2022年中国人民大学统计与大数据研究院601数学分析考研核心题库

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第 2 页，共 32 页 特别说明

本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题对该题型进行了整理编写，涵盖了这一考研科目该题型常考试题及重点试题并给出了参考答案，针对性强，考研复习首选资料。

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本书由本机构编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。

一、2021年中国人民大学统计与大数据研究院601数学分析考研核心题库之解答题精编

1． 计算三重积分

其中

是曲面

与

围成的有界区域.

【答案】在平面上的投影区域为D:

，且

作坐标变换

可得

因此

2． 求椭圆

周界的质量

，若曲线在点M(x ，y)的线密度为

.

【答案】

(1)若b ＞a ，则

(2)若a ＞b.则

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3．

求以下两个几何体的体积，试分析两者的关系。

:由锥体和球体

的公共部分确定，其中

均

为常数。

:

由柱面

与平面

围成。

【答案】利用球坐标变换，在

坐标系内，

对应几何体

可得

4． 设u(x,y)是由方程组

确定的函数，其中均连续可微，且

，求

.

【答案】

由

可知，由方程组

可以确定以y 为自变量，以z,t 因变量的函数，即z=z(y)，t=t(y).这样复合的层次如图所示.

于是，由复合函数的微分法，有

为了求

和

，在方程组(1)两边关于y 求导，可得

由此可得

代入式

(2)得

5． 用对数求导法求下列函数的导数：

(1)

;(2)

.

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页 【答案】(1)由于，可得

(2)由于，可得

6． 求

，其中. 【答案】当时，通项不趋于0,级数发散，当P ＞

1

时，由于

而收敛(P ＞1)，故原级数绝对收敛. 当时，对任意的有

即级数的部分和在时有界.

数列单调递减且，由Dirichlet 判别法可

知原级数收敛，又

用P 判别法可验证发散，用Dirichlet 判别法可验证收敛，故此时发散，原级数为条件收敛。

7． 设S 为在的部分取外侧，求第二型曲面积分 (1)

. (2)

. 【答案】如下图所示，补面

，取下侧.记为围成的立体，其在平面的投

影区域记为.由高斯公式得：

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