一阶常微分方程模型—人口模型与预测

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

数学建模

一阶常微分方程模型—人口模型与预测

一．摘要：

二．模型的背景问题描述

三．模型假设

四.分析与建立模型

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t 0），

N0 101654万人，Nm 200000万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）

假设：人口净增长率r是一常数

符号：x(t) t时刻时的人口，可微函数x0 t 0时的人口 则r

x(t t) x(t)

x(t) t

dx

于是x（t）满足如下微分方程： dt rx

x(0) x0解为：x(t) x0ert 模型二：Logistic模型

人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)

dx

从而有： dt r(x)x

x(0) x0对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(x)=r-ax 此时得到微分方程：

dxdt (r ax)x或dxdt r(1 x

x)x m

可改写成：

dxdt rx(xm x)x m

分离变量： 1 1

x dx rdt

xm x 两边积分并整理得： x

xm

1 Ce

rt

令x(0)=xxm x00，求得： C

x xm

x 1 00

满足初始条件x(0)=xxm

0的解为： x(t)

1 (x

m 1)e rt

x0

数学建模

易见： limx(t) xm

t

五．模型的求解

1、运行结果

p = 0.0131 11.5342

y 0.0131t 11.5342

lnx0 11.5342 x0 102150.2451 x(t) 102150.24514e0.0131t

预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：

由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。

2、运行结果

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

如图所示：

圈： 人口的实际统计数据

红线：人口的指数增长曲线

x(t)=x0ert(x0=101654（1982人口），r=0.01116)

蓝绿线：人口的Logistic增长曲线 N(t)=Nm/（1+（Nm/N0-1）e-r*(t-t0)）

(Nm=200000(万),N0==101654(万)(1982人口))

由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由Logistic模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：

数学建模

当人口数的初始值N0>Nm时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值N0<Nm时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当t-->∞，它们皆趋于极限值Nm。

六. 模型的检验

1、matlab源程序

%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合： t=0:16; %输入数据

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; y=log(s); p=polyfit(t,y,1)

2、matlab源程序 t=0:16;

s=101654*(1+0.0131).^t; plot(t,s,'r') hold on t=0:16;

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; plot(t,s,'o') hold on t=0:16;

s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t)); plot(t,s,'c')

七．模型的应用与推广

用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。

Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。

参考文献

[1 ] 张亮忠. 数字测图技术 [M]. 南京:建筑出版社, 1991.

附录

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r5k4.html