07 损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

内容提要免赔额、限额、共保和通胀对赔款金额的影响赔款的均值赔款的方差免赔额对索赔次数的影响注：在以前的损失模型中，假设损失等于赔款。

免赔额(Deductibles):对索赔次数和赔款金额产生影响赔偿限额(Limits):只影响赔款金额，不影响索赔次数共保(Coinsurance)只影响赔款金额，不影响索赔次数通胀(Inflation):影响赔款金额1 2

1、免赔额(Deductible)为何应用免赔额？控制小额索赔，降低理赔成本类型：一般免赔额 (ordinary deductible):赔款等于损失减去免赔额。把随机变量调整为超额损失随机变量(excess loss)或 left censored and shifted随机变量。这取决于应用免赔额的结果是表示每次赔款的随机变量，还是每次损失的随机变量：per payment(不含零) or per loss(含零)。特许免赔额 ( franchise deductible ):对一般免赔额进行调整，即当应用一般免赔额以后的赔款大于零时，赔款中不扣除免赔额。3

一般免赔额如果用X表示原始损失，用d表示一般免赔额，用 Y表示保险公司的赔款，则对 Y可以有两种解释: Y是保险公司对每次损失的赔款，包括损失不超过免赔额 d时，保险公司支付的零赔款在内。 Y是保险公司对每次索赔的赔款，或者说是保险公司发生的非零赔款。

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如果把Y解释为保险公司对每次损失的赔款，则Y就是“含零赔款”的随机变量(per-loss variable): 0, YL= X d, X≤d X>d

per loss variable (“含零赔款”随机变量 ) 0 YL= X d X≤d X>d

如果把Y解释为保险公司对每次索赔的赔款，则Y就是“非零赔款”(或超额损失)的随机变量(per-payment variable): undifined, X≤ d YP= X>d X d,

含零赔款随机变量取零值的概率(即损失不超过免赔额d的概率)为Pr(Y L= 0)= Pr( X≤ d )= FX (d )

关系： Y P= Y L| Y L> 0

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

含零赔款YL的其他各种函数分别为

per payment variable (“非零赔款”,超额损失)YP= X d| X> d非零赔款YP的各种函数分别为：FY P ( y )= Pr(Y P≤ y )= Pr( X d≤ y| X> d )= Pr(0< X d≤ y ) Pr( d< X≤ y+ d )= Pr( X> d ) Pr( X> d )

FY L ( y )= Pr(Y L≤ y )= Pr( X d≤ y )

= Pr( X≤ y+ d )

= FX ( y+ d )

(y≥ 0 )

fY L ( y )= f X ( y+ d )

(y> 0 )=

FX ( y+ d ) FX (d ) 1 FX (d )fY P ( y )= fX ( y+ d ) fX ( y+ d )= 1 FX ( d ) S X (d )

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“含零赔款”与“非零赔款”随机变量的比较

实际损失(original loss)、含零赔款(per loss variable)非零赔款(per payment variable)的密度函数比较

0 YL= X d

X≤d X>d

undifined, X≤ d YP= X>d X d,FX ( y+ d ) FX (d ) 1 FX ( d )

FY L ( y )= FX ( y+ d ) fY L ( y )=

f X ( y+ d ) f L (0)= FX (d ) Y

FY P ( y )=

Left censored and shifted distribution

fY P ( y )=

fX ( y+ d ) 1 FX ( d )9

d=20

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特许免赔额 (Franchise deductible)当实际损失小于或等于免赔额时，保险公司不赔任何款项，一旦实际损失超过免赔额，保险公司将按实际损失进行赔付。 (见下页)

含零赔款为 0 YL= X X≤d X>d

非零赔款(超额损失)为 undifined, YP= X, X≤d X>d

对比：一般免赔额 0, YL= X d, X≤d X>d undifined, X≤ d YP= X>d X d,12

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

特许免赔额对于含零赔款： FX (d ), y= 0 fY L ( y )= f X ( y ), y> d FX (d ), 0≤ y≤ d FY L ( y )= FX ( y ), y> d

特许免赔额条件下，非零赔款(超额损失)分布函数的推导：

对于非零赔款(超额损失):fY P ( y )= f X ( y), 1 FX (d ) y>d(把0点的概率确定为0,相应增大其他各处的概率)

FY P ( y )=∫ fY P (t )dtd

y

=

∫

y

d

f X (t )dt

1 FX (d )

0≤ y≤d 0, FY P ( y )= FX ( y ) FX (d ) y>d 1 F (d ), X

(证明见下页)13

=

FX ( y ) FX (d ) 1 FX (d )14

特许免赔额条件下，实际损失、含零赔款、非零赔款的密度函数比较

定理(直观解释):对于一般免赔额平均含零赔款为E (Y L )= E ( X ) E ( X∧ d )

平均非零赔款(平均超额损失)E (Y P )= E( X ) E( X∧ d ) 1 F (d )

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loss elimination ratio (损失消减率)对特许免赔额平均含零赔款为E (Y )= E ( X ) E ( X∧ d )+ d[1 F (d )]L

损失消减率：应用一般免赔额后，使期望赔款减少的比率。在没有一般免赔额的条件下，期望赔款为 E(X)在应用一般免赔额的条件下，期望赔款(平均含零赔款)为 E(X)-E(X∧ d)故损失消减率为

平均非零赔款(平均超额损失)为E( X ) E( X∧ d ) E (Y )=+d 1 F (d )P

E ( X ) [ E ( X ) E ( X∧ d )]17

E( X )

=

E( X∧ d ) E( X )

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

定理:通货膨胀的影响(直观解释对平均值的影响)对于一般免赔额 d和通涨率 r平均含零赔款为

证明：应用通涨率以后，损失可以表示为故

Y= (1+r) X

d (1+ r ) E ( X ) E X∧ 1+ r 平均超额损失(平均非零赔款):除以下式即得

y fX 1+ r fY ( y )= 1+ r

y FY ( y )= FX 1+ r

平均含零赔款为

d 1 F 1+ r 19

E[ (Y d )+]= E (Y ) E (Y∧ d )20

因为

d/(1+ r )

E (Y∧ d )=∫ yfY ( y )dy+ d[1 FY ( d )]0

d

=

∫0

(1+ r ) xf X ( x)dx+ d 1 FX

d 1+ r

y fX 1+ r dy+ d 1 F d =∫y X 1+ r 1+ r

0d

d/(1+ r ) d d 1 FX = (1+ r ) ∫ xf X ( x)dx+ 1+ r 1+ r 0

令y= (1+r) xd/(1+ r )

=

∫0

d (1+ r ) xf X ( x)dx+ d 1 FX 1+ r 21

d = (1+ r ) E X∧ 1+ r

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故应用通涨率r以后，平均含零赔款为

故平均非零赔款(平均超额损失)为

E[ (Y d )+]= E (Y ) E (Y∧ d )

eY (d )=

E (Y ) E (Y∧ d ) 1 FY (d )故

d = (1+ r ) E ( X ) (1+ r ) E X∧ 1+ r d = (1+ r ) E ( X ) E X∧ 1+ r 23

由于

d FY ( d )= FX 1+ r 平均含零赔款 d 1 FX 1+ r

平均非零赔款=

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损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

2、赔偿限额赔偿限额：对一次索赔的最大可能赔款。赔偿限额的应用会产生右删改随机变量( right censored random variable.)

应用赔偿限额以后，随机变量的分布函数和密度函数：

应用赔偿限额以后，无需区分含零赔款和非零赔款，因为赔偿限额对零点的概率没有影响。

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应用赔偿限额以后，随机变量的密度函数

定理：对于赔偿限额 u和通涨率 r,Y=(1+r)X,期望赔款为

u E (Y∧ u )= (1+ r ) E X∧ 1+ r 证明：与免赔额条件下的证明相同。u

E (Y∧ u )=∫ yfY ( y )dy+ u[1 FY (u )]0

y fX 1+ r u dy+ u 1 FX =∫y 1+ r 1+ r 0u

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u = (1+ r ) E X∧ 1+ r

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3、共保、免赔额和限额在共保条件下，保险公司支付比例为α的损失,其余由保单持有人支付。如果同时应用：通涨率r,限额u,一般免赔额 d,共保α,则可得到下述的含零赔款随机变量

定理(直观解释):如果同时应用：通涨率r,限额u,一般免赔额 d,共保α,则平均含零赔款为 u d E (Y L )=α (1+ r ) E X∧ E X∧ 1+ r 1+ r 平均非零赔款(平均超额损失)为E (Y P )= E (Y L ) d 1 FX 1+ r 30

0, L Y= α[ (1+ r ) X d], α (u d ),

X<

d 1+ r

d u≤X< 1+ r 1+ r u X≥ 1+ r29

应用顺序：通涨率r,限额u,一般免赔额 d,共保α

损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

定理：应用前述定理应该注意的问题：顺序：通涨率r,限额u,一般免赔额 d,共保α定理中限额u的含义：在应用免赔额和共保之前，最多赔偿u。保单中通常规定的限额：保险公司支付给保单持有人的最大赔款。例：保单规定的免赔额为100,赔偿限额为1000,则在上述公式中的d=100, u=1100。E[(Y P ) 2]=

对于含零赔款，二阶矩为E[(Y L )2]=α 2 (1+ r )2{E[( X∧ u* )]2

E[( X∧ d * )]2 2d[ E( X∧ u* ) E( X∧ d * )]}

对于非零赔款，二阶矩为：E[(Y L ) 2] 1 FX (d * )

其中u*= u/(1+r), d*= d/(1+r)31 32

4、免赔额对索赔次数模型的影响Xi:原始损失金额 NL:原始损失次数 d:免赔额 v:一次损失导致赔款的概率 v= Pr(X> d) Ii=1:第 i次损失导致赔款。 Ii=0:其他。故 Ii是贝努力分布，参数为 v.证明：PN P ( z )= PN L[1+ v( z 1)]

命题：如果损失次数 NL的母函数可以表示为下述形式：

PN L ( z )= PN L ( z;θ )= B[θ ( z 1)]则 PN P ( z;θ )= PN L ( z; vθ )即NL与NP属于相同的分布族

Ii的母函数为

PIi ( z )= 1 v+ vz

PN P ( z )= B[θ (1+ v( z 1) 1)]= B[vθ ( z 1)]= PN L ( z; vθ )33 34

NP= I1+ I2+…+ INL是索赔次数。NP是复合分布，故PN P ( z )= PN L[ PI j ( z )]= PN L[1+ v( z 1)]

例(a, b, 0):从 NL推出 NP哪些分布的母函数可以表示为下述形式？(a, b, 0)

PN L ( z;θ )= B[θ ( z 1)]例：如果 NL服从负二项分布：PN L ( z )=[1 β ( z 1)]显然：β就是θ r

NL泊松(λ)二项(m,q)

母函数

NP

exp[λ(z 1)][1+q(z 1)]m[1 β(z 1)] r

λ*= vλm*= m, q*= vq

应用前述结论可得：

PN P ( z )= PN L ( z; vθ )=[1 vβ ( z 1)] r故 NP仍然服从负二项分布，参数为(r, vβ)35

负二项(r,β)

r*= r,β*= vβ

PN L ( z;θ )= B[θ ( z 1)]

PN P ( z )= PN L ( z; vθ )36

损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

PN P ( z )= PN L[1+ v( z 1)]

命题：如果 NL具有下述形式的母函数

说明：如果 B[θ(z 1)]是母函数，则 B( θ)是 NL在零点的概率，故有零调整的母函数

PN L ( z )= PN L ( z;θ,α )=α+ (1 α )

B[θ ( z 1)] B( θ ) 1 B( θ )

L其中α= PN L (0)= Pr( N= 0)

PN L ( z )= PN L ( z;θ,α )=α+ (1 α )

则 PN P ( z;θ,α )= PN L ( z; vθ,α*)P其中α*= Pr( N= 0)= PN P (0)= PN L (1 v;θ,α )

B[θ ( z 1)] B( θ ) 1 B( θ )零截断的母函数

即

NL

与

NP属于相同的分布族37

T零截断的母函数 P ( z )= 1 p 0

P ( z ) p038

PN L ( z;θ,α )=α+ (1 α )

B[θ ( z 1)] B ( θ ) 1 B ( θ )

应用免赔额以后，索赔次数模型参数的调整

证明： P P ( z;θ,α )= P L ( z; vθ,α*) N N(1)

PN P ( z )= PN L[1+ v ( z 1);θ,α]=α+ (1 α )

B[θv( z 1)] B ( θ ) 1 B( θ )

(2)

PN L ( z; vθ,α*)=α *+(1 α*)

B[θv( z 1)] B ( θ ) 1 B ( θ )

由

α= PN L (0)= B ( θ )α*= PN P (0)= PN L (1 v)= B( vθ )

即可证明(1)和(2)相等。

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免赔额对复合分布的影响由索赔次数 NP推测损失次数 NL:当损失次数

NL服从一种复合分布时，

PN L ( z )= P[ P2 ( z )] 1索赔次数 NP的母函数为 PN P ( z )= P{ P2[1+ v( z

1)]} 1可见，索赔次数

PN P ( z )= PN L[1+ v( z 1)]令 t= 1+v(z-1)

NP

仍然是一个复合分布，且与

NL具有

形式相同，只需把参数v改为v-1即可

相同的首分布，但它们的次分布可能不同。如果损失次数 NL的次分布属于(a, b, 0)或(a, b,1),则索赔次数NP将与损失次数 NL具有相同的复合分布形式，因为它们的次分布形式将是相同的。41

PN L (t )= PN P[1+ v 1 (t 1)]

注：不能保证由此求得的损失次数分布是一个合法的分布(参见loss models例5.18.p.132)。42

损失模型：免赔、限额、共保和通胀的影响

进一步推广：如果现在的免赔额为 d,相应的索赔次数为 N,将免赔额提高到 d*以后，相应的索赔次数为 N*,则前述结论和公式也可应用。此时，只需令 v等于下式即可：v= 1 FX (d *) 1 FX (d )

当 d*> d时，v< 1,可以保证所得分布是合法的；当 d*< d时，v> 1,不能保证所得分布时合法的。43

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