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相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书” ，献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中。 洛书(见图1)中每个小圆圈都代表一个1。所以把它写

4 3 8

9 5 1

2 7 6

图1

成现在的形式就是图2。

图2

图2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是15。这种正方形排列，在我国历史上，叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。现在，人们称它为“幻方”。因为图2是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。

三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数学家杨辉给出了一种简便的方法：“戴一履九，左三右七，二四为肩，六八为足”如图3，将1至9九个数字斜着排列，然后把上

4 3 8

9 5 1

2 7 6

图2

图3

图4

下两个数字1和9对调，左右两个数字7和3对换，得到图4。再将图4中的上下左右四个数字9，1，3，7分别写进与

4 3 8

9 5 1

2 7 6

它相邻的空格中，就会得到图2。

根据图2发现，每行，每列，对角线三数的平均数均为5（中间数）。也就是中间数和相邻两数之间的距离相等。说明:（a+b）÷2=c,a+b=2c。

图2

所以9个格中的数从大到小排列后应该为一个等差数列。这个数列的

b

平均数就是三阶幻方的中间数。

a

c

前面告诉我们怎样找这八个数了，可怎样把这些数分别填入9格中呢？让我们再来看看洛书（图2）。若设中间的数为a，写成一般形式就是图3.

4 3 8 9 5 1 2 7 6 a-1 a-2 a+3 a+4 a a-4 a-3 a+2 a+1 第四小 第三小 第二大 最大 a 最小 第二小 第三大 第四大 图2

图3 于是可以总结出填三阶幻方的方法，把那八个数从大到小依次放在中间数的：上、左下、右、右下、左上、左、右上、下。

例题分析

1、找九个不同的数，完成下图。

解：已设定，中间数为8，利用前面总结的规律，找九个数：4~12。按规律填进去。

8

11 4 9

于是得出

6 8 10

7 12 5

2、把1、2、3、4、6、8、9、10、11填入下图，使得每行，每列，对角线三数和相等。

解：根据前面总结的规律，填入下图的九个数的平均数是中间数。

2+3+4+5+6+7+8+9+10÷9=6

5 10 3

于是可以填出

4 6 8 9 2 7

通过以上的分析，我们知道了如何去找构成幻方的9个数，以及如何把他们填入格中。这就是我对三阶幻方的一些思考。

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