高等数学复旦大学出版社习题答案五

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习题五

． 求下列各曲线所围图形的面积：

（1） y=1

2

2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；

解：如图D1=D2

y=1 22

解方程组得

交点A(2，2) x2+y2=8

(1)

2

D x2 1x2 dx=π+21= 02 3

∴ D+D4

12=2π+3

,

D44

3+D4=8π 2π+3=6π 3

（2） y=1

x

y=x及x=2；

22

解： D1= x 1dx= 1x2 lnx =3 ln2. 1 x 2 12

(2)

（3） y=ex，y=e x与直线x=1； 解：D= 1

ex e x)dx=e+

10(e2．

(3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；

解：D= lnb

ylnaed

y=b

a．

(4)

1

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（5） 抛物线y=x和y= x 2；

y=x解：解方程组 得交点 (1，1)，( 1，1)

y= x2 2

2

22

D=

1

2

( x2+2 x2)dx=4 ( x+1)dx=．

0 1

1

8

3

(5) π9

（6） y=sinx，y=cosx及直线x=x=π；

44

4

解：D=2 (sinx cosx)dx =2[ cosx sinx] 4=4．

4

4

5

5

(6)

（7） 抛物线y= x2+4x 3及其在(0， 3)和(3，0)处的切线； 解：y′= 2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)= 2． ∵抛物线在点(0， 3)处切线方程是y=4x 3

在(3，0)处的切线是y= 2x+6 3

两切线交点是(3)．故所求面积为

2

(7)

3

D

203

4x 3 x2 4x 3 dx xdx

2

332

2x 6 x2 4x 3 dx

20

x

32

3

2

6x 9 dx

94

.

（8） 摆线x=a(t sint)，y=a(1 cost)的一拱 (0 t 2 )与x轴；

解：当t=0时，x=0, 当t=2 时，x=2 a． 所以

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S

2πa0ydx

2π0

a 1 cost da t sint

a

2

2π

1 cost

2

0dt

3πa2

.

(8)

（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ；

2

解：D=3Da12 3sin2

3φdφ

=3a2 2 · 3 1 cos6φφ 02

2

=

3a4 · φ 16

sin6φ

3 0

2

= a

4

． (9) （10） ρ=2acosφ；

解：D=2D22

1=2 22

·4a·cosφdφ

0

=4a2

2 1 cos2φ0

2φ

=4a2112φ+2

φ

2 0

=4a212

2

a2．

(10)

2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;

解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

(11)

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（2） r=θ及r=θ．

r=θ解：如图12，解方程组 2

r=θ

2

得cosθ=0或tanθ=

即θ=θ=．

26

3

(12)

21

6 (θ)2dθ D= θdθ+ ·

2 02

6

6θ = cos2θ +42

1sin4θ

4

6

2

= 6

92

3． 已知曲线f(x)=x x与g(x)=ax围成的图形面积等于a．

2

f(x)=x x2

解：如图13，解方程组 得交点坐标为(0，0)，(1 a，a(1 a))

g(x)=ax

2

∴D= 0(x x ax)dx

1 a

1213 = 1 a)·x

230=1

1 a)3 6

19(1 a)3= 62得a= 2．

1 a

依题意得

(13)

4． 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到

ED所在的直线方程为：

y

=

h

(x A) a A

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(16)

对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： x1=A

A aB b

y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B y． hh

故该椭圆面积为

A(y)= x1x2= A

A a B b

B h h

从而立体的体积为

A A ay B B by dy

V= 0A(y)dy= h h 0

h

h

1

=h[bA+aB+2(ab+AB)] . 6

5. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图

17.

(17)

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．

过区间[ R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

(2y)2=y2=(R2 x2) ( R≤x R) 4

从而该立体的体积为

A(x)=

R

22 V= A(x)dx= 3(R x)dx RR

R

43

． 3

6. 求下列旋转体的体积：

=

（1） 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

y=x解： 求两曲线交点 得(0，0)，(1，1)

y2=x3

34

V= 0(x x)dx

1

2

11

= x4 x5 45 0

=

（14） 20

1

（2）由y=x3，x=2，y

=

0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

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2

解：见图14，V= x6

dx=128x7

08 2

Vy= 22 y3dy 0

=64

5

． （2） 星形线x2/3

+y2/3

=a2/3

绕x轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是：

3

x=acost y=asin3t

0 t 2 ， 由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

Va

2

x=2 0ydx

=2

(asin3t)2d(acos3t)

2

=6 a3

72

2sintcostdt

=

32105

a3

(15)

7． 求下列曲线段的弧长： a) y2=2x ，0≤x≤2；

解：见图18，2yy′=2． y′=1y

∴1+y′2=1+

1

y

．从而 (18)

2

2

l=2 1+y′dx=2

1+

1ydx0

22

2

=2 1ydy ydy 0y2

02

=yy+ln(y+y) =2+ln(2+0b) y=lnx，≤x≤；

解：l=

3y′dx=

1+

1

xdx 3

1+xx= 3 x ln1+x=

=1+1ln3

xx

．3

22

x

c)

y=

tdt, 2≤t≤2

2

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解：l= 2 y′dx= 2 1+cosxdx

22

= 2x dx=42 2cosxx 2

0222

=4x 22

=4.

8． 设星形线的参数方程为x=acos3

t，y=asin3

t，a>0求 d) 星形线所围面积；

e) 绕x轴旋转所得旋转体的体积； f)

星形线的全长．

解：(1)D=4 a

0

ydx=4

3 asintd(acos3t) 2

=12a2 2sin4tcos2

tdt

=12a2 2(sin4t sin6t)dt =3

a2 ．

8

(2)Va

2 323

x=2 0ydx =2

(asint)d(acost) 2

=6 a3 2 sin7tcos2

tdt

=

32105

a3

(3)xt′= 3acos2tsint

yt′=3asin2tcost

xt′2+ y22t′=9asin2tcos2t，利用曲线的对称性，

l=4 2x+y

t′t′dt=4 2 3atcostdt

00

=12a 1 2

4sin22tdt =6a 2 sin2tdt =[3a( cos2t)]2

=6a．0

9． 求对数螺线r ea

相应θ=0到θ=φ的一段弧长．

解：l= φ

0+r′dθ

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φ

= 0+aedθ

=aaφ

a

(e 1)．

10． 求半径为R，高为h的球冠的表面积．

R

解：D=2 R hx1+x′dy

=2 2

22

RcosθRcosθ)′+(Rsinθ)′dθ

arcsinR h

R

=2 2

R2cosθdθ

arcsinR h

R

=2 R2[sinθ]2

arcsin

R h

R

=2 Rh．

11． 求曲线段y=x3(0 x 1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．

1

解：D=2 0yy′dx 1 =2 0x3xdx

3

= 21

42183(1+9x) 0

=

27

10 1)． 12． 把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV

=10·6·dx

(19) 设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x·60gdx=60gxdx． 于是将水全部抽出所作功为

w= 5

060gxdx

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60g2 = 20

5

=750g(KJ) ．

13． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

y=

x

． 10

x

dx 10

（20）

压力元素为

dF=x·2ydx=2x

20

所求压力为

x+5 dx F= 2x 0 10

213 = 5x

15 0 =1467(吨) =14388(KN)

20

14． 半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？

解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为 (x－R)+y=R将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为

dw (2R x)[gπy(x)dx] πg(2R xdx

πg(2R x)(2Rx x)dx

2

2

2

222

（21）

所求的功为

w

2R0

πg(2R x)(2Rx x)dx

2R0

2

πg

(4Rx 4Rx x)dx

2R

223

41

πg 2R2x2 Rx3 x4

34 0 43

πRg (KJ).

4

15． 设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

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（图22）

dF

km dsR

2

km R

2

(Rd )

km R

d

dFx dFcos

km R

cos d ,

则

Fx

2

2

km R

cos d 2 2

km R

cos d

2km R

sin

2

dFy dFsin

km R

sin d

则 Fy

2

km Rsin

2

sin d 0 .

故所求引力的大小为

2km R

2

，方向自N点指向圆弧的中点。

16． 求下列函数在[－a，a]上的平均值：

(1)f(x)

1

a a

解：

2a

x

1a

a0

1 a2πax1x . arcsin a 24a20

a

(2) f(x) x.

1

a a

2

解：

2a

xdx

2

1a

a0

1 13 a

xdx . x a 3 03

2

a

2

17． 求正弦交流电i I0sin t经过半波整流后得到电流

I0sin t, i

0,

π

0 t π

2π

t

的平均值和有效值。

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解：i

π

π

I0sin tdt

π

2π

π

π

0dt

I0

2I01

cos t π π 0

有效值

I

1T

T0

2

t

i(t)dt

2π

2π

0π

i(t)dt

2

2π 0

π2π

i(t)dt

2

π

2

i(t)dt

2π

Isin tdt

I02

20

2

I04

2

故有效值为 I 18． 已知电压u(t)=3sin2t，求

π

(1) u(t)在0,上的平均值；

2

2π

π

.

解： u(t)

20

3sin2tdt

6π

.

(2) 电压的均方根值.

f(x) 解：均方根公式为

x

故

(t) u

19． 设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．

试求最大利润． 解： 设利润函数L(x)． 则L(x)=R(x)－C(x)－50

由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11

令L′(x)=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L(11)= ( x 12x 11)dx 50

011

2

[

13

x 6x 11x]0 50

311

33431 111.

3

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20． 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′(x)（万元/百台），边际收入为R′(x)=7－2x（万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？

(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C′(x)=R′(x)时总利润最大． 即2=7－2x，x=5/2(百台)

(2) L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL(x)=

7252

(5 2x)dx 5x x

2

75 1．

即此时总利润减少1万元.

21． 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为

y

200

800e

5%t

dt

2005%

(1 e

5% 20

)

400(1 e) 2528.4 (万元)

1

纯收入现值为

R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有

2005%T

(1 e15%

5% T

) 800200

=20ln

54

=4.46 (年).

ln

200 800 5%

22． 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

10

xe

(10 t)0.05

dt

即 5=20x(e0.5 1)

x

14(e

0.5

1)

≈0.385386万元=3853.86元．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qmli.html