《概率论与数理统计》第4章第2节 20120528

概率论与数理统计

引例. 设甲、乙两人射击成绩 X, Y 的分布律分别为：Xpk

9 8 10

Y

9 8 10

pk 0.1 0.4 0.5 试评价甲、乙两人射击水平高低 .

0.2

0.2

0.6

解: 由 E(X) = E(Y) 知两人水平基本相当,下面考察发挥稳定性.如何度量稳定性？ 以甲为例：

X-E(X)有正有负！

[X-E(X)]2不是数值！

E{[X-E(X)]2}非负数值！

×

×

√1

计算得 E{[X-E(X)]2} > E{[Y-E(Y)]2}, 故甲的水平高于乙.第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

§4.2 方差一、方差的定义定义 设 X 是一个随机变量，若 E{[ X E ( X )]2 }存在，则称

之为 X 的 方差，记作 D(X) 或 Var(X) .称 D( X ) 为 X 的 标准差 或 均方差，记作σ(X) .

注:1. 方差的意义: X 的取值与其期望的偏离/分散程度；定义: 计算 X 函数的期望 E(g(X))例题 例题

2. 方差的计算： 公式： D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2E ( X ) D( X ) [ E ( X )]2 2

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

例1. 设 X ~ U(a, b),求 D(X).(定义) D( X ) E{[ X E ( X )]2 } 解: 2

1 , f ( x) b a 0, b

a x b . 其他

a b 2 1 ] dx [ x E ( X )] f ( x )dx [ x a 2 b a 2 b (b a ) a b 3 . 1 1 [x ] 12 b a 3 2 a

(公式) D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2

b

x f ( x )dx (22

a b 2 ) 2(b a ) 122

x

a

1 dx ( a b )2 b a 2

.

返回3

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

例2. 设 X ~ B(1, p),求 D(X). 解: 由X 0 1

pk 1 p2

有：

X2

0

1 p

p2

pk 1 p

D( X ) E ( X ) [ E ( X )] p p2

p(1 p).

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

例3. 设 X ~ N(0, 1),求 D(X). 解: D( X ) E ( X 2

f ( x)

1 2

e

x 2

2

, x .

) [ E ( X )]1 2

22

x 2

e

x 2

dx 0

2

1 2 1

x e

2

x 2

2

dxx 22

2

xdex 22

(分部积分)

1 xe 2

e

x 2

2

dx

1 2

e

x 2

2

dx 1.

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

二、方差的性质 (其中 C 为常数)1. D(X)≥0, D(C) = 0 2. D(CX) = C2D(X) , D(X+C) = D(X) 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] }

= 2[ E(XY) - E(X)E(Y) ]D(X + Y) = D(X) + D(Y) (若 X, Y 相互独立) .

注: 若 X1, X2,……, Xn 相互独立，则性质1-3可总结为：D( ai X i b) ai D( X i ).2第四章 随机变量的数字特征 6

概率论与数理统计

例4. 填空：np(1-p) 1) X~B(n, p), 则 D(X) = _______ .

( 提示: X = X1+X2…+Xn, 其中 Xi ~B(1, p) 且 相互独立) σ2 2) X~N(μ, σ2), 则 D(X) = ______.( 提示: (X-μ)/σ ~N(0, 1) ) 3) 设 X

X E( X ) D( X )

0 1 , 则 E( X * ) = ___, D( X * ) = ___.标准化随机变量

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

常见分布的数字特征 —— 要记！名称 记号 E(X) p D(X) p(1-p)

名称

记号

E(X)

D(X)

0-1 B(1, p) 分布 二项 分布 B( n, p)

2 均匀 a b (b-a) U(a,b) 分布 2 12

np

np(1-p)

指数 E ( ) 分布 正态 2 N ( , ) 分布

2

泊松 分布

( )

2

注意：仅凭随机变量的期望、方差不能确定分布！第四章 随机变量的数字特征 8

概率论与数理统计

二、方差的性质(续)4. D(X) = 0 P{ X = E(X) } = 1 .----- X以概率1取常数 E(X)

“D(X) = 0

X = E(X) ” ?—— 不正确！

例. 某人的表停了，他打开收音机听电台报时. 已知电台整点报时，他等待报时的时间(单位:分钟) T ~ U[0, 60]. 令 1, X 0, T 10, T 10.

试证：D(X) = 0 但 X≠E(X) .第四章 随机变量的数字特征 9

概率论与数理统计

三、切比雪夫不等式定理 E ( X ) , D ( X ) , 则对 0 , 有 P{| X | } 2 . 2

2

证:y

P {| X | }

| x |

f ( x )d x

f(x) x

( x )

2

| x |

2 ( x )

2

f ( x )dx

2

f ( x )dx

D( X )

2

2 . 2

注: 切比雪夫不等式给出在分布未知情况下事件概率的估计.例如, 取 3 , 有：P {| X | 3 } 0.8889. 而若 X ~ N ( , 2 ) , 则: P {| X | 3 } 0.9974.第四章 随机变量的数字特征 10

概率论与数理统计

例5. 设某批种子的良种率为1/6,任选600粒，试用切比雪夫不等式估计 这些种子中良种所占比例与 1/6 之差的绝对值不 超过 0.02 的概率.

解: 记 X = 600 粒种子中良种的数量，则 X ~ B(600, 1/6).E ( X ) 6 0 0 1 1 0 0 , D ( X ) 6 0 0 1 (1 1 ) 5 0 0 . 6 6 6 6 所考察概率为： { X 1 0 .0 2 } P 600 6

= P{

X 100 0 .0 2 } 600

= P { X 100 12}

(切比雪夫不等式) 1

D(X ) 122

0.4213.11

第四章 随机变量的数字特征

概率论与数理统计

小结：

§4.2 方差D( X ) E{[ X E ( X )] },2

* 方差的定义及计算： * 常见分布的方差 * 方差的性质：

D( X ) E ( X ) [ E ( X )] .2 2

* 若 X, Y 相互独立，则 D( ai X i b) ai 2 D( X i ) * D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ;

* D(X) = 0

P{ X = E(X) } = 1 . 0 , P{ X E ( X ) }

* 切比雪夫不等式：

D( X )

2

.

注意：仅凭期望与方差不能确定随机变量的分布！第四章 随机变量的数字特征 12

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