勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径

正方体

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（ ）

A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B

解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A．

2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 .

第6题

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB=

22?12?5．

8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 .

第7题

解：将正方体展开，连接M、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，

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MD1=

MD2?DD1?32?22?13 ．

25．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）

11A

解：如图，AB=

2B?1?2?2?12?10．故选C．

9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB= （2）展开底面右面由勾股定理得AB=

所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．

= =5cm；

cm；

长方体

10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=

=25．

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11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . D1C1

1A1DB1

C

2AB 4

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形， ∴AC1=

18．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm．

AB2?BC1?42??1?2??42?32?5

22

解：

∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．

故答案为：13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

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解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB， 则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：在Rt△ABD中，

因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172． 所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.

(1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?

A

D C 30 B 812

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

.

解：由题意得， 路径一：AB= 路径二：AB= 路径三：AB=

= =5； =

； ；

∵ ＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

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解：（1）AB的长就为最短路线．

然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 或

（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是

（cm）； （cm）， cm．

（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm， 则所走的最短线段是

=6

cm；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm， 所以走的最短线段是

=

cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm， 所以走的最短线段是

=2

cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与

蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。

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16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。

解：将台阶展开，如下图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169， 所以AB=13（cm），

所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

圆柱

21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 . 第2题

解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点． AF=2π?5=10π．AD=5π． AC=

AD2?CD2≈16cm．

故答案为：16cm．

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22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .

12B

5 A 第3题 解：AB=52?122?13m

23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 6，?．

解：因为圆柱底面圆的周长为2π×

6=12，高为5， ?=13．

所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是

解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24cm，则AD=24×=12cm．

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又因为CD=AB=9cm，所以AC= =15cm．

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm． 故答案为：15．

25．（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm．（结果用带π和根号的式子表示）

解：QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中， 根据勾股定理得： QP=

最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。 Ⅰ.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案

例1．为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。

解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。

（1） 可设计AB+AC路径；

（2） 可设计AD+BD+CD路径；

（3） 可设计AE+EB+EC路径。

通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3） Ⅱ。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计

例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。

解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。

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应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点， 求BN＋MN＋MC的最小值。

Ⅲ。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。

解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。 应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？

关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。

Ⅰ。在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程 Ⅱ。在长方体（正方体）中，求最短路程

例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.

解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：

（1） 将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=

（2） 将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s2= （3） 将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=

然后比较s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.

应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？ Ⅲ。在圆锥中，求最短路径问题

例6．在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其表面绕一周又回到A点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。

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解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案

应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发， 绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）

路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“转化的思想”的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。

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