画法几何与工程制图

画法几何及工程制图（辅导教案）

绪论

§0—1 基本概念

一、工程图

在生产建设和科学研究工程中，对于已有的或想象中的空间体（如地面、建筑物、机器等）的形状、大小、位置和其它有关部门资料，很难用语言和文字表达清楚，因而需要在平面上（例如图纸上）用图形表达出来。这种在平面上表达工程物体的图，称为工程图。

工程图常用的有以下几种： 1．透视图

2．轴测图

3．正投影图

4．标高投影图

二、画法几何

当研究空间物体在平面上如何用图形来表达时，因空间物体的形状、大小和相互位置等不相同，不便以个别物体来逐一研究，并且为了使得研究时易于正确、深刻和完全，以及所得结论能广泛地应用于所有物体起见，特采用几何学中将空间物体综合概括成抽象的点、线、面等几何形体的方法，先研究这些几何形体在平面上如何用图形来表达，以及如何通过作图来解决它们的几何问题。

这种研究在片面上用图形来表示空间几何形体和运用几何图来解决它们的几何问题的一门学科，称为画法几何。

例如：正方体 6个面组成

每个面由无数条线组成

每条线由无数个点组

三、工程制图

把工程上具体的物体，视为由几何形体所组成，根据画法几何的理论，研究它们在平面上用图形来表达的问题，而形成工程图。在工程图中，除了有表达物体形状的线条以为，还要应用国家制图标准规定的一些表达方法和符号，注以必要的尺寸和文字说明，使得工程图能完善、明确和清晰地表达出物体的形状、大小和位置，以及其它必要的资料（例如：物体的名称、材料的种类和规格，生产方法等）。研究绘制工程图的这门学科，称为工程制图。

注意：如将工程图比喻为工程界的一种语言，则画法几何便是这种语言的语法。

§0—2画法几何及工程制图课程的目的、任务、要求

一、目的

培养学生绘图、读图和图解的能力，通过这几方面的实践，培养学生的空间想象能力

二、任务

1．研究正投影的基本理论

2．培养绘制和阅读工程图的能力

3．研究常用的图解方法，培养图解能力

4．通过绘图、读图和图解的实践，培养空间想象能力

5．培养认真、细致、一丝不苟的工作作风

6．培养用图形软件绘制图样的初步能力

三、应达到的要求

1．掌握正投影的基本理论和作图方法

2．确使用绘图工具，掌握绘图的技巧和方法，又快又好地作出符合国家标准的工程图，并能正确地阅读一般的工程图纸。

3．具有图示空间几何形体和图解空间几何问题的能力

4．初步掌握计算机绘图的基本知识

§0—3画法几何及工程制图课程的主要内容和学习方法

一、主要内容

1． 图样的基本知识：绘图工具、仪器的使用，几何作图的知识，基本制图标准。

2．投影作图：工程图样的图示原理和方法。

3．工程图样的看图、画图的规则和方法。

4．相关的化工图样：设备图、工艺流程图、设备布置图等的看图、绘图等。

5．相关的其它图样：简介建筑制图图样的看图、画图规则和方法。

6．计算机绘图。

二、学习方法

画法几何是制图的理论基础，比较抽象，系统性较强。制图是投影理论的运用，实践性较强，学习时要完成一系列的绘图、识图作业。但必须注意学习方法，才能提高学习的效果。

1．要下工夫培养空间想象能力

从二维的平面想象出三维形体的形状。这是初学者制图的一道难关。开始时可以借助于一些模型（没有），加强图物对照的感性认识，但要逐步减少使用模型，直至可以完全依靠自己的空间想象能力，看懂图纸。

2．作图时要画图与读图相结合

每一次根据物体画出投影图之后，随即移开物体，从所画的视图想象原来物体的形状，是否相符。坚持这种做法，有利于空间想象能力的培养。

3．要培养解体能力

课文易懂，习题难做。这是本门课程的第二道难关。要解决这个问题，一要掌握解体的思路，即空间问题，一定要拿到空间去分析研究，决定解体的方案；二要掌握几何元素之间的各种基本关系（如：平行、垂直、相交、交叉等）的表示方法，才能将解体逐步用作图表达出来，并求得解答。

4．要提高自学成才能力

课前预习，然后带着问题听老师讲课。复习时要着重检查自己能否用图表示书中每一个概念和每一种方法。

5．工程图纸（机械图纸、化工图纸、建筑图纸等）是施工的根据，往往由于图纸上一条线的疏忽或一个数字的差错，结果造成严重的反工浪费。所以应从初学制图开始，就严格要求自己，养成认真负责、一丝不苟和力求符合国家标准的工作态度。同时又要逐步提高绘图速度，达到又快又好的要求。

注意：工程质量终身负责制（工程质量、设计方面的问题）

本章重点：

1． 搞清本章所讲的几个概念，及其相互间的关系；

2． 掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。

本章难点：

1． 搞清“画法几何”与“工程制图”之间的关系，并在工程制图中正确运用画法几何理论；

2． 掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。

作业：

预习第一章的内容。

第一章 制图基本知识和技能

目前，虽然计算机绘图技术正在逐渐步入设计、生产和科研等各个领域，但工程技术人员手工绘图的基本技能还是要具备的。

手工绘制工程图样通常是先在绘图纸上用绘图铅笔按规定方法和绘制图稿（也称白图），再在半透明的描图纸上用描图笔将图稿描正，或直接在画图稿并描正。描好的图样称为底图。用晒图机或复印机将底图上的图样翻晒或复印在图纸上，就得到了一般常见的工程图纸（称蓝图）。

本章将简单介绍基本的绘图工具、一起的使用方法，国家标准的有关部门规定，并简要介绍徒手绘制技术草图的方法。

§1—1制图工具和仪器的用法

学习制图，首先要了解各种绘图工具和一起的性能，熟练掌握它们的正确使用方法，并经常注意维修保养，才能保证绘图质量，加快绘图速度。

一、绘图仪器

1．图板

2．丁子尺

3．三角板

一副三角板有300×600×900和450×450×900两块。

4．比例尺和分规

（1）比例尺

（2）分规

5．圆规

6．曲线板

7．擦线板

8．铅笔

9．鸭嘴笔和绘图墨水笔

10．绘图机

11．计算机绘图

二、使用方法

结合书中图例及实物讲解。

§1—2工程图样的一般规定

工程图样之所以能成为工程技术界的共同语言，主要是由于图样格式、内容、画法几何及工程制图和标注等，都有一系列必须共同遵循的统一规定，简言之，就是实现了制图的标准化。制图的标准化工作是一切工业标准的基础。

我国现行的制图标准，是国家标准局于1983年和1984年发布，1985年实施的《中华人民共和国国家机械制图标准》。国家标准简称“国标”，代号：“GB”，本节只介绍国家标准《机械制图》部分中的部分内容，其余将在以后各章节中结合各章节的内容介绍之。

一、图纸幅面和格式（GB/T14689—93）

1．图纸幅面尺寸

2．图样格式

3．标题栏

二、比例（GB/T14690—93）

三、字体（GB/T14691—93）

1．汉字

数字、字母

四、图线（GB/T17450—98）

1．线型及其应用

2．图线的画法

（1）同一图样中，同类线的宽度应基本一致，虚线、点划线、双点划线各自线段的长短和间隙应大致相符。（见图示说明）。

（2）绘制圆的中心线时

a）应超出圆外2～5mm；

b）首末两端应是线段而不是点；

c）圆心是线段的交点；

d）当绘制小圆的中心线有困难时，可由细实线代替点划线，如图1—1所示（书中P11）。

（3）绘制虚线与虚线（或其它图线）相交时

a）应是线段相交；

b）虚线是实线的延长线时，在相交处要离开。如图1—2所示，（书中P11）。

五、尺寸标注（GB4458．4—84）

图样中的图形仅仅确定了机件的形状，而机件的真实大小是靠尺寸确定的，因此，尺寸标注是图样中的另一重要内容。尺寸标注也是制图工作中极为重要的一环，需要认真细致，一丝不苟。

1．基本原则

（1）机件的真实大小应以图样上所标注的尺寸数值为依据，与图样的大小及绘图的准确性无关。

（2）图样中（包括技术要求和其它说明）的尺寸，以mm为单位，不需标注计量单位的代号或名称，如采用其他单位，则必须注明相应的计量单位的代号或名称。

（3）图样中所注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则，应另加说明。

（4）机件的每一个尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。

2．尺寸的组成（标注尺寸的四要素）

一个完整的尺寸由尺寸界线、尺寸线、尺寸数字和箭头（或斜线）组成，故常称为尺寸的四要素（见书中 页图示）。

(1)尺寸界线（表示尺寸的起止）的画法。一般用细实线画出并垂直于尺寸线。尺寸界线的一端应与轮廓线接触，另一端伸出尺寸线外2～3mm，有时也可以借用轮廓线、中心线等作为尺寸线。

（2）尺寸线。a）尺寸线必须用细实线单独画出，不能用其它图线代替，也不能画在其它图线的延长线上；b）标注线性尺寸时，尺寸线必须与所注的尺寸方向平行；c）当有几条相互平行的尺寸线时，大尺寸

要注在小尺寸的外面，以免尺寸线与尺寸界线相交。d）在圆或圆弧上标注直径尺寸时，尺寸线一般应通过圆心或其直径的延长线上；

（3）尺寸线终端的两种形式。尺寸线终端有箭头和斜线两种形式。机械图多采用箭头。同一张图上箭头（或斜线）大小要一致，一般应采用一种形式，其画法见书中（ 页）所示。

（4）尺寸数字。线性尺寸的数字一般注在尺寸线的上方（见图示），也可注在尺寸线的中断处。a）尺寸数字的书写，水平方向的尺寸数字头朝上；b）垂直方向的尺寸数字头朝左；c）倾斜方向的尺寸数字字头要保持朝上的趋势；d）应避免在300范围内标注尺寸，当实在无法避免时，可按图（书中 页）所示。

注意：

（1）尺寸数字应写在尺寸线的中间，在水平线上的应从左到右写在尺寸线上方，在铅直尺寸线上，应从下到上写在尺寸线左方；

（2）长尺寸在外，短尺寸在内；

（3）不能用尺寸界线左尺寸线；

（4）轮廓线、中心线可以作尺寸界线，但不能作为尺寸线；

（5）尺寸线倾斜时数字的方向应便于阅读，应尽量避免在斜线300范围内注写尺寸（见书中图示）；

（6）同一张图纸内尺寸数字大小应一致；

（7）在剖面图中写尺寸数字时，应在留有空白处书写而在空白处不画剖面线；

（8）两尺寸界线之间比较窄时，尺寸数字可注在尺寸界线外侧，或上下错开，或用引出线引出再标注；

（9）桁架式结构的单线图，可将尺寸直接注在杆件的一侧。

六、剖面符号（GB4457．5—84）

在剖视图和剖面图中，应采用书中P11表1-8所规定的剖面符号。

§1—3几何作图

机件的形状虽然各不相同，但都是由各种几何形体组成。它们的图形也是由一些几何形体组成。最基本的几何作图包括：圆周等分、斜度和锥度的画法、线段连接等作图方法。

一、等分直线段

已知：直线AB

求：将其五等分

解：过A点作任意直线AC，用直尺在AC上从点A截取任意长度为五等分，得1、2、3、4、各点，连接B5，然后过其它等分点分别作直线平行于B5，交AB于四个等分点，即为所求，见图1—3所示，参见书P12。

二、等分两平行线之间的距离为已知等份

已知：平行线AB和CD

求：将其间的距离五等分

解：置直尺O点于CD上，摆动尺身，使刻度5落在AB直线上，截得1、2、3、4各等分点，过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求，见图1—4（P13）所示。

三、过已知三点作圆

已知：点A、B、C

求：过其三点作一个圆

解：过AB、BC（或AC）分别作出它们的垂直平分线交于点O，以O点为圆心，以OA为半径，作一个圆，必然通过B、C两点，即为所求，见图1—5（P16）所示。

四、作已知圆规的内截正多边形（或称圆周的等分）

1．内截正三角形

解：（1）用600三角板过A点画600斜线交B点，

（2）旋转三角板，同法画600斜线交C点，

（3）连接BC则得正三角形，如图1—6（a）所示（P20）。

2．内截正四角形

解：（1）用450三角板斜边过圆心作直径交圆周于1、3点，

（2）移动三角板，用直角边作垂线21，34

（3）用丁子尺画41和32两水平线，即得所求，如图1—6（b）所示（P20）。

3．内截正五边形

解：（1）以A为圆心，以OA为半径画弧交圆于C、D两点，连接BC交OA中点M，

（2）以M为圆心，MI为半径画弧，得K点，KI线段即为五边形的边长，

（3）用KI长，自I点起截圆得点Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，依次连接，即得所求五边形，如图1—6（c）所示（P20）。

4．内截正六边形

可以用两种方法求做：一种是用圆规作图，一种是用三角板作图。

五、斜度和锥度

1．斜度

斜度 = H= tgα=1：n L

斜度是指一条直线（或平面）对另一条直线（或平面）的倾斜程度，如上式。其大小以直角三角形两直角边之比来表示，如图1—7所示。并把斜度注成1：n的形式；标注斜度时用符号“∠”表示，如图1—7所示。符号倾斜方向与轮廓线方向一致。

例如：过A点对AB直线作一条1：5的倾斜线，其作图方法如图1—7所示，先将AB直线五等分得点C，然后过C点作CD⊥AB，并使CD=1AC，连接AD即得锁求的倾斜线。5

图1—7斜度的作法和标注

2．锥度

1：n =DD d ==2tg Ll2

锥度是指圆锥底圆直径与锥高之比。对于锥台，其锥度则为上、下两底圆直径之差与锥台的高度之比，如图1—8所示。并把比例写1：n的形式。

标注：标注锥度时用符号“⊿”表示，如图1—8所示，符号的方向应与锥面的轮廓线方向一致。

图1—8锥度的作法和标注

六、圆弧连接

圆弧连接是指用已知半径的圆弧，光滑地连接（即相切）两已知线（直线或圆弧）构成机件的轮廓，如图1—9所示（P30）。这个起连接作用的圆弧，称为连接弧。

（a）

（b）

（c）

图1—9圆弧连接作图举例

注意：为保证光滑连接，作图时必须准确地求出连接弧的圆心和连接圆弧与被连接线段的连接点（即切点）。切点：即连接两圆弧的圆心延长线与已知圆弧的交点即为切点。

1．连接弧的圆心轨迹

（1）与直线相切时，其圆心在与直线的距离为R的平行线上，如图1—9（a）、（b）所示；

（2）与圆心为O1，半径为R1的圆弧相切时，其圆心在已知圆弧的同心圆上，该圆半径根据相切情况（内切、外切）而定（a）两圆外切时，R外=R+R1，如图1—9（c）所示；（b）两圆内切时， R内=R－R1 ，如图1—9（d）所示；根据已知条件分别作出两条轨迹弧，其交点即为轨迹弧的圆心。

2．连接圆弧切点的位置

（1）与直线相切时，从连接弧的圆心向已知直线作垂线，其垂足就是切点，如图所示，k1、k2点即为切点；

（2）与圆弧相切时，切断在两圆弧圆心的连心线或延长线与已知圆弧的交点处,如图1—9（c）、（d）所示, k1、k2点即为切。

3．圆弧连接的作图步骤

（1）首先求唨连接弧圆心，它应满足两被连接线段的距离均为连接弧半径的条件；

（2）找出连接点，即连接弧与已知线段的切点；

（3）最后在两连接点之间画出连接圆弧。

七、椭圆的近似画法

椭圆画法较多，已知椭圆的长短轴（或共轭轴），（a）用四心圆法作近似椭圆，称为四心圆法；（b）用同心圆法作椭圆，称为同心圆法。如图1—10（a）、（b）所示。

图1—10椭圆的近似画法（四心法）

（a）作图方法（四心法）：

（1）画长短轴AB、CD，连接AC ，并取CF=OA－OC（长短轴差）；

（2）作AF的中垂线与长、短轴上交于两点1、2，在轴上取对称点3、4得四个圆心；

（3）连接O1O2，O2O3，O3O4，O4O1并适当延长；

（4）分别以O1、O2、O3、O4为圆心，以O1A、O2C、O3B、O4D为半径，顺序作四段相连圆弧（两大两小四个切点在有关圆心连线上），即为所求。

（b）作图方法（同心圆法）：

图1—10椭圆的近似画法（同心圆法）（见书中图例）

八、平面图形的尺寸分析及画法

平面几何图形都是由若干直线和曲线连接而成的，这些线段有必须根据给定的尺寸关系画出，所以要想正确而又迅速地画好平面图形，就必须首先对图形中标注的尺寸进行分析。通过分析，可使我们了解平面集合图形中各种线段的形状、大小、位置及性质。

1．平面图形的尺寸分析

标注平面图形的尺寸时，要求正确、完整、清晰、齐全。要达到此要求，就需了解平面图形应标注哪些尺寸。平面图形中的尺寸，按其作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。而在标注和分析尺寸时，首先必须确定基准，如图1—11所示。

（1）定形尺寸：确定组成平面图形的各个部分形状大小的尺寸，称为定形尺寸。如直线的长度、圆及圆弧的半径、角度大小等。如图1—11中的75、15、￠20、￠45、R15、R12、R50、R10、￠30均为定形尺寸。

图1—11平面图形的画图步骤及尺寸线段分析（书中图例）

（2）定位尺寸：确定构成平面图形的各简单的几何图形中线段间相互位置的尺寸，称为定位尺寸。如图1—11中尺寸8就是￠5的定位尺寸。

（3）基准：标注尺寸的基点，称为尺寸基准。标注尺寸时应考虑基准，一般以图形的对称中心线、较大圆的中心线或图形中的较长直线作为尺寸基准。通常一个平面图形需要X、Y两个方向的基准。

（4）定形尺寸兼作定位尺寸：如图1—11中的￠30尺寸即是。

2．平面图形的线段分析及作图步骤

平面图形的绘制步骤、尺寸标注都与线段连接情况相关。因此，根据锁标注的尺寸和组成图形的各线段间的关系，图形中的线段可以分为以下三种：

（1）已知线段：定形尺寸、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段。

（2）中间线段：有定形尺寸，而定位尺寸则不全，还需根据与相邻线段的一个连接关系才能画出的线段

（3）连接线段：只有定形尺寸，而无定位尺寸，需要根据两个连接关系才能画出的线段。

下面以图1—11为例进行分析

（a）分析图形，画出基准线，并根据定位尺寸画出定位线；

（b）画出已知线段，即那些定形尺寸、定位尺寸齐全的线段；

（c）画连接线段，即那些只有定形尺寸，而定位尺寸不齐全或无定位尺寸的线段；

注：这些线段必须在已知线段画出之后，依靠他们和相邻线段的关系采纳画出。

（d）擦去不必要的图线，标注尺寸，按线型描深如图1—11所示。

§1—4徒手作图

仪器图———用绘图仪器画出的图。

草图———不用仪器，徒手作的图。草图是工程技术人员交谈、记录、构思、创作的有利工具，工程技术人员必须熟练掌握徒手作图的技巧。

一、草图的“草”字只是指徒手作图而言，并没有容许潦草的意思

草图上的线条也要粗细分明，基本平直，方向正确，长短大致符合比例，线形符合国家标准。

画草图用的铅笔要软些，例如B、HB；铅笔要削长些，笔尖不要过尖，要圆滑些；画草图时，持笔的位置高些，手放松些，这样画起来比较灵活。

画水平线时，铅笔要放平些，初学画草图时，可先画出直线两端点，然后持笔沿直线位置悬空比划一、两次，掌握好方向，并轻轻画出底线。然后眼睛盯住笔尖，沿底线画出直线，并改正底线不平滑之处。画铅直线时方法相同，但持铅笔可竖高些。画向右上倾斜的线，手法与画水平线相似。画向右下倾斜的线，与画沿直线相似，但铅笔要更竖高些，而且要特别注意眼睛要盯住线的终点。

二、画草图时要手眼并用

作垂直线、等分一线段或一圆弧，截取相等的线段等，都是靠眼睛估计决定的。

三、徒手画平面图形时，不要急于画细部，先要考虑大局

画草图时，既要注意图形的长与高的比例，以及图形的整体与细部的比例是否正确，草图最好成绩画在方格纸（坐标纸）上，图形各部分之间的比例可借助方格数的比例来解决（当然是在有条件时用）

四、画物体的立体草图时，可将物体摆在一个可以同时看到它的长、宽、高的位置，然后观察及分析物体的形状

1．有的物体可以看成由若干个几何形体叠砌而成

如图1—12（a）所示的模型，可以看作由两个长方体叠加而成。画草图时，可先徒手画出底下一个长方体，使其高度方向铅直，长度和宽度方向与水平线成300角，并估计其大小，定出其长、宽高。然后在顶面上另加一个长方体，如图1—12（a）所示。

2．有的物体如棱台，可以看成从一个长方体削去一部分而成

先画（徒手）一个以棱台的下底为底，棱台的高为高的长方体，然后在其顶面画出棱台的顶面，并将上、下面的四个角连接起来。如图1—12（b）所示，即为一个棱台。

（a） （b）

图1—12立体草图

五、画立体草图应注意三点

先定物体的长、宽、高的方向，使高度方向垂直，长度方向和宽度方向与水平线倾斜300；

物体上互相平行的直线，在立体图上也应互相平行；

画不平行于长、宽、高的斜线时，只能先画出他的两个端点，然后连线，如图1—12（b）所示。

本章重点：

1．掌握国家制图标准《机械制图》、《建筑制图》等相关标准中的图幅、图框格式、常用比例、写字要求及字形、图线宽度等基本要求；

2．掌握几何作图的基本方法，能正确利用作图工具绘制圆的内截多边形、椭圆等基本图形；

3．能正确地对平面图形进行尺寸和线段分析，能正确选择尺寸基准，完整地标注定形尺寸和定位尺寸；

4．掌握锥度和斜度的画法及其标注；

5．掌握圆弧连接的基本画法。

本章难点：

1． 基本几何图形的基本画法；

2． 平面图形进行尺寸和线段分析、尺寸基准的选择、尺寸的正确标注。

3． 圆弧连接中应注意的问题。

作业题

1．

2．

第二章 投影作图

§2—1投影的概念

一、投影

在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法

在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；

投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；

投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。

二、投影法的分类

投影法依投影线性质的不同而分为两类：

1．中心投影法

投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。投影线的出发点称为投影中心。这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图。如图2—1所示。由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法

图2—1中心投影法

图2—2平行投影法（a） 图2—3平行投影法（b）

2．平行投影法

如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。 平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。如上图所示。正投影法

是工程制图中广泛应用的方法。

3．轴测投影

轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。

三、正投影的基本特性

图2—4正投影特性

以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示。

1．真实性

当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；

2．积聚性

当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；

3．类似性

当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。

由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。

四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）

如图2—5所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的。很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。

图2—5一个投影不能确定物体的形状

1．三个投影面的建立

一般需将物体放置在如图2—6的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小。

图2—6三面投影体系

2．三投影面名称

正投影面——正立着的面，简称正投影面或V面，

水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，

侧投影面——册立着的面为侧投影面，简称侧面或W面。

在三投影面中：OX轴——V面和H面的交线，

OY轴——H面和W面的交线，

OZ轴——V面和W面的交线，

坐标原点——OX、OY、OZ三轴的交点。

五、三视图的形成

按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图。为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V 面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。三视图的形成工程如图2—7（a）所示。

为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开，如图2—7（b）所示。展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转900，W面绕OZ轴旋转900，使H、W面与V面形成同一平面。在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OYH，随W面的OYW。展开后的三视图，如图2—7（c）所示。值得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称，如图2—7（d）所示。

六、三视图的投影关系

从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：

1．位置关系

俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；

图2—7三视图的形成

2．方位关系

任何物体都有前后、上下、左右六个方位。而每个视图只能表示其四个方位，如图2—8所示。

在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图表示物体的前后。靠近主视图的一面是物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面

图2—8 三视图与物体的方位关系

3．三等关系

任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）

尺度称为高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图2—9所示）

主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度。归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系。（注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系。

图2—9三视图的三等关系

§2—2点的投影

空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。

一、点的投影和三面投影规律

点的投影仍然是点，如图2—10所示，设：空间有一点A，自A分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足a、a 、a 。a、a 、a 分别表示A点在H面、V面、W面的投影。（通常规定空间点用大写字母如：A、B、C 等表示，其投影用响应的小写字母，如a、b、c 等表示）见上图。这样，A点到W 面的距离为A点的X坐标，A点到V 面的距离为A点的Y坐标，A点到H 面的距离为A点的Z坐标。若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：

A=（XA，YA，ZA）， B=（XB，YB，ZB） 。

图2—10点的三面投影

由作图可知，Aa⊥H面，Aa⊥V面，Aa⊥W面。则通过Aa所作的平面P必然同时垂直于H面和V面，当然，也垂直于H面与V 面的交线OX轴，它与OX轴的交点用ax表示，显然Aa axa是一矩形，同理Aa aya和Aa aza 也是矩形。这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体。因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：

Aa=aay=aaz=oax（均为坐标XA）

Aa=aax=aaz=oay（均为坐标YA）

Aa=aax =aay=oaz（均为坐标ZA）

可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标值决定的。点a由oax和oay，即A点的XA，YA两坐标决定；点a 由oax和oaz，即A点的XA，ZA两坐标决定；点a 由oay和oaz，即A点的YA，ZA两坐标决定。如图2—10（a）所示，将三投影面展开，使其与V面成同一平面。为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到aa 和a a （称为投影连线），分别与X、Z轴相交于ax和az点。由于Y轴展开后分为Yh和Yw，在作图时，一种方法是采用以O点为圆心画弧ayH和ayw，如图2—10（b），另一种方法是自O点作450斜线，再从ayH引Y轴的垂线与450斜线得交点，再从此点引Yw的垂线与由a 引出的Z轴的垂线交点，即为a 点。

注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c）所示。

按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：

1．点的正投影和水平投影的连线垂直于X轴，即aa⊥OX两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离。即：aa⊥OX，a az=aayH=XA。

2．点的正面投影a 和侧面投影a 的连线垂直于Z轴，这两个投影都反映空间点的Z坐标，即便表示点到水平面的距离。a a ⊥Z轴，a ax=a ayw=ZA。

3．点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影到Z轴的距离，这两个投影都反映空间的Y坐标，表示空间点到正投影面的距离：aax=a az=YA。显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的。

应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值X、Y、Z画出其三面投影图。

（2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图。

例题1：已知：A（20，10，35）

求作：A点的第三面投影

例题2：已知：点的两面投影

求作：点的第三面投影

例题3：已知A、B两点的两面的投影

求作：第三面投影并确定其相对位置

解：∵XB＞XA，∴B点在左，A点在右

∵ZA＞ZB， ∴A点在上，B点在下

∵YA＞YB， ∴B点在后，A点在前

总的结论：A点在B点的右前上方，B点在A点的左后下方。其它的例题自学。

二、两点的相对位置和重影点

1．两点的相对位置

根据相对于投影面的距离确定如图2—11所示。（1）距离W面远者在左，近者在右（根据V、H的投影分析）；（2）距离V面远者在前，近者在后（根据H、W面的投影分析）；（3）距离H面远者在上，近者在下（根据V、W面的投影分析）

图2—11两点的相对位置

2．重影点

当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来，如图2—12中的（b）点的投影。如图2—12所示，∵A、B两点到V面、W面的距离相等，所以A、B两点在H面投影重合，故称A、B两点为对H面的一对重影点，B点在H面的投影不可见。

图2—12重影点的投影

§2—3直线的投影

空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图2—13所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。

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