序框图可知：该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数;有茎叶图可知：60,62,65,67,67,69,71,72,73,73,75,76,76,78,79共15个在范围内，因此输出值为15.

【点睛】本题主要考查程序框图中的判断条件，只需准确理解判断框中的判断条件，即可结合茎叶图求解. 15.过点【答案】（【解析】 【分析】 先设圆的标准方程

【详解】设圆的标准方程

，解之得

因此所求圆的方程为

或或

,再由题意可得方程组

,解方程组即可得出结果.

或和

，且与轴相切的圆的方程为__________．

或

）

，因为圆过点A(0,1)，B(1,2),且与x轴相切，所以有，

.

【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的方程，只需设出圆的方程，结合题中条件列出方程组，求解即可,属于基础题型. 16.在

中，角

的对边分别是

，若

，则

的最小值为______．

8

【答案】【解析】 【分析】

先由正弦定理可将化为，所以可得

，由基本不等式,即可求其最小值.

，又

【详解】由正弦定理，简

得

可化为

，

即

，当且仅当

，，即

所

化以

时，取最

小值.

【点睛】本题主要考查三角函数与基本不等式的综合，需要学生熟记三角恒等变换、正弦定理、基本不等式等相关知识点，属于中档题型.

三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列（1）求数列（2）设【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)先由列，又由(2)由可先出

，

，求出等比数列

，即可确定其首项和公差，从而可得

的通项公式；然后由的通项公式;

可知数列

为等差数

和

为递增数列，且的通项公式；

的前项和. (2)

，

，数列

满足：

，

.

，求数列

,

的通项公式，再由错位相减法即可求其前n项和.

，

（

，

）

【详解】（1）对于数列

即 又∵为递增数列

则 ∴

，由

，

为定值知

对于数列数列

是以1为首项，以2为公差的等差数列

9

∴∴

，

（2）由（1）得∴∴

【点睛】本题第（1）问主要考查等比数列与等差数列的通项公式，只需熟记公式即可求解；第(2) 问主要考查错位相减法求数列的前n项和，按错位相减法的一般步骤，认真计算即可得出结果. 18.如图，在四棱锥

中，

，

，

，且PC=BC=2AD=2CD=2，

.

（1）平面； 上，且

，求点到平面

的距离.

（2）已知点在线段

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 (1)要证得

平面平面

，只需证明，进而可得

，

即可.由勾股定理易证

，又由

可

，因此可得结论成立.

，易得点到平面

，由三角形相似，也可求出点到平面中，

，

的距离； 的距离.

(2)法一：可由等体积法求解，由

法二：先证

【详解】（1）∵在底面且∴又∵∴

平面

，，

又∵

∴，平面

平面

，

平面

10

∴

∵又∵∴

平面

，，

∴，

平面

，

平面

（2）方法一：在线段又由（1）得又∵作∴

平面

平面

上取点，使

，

，平面

平面

，则

，∴

于 又∵平面

又∵的距离为

得

平面 ∴

，

平面

设点到平面则由

∴点到平面的距离

方法二：由（1）知∵∴平面又∵

，∴平面由①②③得又∵平面即在

∴平面

平面平面，平面平面平面

平面平面① ，

平面，∴

，∴平面

∴

平面平面

，平面平面

∴

∴

②

，∴

③ ，∴平面

平面

交

于点 ∴

平面

∴过作的距离.

的长就是点到平面

中，

，

∴

【点睛】本题第（1）问主要考查直线与平面垂直的判定，由线面垂直的判定定理即可求解;第（2）主要考查空间中点到面的距离，一般采用等体积法求解.

19.某企业共有员工10000人，下图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入（单位：万元）频率分布直方图.

11

（1）根据频率分布直方图计算样本的平均数.并以此估算该企业全体员工中年收入不低于样本平均数的人数（同一组中的数据以这数据所在区间中点的值作代表）； （2）若抽样调查中收入在入在

万元的概率；

万元的员工中具有大学及大学以上学历

，将具有大学及大学以上学历和的把握认为具有大学及大学以上

万元员工有2人，求在收入在

万元的员工中任取3人，恰有2位员工收

（3）若抽样调查的样本容量是400人，在这400人中：年收入在的有

，年收入在

万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有

不具有大学及大学以上学历的员工人数填入下面的列联表，并判断能否有学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异？ 万元员工 万元员工 合计 附：

【答案】（1）5100人（2）（3）见解析 【解析】 【分析】

先由频率分布直方图得到每个收入区间对应的频率；

12

具有大学及大学以上学历 不具有大学及大学以上学历 合计 ；

0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(1)先求样本平均数等于每组收入区间中点的值与该组频率乘积的和，再由频率分布直方图即可得到年收入不低于平均数的频率，进而可得对应人数； (2)用列举法分别写出在可得出结果.

(3)根据题中条件先完善列联表，再由断.

【详解】由频率分布直方图得收入区间与频率对应如下表 收入区间 频率

（1）根据统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表.所以样本平均数

（万元）

0.10 0.15 0.40 0.25 0.10 ，计算出

的观测值k,对应附表即可做出判

万元的员工中任取3人和恰有2位员工收入在

万元所包含的基本事件，即

由频率分布直方图的抽样得：年收入不低于平均数的频率是0.51.以此估计该企业全体员工中年收入不低于平均数的频率是0.51.该企业不低于年均收入的人数约是（2）由上面收入区间与频率分布对应表可求得：若在有3人（分别记这3人为、、），所以在 1 2 3 4 5 6 7 8 √ √ √ √ √ √ 甲 √ √ √ √ √ 乙 √ √ √ √ √ 有5人.

√ √ √ √ √ √ √ √ 人

有2人（分别记这2人为甲、乙），那么在

就

13

9 10

√ √ √ √ √ √ 由表知，从收入在种 ∴所求概率

的5人中任意抽取3人共有10种抽法，其中恰有2位员工收入在抽法共有6

（3）样本容量为400人时，由收入区间与频率对应表知：在收入在面的 万元员工 万元员工 合计

有

列联表

和内都有40人.由已知条件下

具有大学及大学以上学历 不具有大学及大学以上学历 16 28 44 24 12 36 合计 40 40 80 的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异

【点睛】本题第（1）问主要考查利用频率分布直方图求样本均值；第（2）问主要考查列举法求古典概型的概率；第（3）问主要考查独立性检验，均属于基础题型. 20.已知抛物线

切，外接圆的周长为. （1）求抛物线的方程；

（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线点，试求

的值.

（2）1

于、两

的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.

的外接圆与抛物线的准线相

【答案】（1）【解析】 【分析】

14

(1)由的外接圆与抛物线的准线相切可得，外接圆的半径

，由直线方程与抛物线方程联立可得

的值. 的中垂线上

，从而可得p,进而可得抛物线方程;

，由判别式等于0，可得

(2)先设直线的方程为

，再由题意求出点A、点B坐标，即可直接求【详解】（1）∵

的外接圆的圆心必在线段

且外接圆与准线相切，外接圆的周长为 ∴外接圆的半径∴抛物线的方程为

即

（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 ∴可设：由

消去得

∵直线与抛物线只有一个公共点，∴∵直线：∴

即

即与准线

交于

同理

∴

解法二：由题知直线不与坐标轴垂直 ∴可设：由

消去得

∵直线与抛物线只有一个公共点 ∴∵直线：∴同理

即 与准线

即

交于

∴

解法三：设切点为

15

则：令令

得得

即即

∴

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法和直线与抛物线位置关系，思路较清晰，

但计算量较大，需要学生认真计算，属于中档题型. 21.（1）已知函数①求函数②求函数

的定义域； 的零点个数.

，函数

的导函数为

.

（2）给出如下定义：如果是曲线和曲线的公共点，并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则称曲线与曲线在点处相切，点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线：：

是否在某点处相切？若是，求出所有切点的坐标；若不是，请说明理由.

②

在定义域

上的零点个数

与曲线

【答案】（1）①定义域(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)①由造函数(2)由（1）中②

知得

，即可得定义域; ②先由题意得

，讨论

或

，再构

，研究函数F(x)单调性，即可得出其零点个数;

上有且只有0一个零点,则方程

，分别求函数f(x)、

在定义域

在定义域

上有且只有1这一个解，从而可得公共点为

g（x）在处的导数，即可验证该点为公共切点.

得

即定义域

16

【详解】（1）①令

②由题意得其中 若 ∴

在定义域 若∵且

∴存在唯一的 ∴令

- ↘ （i） 则

- - ↘ ，

，使得

在

- - ↘ 则有下表

是增函数

0 0 0 极小值 + + ↗ 上有且只有0一个零点

上是增函数

，且有下表

0 0 极小值 + + ↗ 0 0 极小值 + ↗ 17

∴∴∴

，，

，

，

（ii）

在定义域

上有且只有0一个零点

上有且只有两个零点

∴由（i）上方表格的最后一行及（）（）得综上，

在定义域

知

上的零点个数

（2）由（1）中②∴方程又∵

在定义域

在定义域

上有且只有1这一个解

∴曲线与曲线有且只有一个公共点又∵∴

，

处的切线方程均为

，

∴曲线与曲线在即

∴曲线与曲线仅在一个点处相切，这个点的坐标为

【点睛】本题第（1）问主要考查利用导数的方法研究函数的单调性，进而判断函数的零点，需要学生熟练掌握分类讨论的思想来求解；第(2)问考查导数的方法求函数在某点处切线的问题，较容易. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系

中，曲线

（为参数），直线

（为参数），以为极点，轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）； （2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）【解析】 【分析】

（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到【详解】（1）曲线由于曲线直线

即

即

的取值范围． 即

或

，直线的极坐标方程为

的取值范围.

过极点 ∴曲线的极坐标方程为

即

18

即

直线的极坐标方程为（2）由题得设为线段则∴

的取值范围

即

的中点，圆心到直线的距离为

它在

时是减函数

【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）画出函数

.

的图象；

有解，求实数的取值范围.

（2）若关于的不等式【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】

（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；

（2）由题意可得2m+1≥f（x）﹣x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．

【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|

，

∴的图像如图

19

（2）由（Ⅰ）得

∴当时，

即

∴题设等价于

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调

题．

性

的

运

用

：

求

20

最

值

，

属

于

中

档

21

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