浙江省历年高考数列大题总汇（题目及答案）

1已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f?(x)?6x?2。数列项和为Sn，点(n,Sn)(n?N（Ⅰ）求数列

*?an?的前n

)均在函数y?f(x)的图像上。

?an?的通项公式；

m3*，Tn是数列?bn?的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小

20anan?1（Ⅱ）设bn正整数m。

?2. 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列． （I）求数列{an}的通项公式； （II）设Tn为数列?小值．

3. 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且

?1?*对?n?N恒成立，求实数?的最?的前n项和，若Tn≤?an?1¨

?anan?1?(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1,2,3,?，

其中A、B为常数． (Ⅰ) 求A与B的值；

(Ⅱ) 证明数列?an?为等差数列；

(Ⅲ) 证明不等式5amn?aman?1对任何正整数m、n都成立．

4. 已知数列?an?，?bn?满足a1?3，anbn?2，bn?1?an(bn?（1）求证：数列{2)，n?N*． 1?an1}是等差数列，并求数列?bn?的通项公式； bn111，，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不

crcqcp（2）设数列?cn?满足cn?2an?5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，

r(p?q?r)，使得

存在，说明理由．

5. 已知函数

f(x)?x?a?lnx (a?0).

(1)若a?1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； (2)若a?0,求f(x)的单调区间；

ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)*?2???2与(3)试比较的大小(n?N且n?2),并证明22(n?1)23n你的结论. 6已知

f(x)?(x?1)2,g(x)?10(x?1)，数列{an}满足(an?1?an)g(an)?f(an)?0，

9(n?2)(an?1) 10a1?2，bn?（I）求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)求数列{bn}中最大项.

7. 设k?R，函数

f(x)?ex?(1?x?kx2)(x?0).

（Ⅰ）若k?1，试求函数f(x)的导函数f?(x)的极小值； （Ⅱ）若对任意的t?0，存在s?0，使得当x?(0，s)时，都有取值范围.

f(x)?tx2，求实数k的

8. 已知等差数列{an}的公差不为零，且a3 =5, a1 , a2.a5 成等比数列

(I)求数列{an}的通项公式：

(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2nbn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与

-1

3n?1的大小 n?19. 已知函数f(x)?12x?(2a?2)x?(2a?1)lnx 2(I )求f(x)的单调区间；

(II)对任意的a?[,],x1,x2?[1,2]，恒有|f(x1)|?f(x2)??|数?的取值范围.

352211?|，求正实x1x2

1. 解：（I）依题意可设由

f(x)?ax2?bx(a?0),则f`(x)?2ax?b

f`(x)?6x?2 得 a?3,b??2,所以f(x)?3x2?2x.

又由点(n,Sn)(n?N*) 均在函数y?f(x)的图像上得Sn22?3n2?2n

当 n?2时an?Sn?Sn?1?3n?2n???3(n?1)?2(n?1)???6n?5 当 n?1时a1所以an?S1?3?12?2?1?6?1?5

?6n?5(n?N*)

?33111??(?),

anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1（II）由（I）得bn故，Tn?111?11111??(1?). =(1?)?(?)?????(?)??26n?12?77136n?56n?1?1m11m,即m?10 (1?)?(n?N*)成立的m必须且必须满足?22026n?120因此使得

故满足最小的正整数m为10

?4a1?6d?142. （Ⅰ）设公差为d.由已知得?………………………………3分 2?(a1?2d)?a1(a1?6d)解得d?1或d?0(舍去），所以a1?2,故an?n?1………………………………6分

（Ⅱ）?1111???， anan?1(n?1)(n?2)n?1n?211n1111??……………………………9分 ?Tn?????…?n?1n?22(n?2)2334n≤?(n+2)对?n?N?恒成立 ?Tn≤?an?1对?n?N?恒成立，即

2(n?2)n111?≤? 又 242(n?2)2(n??4)2(4?4)16n1 ∴?的最小值为……………………………………………………………12分

163. 解：(Ⅰ)由a1?1，a2?6，a3?11，得S1?1，S2?2，S3?18．

把n?1,2分别代入(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，得?解得，A??20，B??8．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，5n(Sn?1?Sn)?8Sn?1?2Sn??20n?8，即

?A?B??28,

2A?B??48?5nan?1?8Sn?1?2Sn??20n?8，

①

又5(n?1)an?2?8Sn?2?2Sn?1??20(n?1)?8． ② ②-①得，5(n?1)an?2?5nan?1?8an?2?2an?1??20， 即(5n?3)an?2?(5n?2)an?1??20． 又(5n?2)an?3?(5n?7)an?2??20．

③ ④

④-③得，(5n?2)(an?3?2an?2?an?1)?0， ∴an?3?2an?2?an?1?0，

∴an?3?an?2?an?2?an?1???a3?a2?5，又a2?a1?5， 因此，数列?an?是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，an?5n?4,(n?N?)．考虑

5amn?5(5mn?4)?25mn?20．

(aman?1)2?aman?2aman?1?aman?am?an?1?25mn?15(m?n)?9．

∴5amn?(aman?1)2厖15(m?n)?2915?2?29?1?0．

即5amn?(aman?1)2，∴5amn?aman?1． 因此，5amn?aman?1．

4. （1）因为anbn?2，所以an?2， bn42anb2bn4则bn?1?anbn?， ………………………2分 ?2?n?2??21?anbn?2bn?21?bn

所以

111??， bn?1bn2又a1?3，所以b1?即

?1?231，故??是首项为，公差为的等差数列， ……4分 322?bn?131n?22??(n?1)??，所以bn?． ………………………6分 bn222n?2（2）由（1）知an?n?2，所以cn?2an?5?2n?1， ①当p?1时，cp?c1?1，cq?2q?1，cr?2r?1，

若

12111?1?，，成等差数列，则（?）， 2q?12r?1crcqcp21?1，1??1， 2q?12r?1因为p?q?r，所以q≥2，r≥3，

所以（?）不成立． …………………………9分 ②当p≥2时，若则

111，，成等差数列，

crcqcp2111214p?2q?1?????，所以， 2q?12p?12r?12r?12q?12p?1(2p?1)(2q?1)(2p?1)(2q?1)2pq?p?2q，所以r?， ………………………12分

4p?2q?14p?2q?1222即2r?1?欲满足题设条件，只需q?2p?1，此时r?4p?5p?2， ………………14分 因为p≥2，所以q?2p?1?p，r?q?4p?7p?3?4(p?1)?p?1?0，

即r?q． …………………………15分 综上所述，当p?1时，不存在q，r满足题设条件；

当p≥2时，存在q?2p?1，r?4p?5p?2，满足题设条件．…16分

5. (1) 当x?1时,f(x)?x?1?lnx ，f(x)?1?,,21?0.f(x)在?1,???上是递增. x1?0.f(x)在?0,1?上是递减. x故a?1时, f(x)的增区间为?1,???,减区间为?0,1?,f(x)min?f(1)?0. ………4分

当0?x?1时,f(x)?x?1?lnx,f(x)??1?(2)○1若a?1,

当x?a时,f(x)?x?a?lnx,f(x)?1?是递增的;

当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,,

1x?1??0,则f(x)在区间?a,???上xx1?0,则f(x)在区间?0,a?上是递x减的 …………6分 2若0?a?1, ○

当x?a时, f(x)?x?a?lnx, f(x)?1?,1x?1,?,x?1,f(x)?0 ; xxa?x?1,f,(x)?0. 则f(x)在?1,???上是递增的, f(x)在?a,1?上是递减的;

当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,f(x)在区间?0,a?上是递减的,而f(x)在x?a处有意义;

则

1?0 x

f?x?

在区间1,???上是递增的,在区间?0,1?上是递减的 …………8分

??a,???,递减区间是?0,a?;

当0?a?1,f(x)的递增区间是?1,???,递减区间是?0,1?

综上: 当a?1时, f(x)的递增区间是

………9分

lnx1?1? (3)由(1)可知,当a?1,x?1时,有x?1?lnx?0,即xxln22ln32lnn2?2???2 则有 223n?1?111111?1????1??n?1?(????)…………12分 22222223n23n

?n?1?(111???? 2?33?4n(n?1)111111?n?1?(???????)

2334nn?111(n?1)(2n?1)?n?1?(?)=

2n?12(n?1)ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)?2???2?故：. …………15分

2(n?1)223n

6. （1）由题意：(an?1?an)?10(an?1)?(an?1)2?0

?1)(10an?1?9an?1)?0 ………3分

经化简变形得：(an?an?1,

?10an?1变形得：

?9an?1?0 ………5分

an?1?19?

an?1109为公比的等比数列。 10

所以{an?1}是以1为首项，

?9????10??n?1可求得：an?1 ………7分

（2）bn?9(n?2)(an?1) 由（1）可求得 10 ?bn?(n?2)(9n) ………9分 109()n?1(n?3)b9n?3得n?7， ?n?1?10??1,9bn10n?2()n(n?2)109()n(n?2)b9n?2?n?10??1, 得n?8， ………12分

9bn?110n?1()n?1(n?1)10即 ?a6?a7?a8?a9?，

98所以：n=7或n=8时bn最大，b7?b8?1077. 解：（Ⅰ）当k?1时，函数则f(x)的导数

………14分

f(x)?ex?(1?x?x2)，

f?(x)?ex?(1?2x)，f?(x)的导数f??(x)?ex?2. ………………2分

显然f??(ln2)?0，当0?x?ln2时，f??(x)?0；当x?ln2时，f??(x)?0，

ln2)内递减，在(ln2，??)内递增. ……………………4分 从而f?(x)在(0，故导数f?(x)的极小值为f?(ln2)?1?2ln2 ……………………6分

（Ⅱ）解法1：对任意的t?0，记函数

2?Ft(x)?f(x)?tx2?ex??1?x?(k?t)x??(x?0)，

根据题意，存在s?0，使得当x?(0，s)时，Ft(x)?0. 易得Ft(x)的导数Ft?(x)?ex??1?2(k?t)x?，Ft?(x)的导数Ft??(x)?ex?2(k?t)……9分

①若Ft??(0)?0，因Ft??(x)在(0，s)上递增，故当x?(0，s)时，Ft??(x)>Ft??(0)≥0， 于是Ft?(x)在(0，s)上递增，则当x?(0，s)时，Ft?(x)>Ft?(0)?0，从而Ft(x)在(0，s)上递增，故当x?(0，s)时，Ft(x)?Ft(0)?0，与已知矛盾 ……………………………………11分

②若Ft??(0)?0，注意到Ft??(x)在[0，s)上连续且递增，故存在s?0，使得当x?(0，s)

Ft??(x)?0，从而Ft?(x)在(0，s)上递减，于是当x?(0，s)时，Ft?(x)?Ft?(0)?0，

因此Ft(x)在(0，s)上递减，故当x?(0，s)时，Ft(x)?Ft(0)?0，满足已知条件……13分

综上所述，对任意的t?0，都有Ft??(0)?0，即1?2(k?t)?0，亦即k?再由t的任意性，得k?1?t， 2111，经检验k?不满足条件，所以k?…………………15分 222解法2：由题意知，对任意的t?0，存在s?0，使得当x?(0，s)时，都有

f(x)?t成x2立，即

f(x)?0成立，则存在s?0，使得当x?(0，s)时，f(x)?0成立， x2又f(0)?0，则存在s0使

?0，使得当x?(0,s0)时，f(x)为减函数，即当x?(0,s0)时

f?(x)?ex?1?2kx?0成立，

又f?(0)?0，故存在s0?s?0，使得当x?(0，s)时f?(x)为减函数，

xxe1?. 则当x?(0，s)时f??(x)?0成立，即e?2k?0，得k?228. 解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为

d(d?0)，

22???a1(a1?4d)?(a1?d)?a1a5?a2???a1?2d?5?a?53由题?，??，

…3分

?a1?1?d?2解得：? . ?an?a1?(n?1)d?1?(n?1)2?2n?1.

n?1（Ⅱ）b1?2b2?4b3???2bn?an ①

…4分 …5分

9. 解：（Ⅰ）

f?(x)?x?(2a?2)?2a?1(x?2a?1)(x?1)x=x （x?0）

…1分

令

f?(x)?0，x1?2a?1,x2?1

(x?1)2f?(x)??0f(x)增区间是?0,???； a?0x① 时，，所以

② a?0时，2a?1?1，所以

f(x)增区间是(0,1)与(2a?1,??)，减区间是(1,2a?1)

③

?1?a?0f(x)增区间是(0,2a?1)与(1,??)，减区间是(2a?1,1) 2时，0?2a?1?1，所以

12时，2a?1?0，所以f(x)增区间是(1,??)，减区间是(0,1) ④ …5分

35a?[,]22，所以(2a?1)?[4,6]，由（1）知f(x)在[1,2]上为减函数. …6分 （Ⅰ）因为

a??若

x1?x2，则原不等式恒成立，∴??(0,??)

…7分

11?x?x2，不妨设1?x1?x2?2，则f(x1)?f(x2)，x1x2， 若1f(x1)?f(x2)??(所以原不等式即为：

11?)x1x2f(x1)??，即

11?f(x2)??x1x2对任意的

35a?[,]22，x1,x2?[1,2]恒成立

令

g(x)?f(x)??35a?[,]x，所以对任意的22，x1,x2?[1,2]有g(x1)?g(x2)恒成立，所以

g(x)?f(x)??x在闭区间[1,2]上为增函数

…9分

35a?[,]?(x)?0g22，x?[1,2]恒成立 所以对任意的

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