2010数模讲座--微分方程模型

微分方程模型（动态模型） 微分方程模型（动态模型）在研究某些实际问题时， 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系， 之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些 关系。利用这些关系， 关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模 在自然界以及工程技术领域中， 型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大 量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等 量存在的。 领域中去，其影响是广泛的。 领域中去，其影响是广泛的。 ? 随时间(空间)变化的数量关系 随时间(空间) ? 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分)的方程 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分) ? 例: 人口模型 、种群竞争模型1
动态模型的作用： 动态模型的作用：? 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段
微分方程建模的方法： 微分方程建模的方法：? 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据函数及其变化率 变化率之间的关系确定函数 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 内在规律或用类比法建立微分方程 ? 按照内在规律或用类比法建立微分方程 按照内在规律或用类比法2
一般的( 一般的(常)微分方程或微分方程组可以写成： 微分方程或微分方程组可以写成：dx = f (t , x) dt
x∈Rn
定义1 定义1
称微分方程或微分方程组dx = f ( x) dt
为自治系统或动力系统。 自治系统或动力系统。
若方程或方程组f(x)=0有解 0，称点 0为微分方程或 有解x 称点x 若方程或方程组 有解 微分方程组的平衡点 奇点。 平衡点或 微分方程组的平衡点或奇点。
初值问题： 初值问题：
? dx ? = f ( x) ? dt ? x (t0 ) = x0 ?
3
定义2 定义2
dx 相空间是指以 自治系统 = f ( x ) 的相空间是指以 dtn
（x1,…,xn）为坐标的空间R 。 特别， =2时 称相空间为相平面 相平面。 特别，当n=2时，称相空间为相平面。 的点集{(x 空间 Rn 的点集 1,…,xn) |xi = xi(t)满足自治系 满足自治系 称为系统的轨线 统，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空 称为系统的轨线， 间的分布图称为相图 间的分布图称为相图。4
初值问题： 初值问题：
? dx ? = f ( x) ? dt ? x (t0 ) = x0 ?
解有初等函数表达式 ? 定 量 定性 ·········5
数值解: 数值解: 计算机求解 稳定性
一、人 口 模 型1. 问题的提出 2. 假设和定义 3. 模型的建立 4. 分析和求解 5. 结论和讨论
6
1. 问题的提出人口问题是当今世界上最令人关注的问题之

一， 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发 展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活， 展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活， 有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数， 有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳 动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外， 动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产 力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长， 力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数 据显示： 据显示：
年 1625 1830 1930 人口（亿）5 10 20
1960 30
1974 40
1987 1999 50 60
7
我国是世界第一人口大国， 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二 个中国人， 个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过 世纪的一段时间内我国人口的增长速度过 如下表： 快，如下表： 年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（ 人口（亿）3.0
认识人口数量的变化规律，建立人口模型， 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较 准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个最基本的人口模型： 下面介绍两个最基本的人口模型： Malthus模型、Logistic模型 模型、 模型 模型8
2. 模型 (Malthus模型 模型1 模型) 模型18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年 世纪末，英国人 世纪末 在研究了百余年 的人口统计资料后认为， 的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程 净相对增长率（ 中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长 是常数。 率）是常数。
9
提示: 在t → t+?t时间内 N(t+?t)-N(t) 净增长率=出生率-死亡率= ?t 净增长率 净相对增长率= N(t) (N(t)表示t时刻的人口数) N(t+?)-N(t) = ?tN(t)10
2.1 模型假设:2) 1) 设时刻t的人口为N ( t ) 净相对增长率为r 把N ( t ) 当作连续的变量
3)
2.2 建立模型按照Malthus的理论,在t到t+?t时间内人口的增 长量为: N(t+?t)-N(t)=rN(t)?t 令?t → 0,则得到微分方程 dN = rN dt (1)11
若记初始时刻(t=0)的人口为N 0 , 则有 ? dN = rN ? ? dt ? N t =0 = N 0 ? (2)
2.3 模型求解解得 N(t)=N 0 e rt (3)
2.4 模型分析如果r>0 (3)式表明人口将以指数规律无限增 长,特别地,当t → ∞ 时,N(t) → + ∞,这似乎不太可能.12
解法如下: dN = rdt ? ln N = rt + c 由 N rt + c rt N = e ? N = Ce 又∵ Nt =0
( A)
= N00
即 : N 0 = Ce ? C = N 0 N = N0ert
13
r=0.2743/10年，xm=4.188 数据拟合：
r=0.2022/10年， xm=6.0450 14
指数增长模型的应用及局限性： 指数增长模型的应用及局限性：

? 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 ? 适用于 世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 ? 可用于短期人口增长预测 ? 不符合 世纪后多数地区人口增长规律 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 ? 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 人口增长率 不是常数(逐渐下降) 不是常数15
2.5 模型修改分析表明， 分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人 口的增长，自然资源， 口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增 长的限制作用越来越显著。人口较少时， 长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的 自然增长率基本上是常数， 自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定 数量以后， 数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减 因此，我们将对指数模型关于净相对增长率 少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率 是常数的基本假设进行修改。 是常数的基本假设进行修改。
16
3. 模型2(Logistic模型)荷兰生物学家Verhulst引入常数N m 表示自然资 源和环境条件所能容许的最大人口,并假定净相对 ? N(t)? 增长率等于r ?1? ,即净相对增长率随着N (t )增 Nm ? ? 长而减少.当N(t)→ N m时, 净相对增长率趋于零.
3.1 模型假设与模型1相同,增加的条件为N 表示自然资源 m 和环境条件所能容许的最大人口.
17
? N(t) ? 并假定净相对增长率等于r ? 1?, Nm ? ? (即净相对增长率随着 N (t )增加而减少).
3.2 模型的建立这样,Malthus模型中的方程(1)变为 ? dN N ? = r ?1 ? (4) ?N dt Nm ? ? 仍给出与Malthus模型相同的初始条件 Nt=0
= N0
(5)18
这是一个非齐线性常微分方程 dN rN 2 ? rN = ? dt Nm 容易求得它对应的齐线性常微分方程 dN ? rN = 0的通解为 dt N(t)=ert 根据常数变易法易求得其解.19
3.3 模型的求解(4)在初始条件为(5)下的解为 N(t)= Nm ? Nm ? ? rt 1+ ? ? 1? e ? N0 ? (6)
3.4 模型分析容易看出, 当t → +∞时,N(t)→ N m20
这个模型称为阻滞增长模型( 模型) 这个模型称为阻滞增长模型(Logistic模型)： 阻滞增长模型 模型
dx = rx dtdx/dt
dx x = r ( x) x = rx(1 ? ) dt xmx xm xm/2Logistic曲线 曲线
0
xm/2
xm x
0
t
x (t ) =
xm xm 1+ ( ? 1) e ? rt x0
x(t)~S形曲线 形曲线, 形曲线 x增加先快后慢 增加先快后慢21
阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报， 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm ? 利用统计数据用最小二乘法作拟合 利用统计数据

用最小二乘法作拟合 最小二乘法 例：美国人口数据（单位~百万） 百万） 美国人口数据（单位 百万1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
r=0.2557, xm=392.122
x (t ) =
xm xm 1+ ( ? 1) e ? rt x0
r=0.2557, xm=392.1
23
阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 年美国人口， 用模型计算 年美国人口
x(2000) = x(1990) + ?x = x(1990) + rx(1990)[1? x(1990) / xm ]
x(2000) = 274.5
实际为281.4 (百万 百万) 实际为 百万
模型应用——预报美国 预报美国2010年的人口 模型应用 预报美国 年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 年人口数据后重新估计模型参数 加入 r=0.2490, xm=434.0
?
x(2010)=306.0
3.06188亿（2009年，世界国家和地区第 名，次于中国、印度） 亿 年 世界国家和地区第3名 次于中国、印度） 人口密度31人 平方公里 世界国家和地区第177名）。 平方公里（ 人口密度 人/平方公里（世界国家和地区第 名
24
习题: 1.说明Longistic模型中的常数r即为指 数模型中的人口净相对增长率. 2.如果人口增长速度与Nm -N(t)成正比, 则结果如何?
25
二、传染病模型问题： 问题： ? 描述传染病的传播过程? 分析受感染人数的变化规律 ? 预报传染病高潮到来的时刻 ? 预防传染病蔓延的手段 ? 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型26
模型1 模型1假设： 假设： 建模： 建模：
已感染人数 (infective) i(t) ? 每个病人每天有效接触 (足以使人致病 人数为λ 足以使人致病)人数为 足以使人致病
i (t + ?t ) ? i (t ) = λi (t )?tdi = λi dt i ( 0 ) = i0
i ( t ) = i0 e
λt
t →∞ ?i →∞ ?必须区分已感染者(病 必须区分已感染者 病 和未感染者(健康人 人)和未感染者 健康人 和未感染者 健康人)27
若有效接触的是病人， 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
和未感染者( 和未感染者 模型2 区分已感染者 模型2 区分已感染者(infective)和未感染者 susceptible) 假设： 假设： 1）总人数N不变，病人和健康 ）总人数 不变 不变， 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) 2）每个病人每天有效接触人数 ） 为λ, 且使接触的健康人致病 建模： 建模： SI 模型
λ~日接触率
N [i (t + ?t ) ? i (t )] = [λs (t )]Ni (t )?tdi = λ si dt
s (t ) + i (t ) = 1
? di = λ i (1 ? i ) ? ? dt ? i ( 0 ) = i0 ?28
模型2 模型i 1 1/2 i0 0 tm
? di = λ i (1 ? i ) ? ? dt ? i ( 0 ) = i0 ? i (t ) =
Logistic 模型
1 ?1 ? ? λt 1 + ? ? 1?e ?i ? ? 0 ??1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时

刻
?1 ? t m = λ ln ? ? 1 ? ?i ? ? 0 ?
t → ∞ ? i →1 ?病人可以治愈！ 病人可以治愈！29
λ (日接触率 ↓ → tm↑ 日接触率)↓ 日接触率卫生水平
模型3 模型
传染病无免疫性 传染病无免疫性——病人治愈成 无免疫性 病人治愈成 SIS 模型 为健康人， 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设： ） 增加假设： 3）病人每天治愈的比例为μ
μ ~日治愈率 日
建模： 建模：N [i (t + ? t ) ? i (t )] = λ Ns (t )i (t ) ? t ? μ Ni (t ) ? t
? di = λ i (1 ? i ) ? μ i ? ? dt ? i ( 0 ) = i0 ?
λ ~ 日接触率1/μ ~感染期 感染期
σ =λ/μ
σ ~ 一个感染期内每个病人的 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 有效接触人数，称为接触数。 接触数30
模型3 模型di/dt
di = λ i (1 ? i ) ? μ i dt iσ >1i01-1/σ σ
di 1 = ?λi[i ? (1 ? )] σ =λ/ μ dt σσ >1i
σ ≤1di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i00
1 ? , σ > 1 ?1 ? i(∞ ) = ? σ ?0, σ ≤ 1 ?
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ? i (t ) ↓
感染期内有效接触感染的 感染期内有效接触感染的 i0小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型 如何看作模型 模型)如何看作模型 模型)的特例 模型 模型 如何看作模型3(SIS模型 的特例 31 模型
? i(t )按S形曲线增长
模型4 模型
有免疫性——病人治愈后即移 传染病有免疫性 病人治愈后即移 传染病有免疫性 出感染系统， 移出者(Removed) 出感染系统，称移出者 SIR模型 模型
不变， 假设： ）总人数N不变 病人、 假设： 1）总人数 不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 2）病人的日接触率λ , 日治愈率μ, ） 接触数 σ = λ / μ 建模： 建模：
s (t ) + i (t ) + r (t ) = 1需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程
对移出者
dr N = μNi dt
32
模型4 模型
SIR模型 模型
N [i (t + ?t ) ? i (t )] = λNs (t )i (t ) ?t ? μ Ni (t ) ?t
N [ r ( t + ? t ) ? r ( t )] = μNi ( t ) ? t? di ? dt = λ si ? μ i ? 无法求出 i ( t ), s ( t ) ? ds = ? λ si ? 的解析解 ? dt ? i ( 0 ) = i0 , s ( 0 ) = s 0 在相平面 s ~ i 上 ? ? 研究解的性质 i0 + s0 ≈ 1 (通常r (0) = r0很小） 33
模型 模型4 模型 SIR模型
? di ? dt = λsi ? μi ? ? ds ? = ? λsi ? dt ?i (0) = i0 , s (0) = s 0 ? ?
消去dt 消去 σ =λ/μ
1 ? di ? ds = σ s ? 1 ? ? i s= s = i0 ?0
相轨线
相轨线 i ( s ) 的定义域 在D内作相轨线 i ( s ) 内作相轨线 的图形， 的图形，进行分析
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) ? s + ln σ s0i1
1
D = {( s , i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0 134
s
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析i1 D
SIR模型 模型s i(s) = (s0 + i0 ) ? s + ln σ s0P4

? di 1 ? di ? dt = λsi ? μi ? ds = σ s ? 1 ? ? ? ds ? = ? λsi ? i s= s = i0 dt ? ? ?i (0) = i0 , s (0) = s 0 ? ?0
1
s(t)单调减→相轨线的方向 单调减→ 单调减1
P2 imP1? P3
s = 1 / σ , i = im t → ∞ , i → 0s∞ s ∞ 满足 s 0 + i0 ? s ∞ + ln =0 σ s0
0
s∞
S0
1 / σ s0
1s
P1: s0>1/σ → i(t)先升后降至 先升后降至0 先升后降至 P2: s0<1/σ → i(t)单调降至 单调降至0 单调降至
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/σ ~ 阈值35
模型4 模型
预防传染病蔓延的手段
SIR模型 模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/σ 传染病不蔓延的条件 ? 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/μ)
λ ↓, μ ↑
λ (日接触率 ↓ ? 卫生水平↑ 日接触率)↓ 卫生水平↑ 日接触率 μ(日治愈率 ↑ ? 医疗水平↑ 医疗水平↑ 日治愈率)↑? 降低 s0s0 + i0 + r0 = 1
提高 r0
群体免疫
σ 的估计1
s∞ s 0 + i0 ? s ∞ + ln =0 σ s0
忽略 i0
ln s0 ? ln s∞ σ= s0 ? s∞36
模型4 模型
被传染人数的估计
SIR模型 模型
记被传染人数比例 x = s0 ? s∞1 x s∞ x + ln(1 ? ) ? 0 =0 s 0 + i0 ? s ∞ + ln σ s0 σ s0 i0 ?0, s0 ?1
1
x<x x (1 ? ? 2 )?0 s0σ 2 s0σ
1
i
x ≈ 2 s 0σ ( s 0 ?s0 - 1/σ = δ
1
σ
)0 s ∞ 1/ σ
P1
s0
s
δ 小 , s0 σ ? 1
x ? 2δ
提高阈值1/ 提高阈值 σ →降低 被传染人数比例 x37
三、捕食系统的Volterra方程 捕食系统的 方程意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约 曾致力于鱼类种群相互制约 意大利生物学家 关系的研究， 关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世 界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百 分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼， 分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨 鳐鱼等我们称之为捕食者 或食肉鱼） 捕食者（ 鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很 理想的鱼类占总渔获量的百分比。 年期间， 理想的鱼类占总渔获量的百分比。在 1914~1923年期间， 年期间 意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加. 意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加
38
他知道， 他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各 种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降， 种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降 为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者 为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者 有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解， 食饵有利呢 有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一 现象，就去求教当时著名的意大利数学

家V.Volterra，希望他 现象，就去求教当时著名的意大利数学家 ， 能建立一个数学模型研究这一问题。 能建立一个数学模型研究这一问题。年代百分 比
1914 11.9 1919 27.3
1915 21.4 1920 16.0
1916 22.1 1921 15.9
1917 21.2 1922 14.8
1918 36.4 1923 10.739
年代 百分 比
1、模型建立Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记 将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记 将鱼划分为两类 ）， ），数量记为 为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为 2(t)，并建 ，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x ， 立双房室系统模型。 立双房室系统模型。
对于食饵 Prey） 食饵（ 对于食饵（Prey）系统 ：大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生 大海中有食用鱼生存的足够资源， 的指数律增长（Malthus模型），即设 模型），即设： 存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），即设：
? dx1 ? ? ? = r1 x1 ? dt ?λ40
由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少， 由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速 率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律）， ），即 率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：
? dx1 ? ? ? = λ1 x1x2 ? dt ?出
λ1反映了捕食者掠取食饵的能力
41
对于捕食者（Predator） 对于捕食者（Predator）系统 ： 捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：
? dx2 ? ? ? = ? r2 x2 ? dt ?出但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也 但食饵提供了食物，使生命得以延续。 要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到： 要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：
? dx1 ? ? ? = λ2 x1 x2 ? dt ?入42
综合以上分析，建立P 模型（Volterra方程） 综合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程） 方程 的方程组： 的方程组：
? ? x1 = x1 ( r1 ? λ1 x2 ) ? ? ? x2 = x2 ( ? r2 + λ2 x1 )
（１）
43
2、模型分析
方程组（１）是非线性的，不易直接求解。 方程组（ 是非线性的，不易直接求解。 容易看出，该方程组共有两个平衡点， 容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：? r2 r1 ? P0 ( 0, 0 ) 和 P ? , ? 1 ? λ2 λ1 ?
Po(0,0)是平凡平衡点且明 显是不稳定，没必要研究
? x1 ( t ) = 0 ? x1 (t ) = x1 (0)er1t ? 和 ? x 2 ( t ) = x 2 (0) e ? r t ? ? x2 (t ) = 0 (0)、 (0)均不为零时 均不为零时， 当x1(0)、x2(0)均不为零时，?t > 0 ，应有 x1(t)>0且x2(t)>0，相应的相轨线应保持在第一象 )>0且 )>0，2
方程组还有两组平凡解： 方程组还有两组平凡解：
限中。 限中。
44
求相轨线 dx1 x1 (r1 ? λ1 x2

) = 将两方程相除消去时间t， 将两方程相除消去时间 ，得： dx2 x2 (?r2 + λ2 x1 ) 分离变量并两边积分得轨线方程： 分离变量并两边积分得轨线方程：r ( x1r2 e ? λ2 x1 )( x21 e ? λ1x2 ) = Sr ? ( x1 ) = ( x1r e ? λ x ) ψ ( x2 ) = ( x2 e? λ x ) 令2 2 11 1 2
用微积分知识容易证明： 用微积分知识容易证明： ? r2 ? ? '? ? = 0 ? (0) = ? (+∞) = 0 ? λ2 ? r2 r2 x1 > ? '( x1 ) < 0 ? '( x1 ) > 0 x1 < λ2 λ2x1 =
两者应具有类似的性质
λ2
r2
有： ? maxx2 =
同理： 同理：对 ψ ( x2 )
λ1
r1
有： max ψ45
易知仅当 S ≤ ? max ?ψ max时才有解 记： = x10
轨线退化为平衡点。 当 S = ? max ?ψ max时，轨线退化为平衡点。 当 S < ? max ?ψ max时，轨线为一封闭曲线，即周期解。 轨线为一封闭曲线，即周期解。 证明具有周期解。 证明具有周期解。
λ2
r2
, x2 =0
λ1
r1
0 0 的性态。 讨论平衡点 ( x1 , x 2 ) 的性态。
′ ′ x′ ′ 只需证明： 只需证明：存在两点 x1及 x1′ ， 1 < x1′ ′ ′时 当 x1 x1时，方 程无解。 程无解。46
? ( x1 )
ψ ( x1 )ψm
?m
ax1
βx2
0
x10
λ2
r2
x11
0
x20
x2
λ1
r1
x21
x
0 2
P0
x10
′ x1
x10
′′ x147
0 0 ′ ? ( x1 ) 的性质， x1、x1 ， 1 < x1 而 x1′ > x1 ，使得： ′ ′′ x ′ ? 的性质， 使得： 由
′ ′ ? ( x1 ) = ? ( x1′) = μ 。同样根据的性质知，当 x1 μ 。此时：ψ ( x2 ) =
′′ ? 的性质， ′ 成立。 由ψ ( x 2 ) 的性质， x2、x2 ，使 ? ( x1 )ψ ( x2 ) = S 成立。 μψ max S ψ = = ψ max ′ ′ ? 当x1= x1 或 x1′时， ( x1 ) = μ ， ( x 2 ) = ? ( x1 ) ? ( x1 ) 0 x 2 = x 2 时才能成立 仅当 ′′ x1或x1> x1时，由于? ( x1 ) < μ ， (x2 ) = S = μψmax >ψmax ψ 而当x 而当 1< ′ ?(x1 ) ?(x1 ) 无解。 故 ? ( x1 )ψ ( x2 ) = S 无解。48
μψ max S = < ψ max ? ( x1 ) ? ( x1 )
r ( x1r2 e ? λ2 x1 )( x21 e ? λ1x2 ) = S ( x1 , x2 )
s , s1
s49
确定闭曲线的走向 用直线l1 : x 1 = l2 : x 2 =
λ2 λ1r1
r2
将第一象限划分成四个子区域
在每一子区域，? 在每一子区域，x1 与 x2 不变号，据此确定轨线的走 ? 不变号， 向 将Volterra方程中的第二个改写成： Volterra方程中的第二个改写成： 方程中的第二个改写成
? x2 = ?r2 + λ2 x1 x250
的区间上积分， 将其在一个周期长度为T的区间上积分，得t0 +T x1 (t0 + T ) ln = ?r2T + λ2 ∫ x1 (t )dt t0 x1 (t0 )
等式左端为零， 等式左端为零，故可得：1 t0 +T = ∫ x1 (t )dt λ2 T t0 r2 1 t0 +T 同理： = ∫t0 x2 (t )dt λ1 T r1
平衡点P 平衡

点 P 的两个坐标恰为 食用鱼与食肉鱼在一个 周期中的平均值。 周期中的平均值。
x2? x1 < 0 ? x2 < 0 ? x1 > 0 ? x2 < 0 ? x1 < 0 ? x2 > 0
x ? x1 > 0 1 ? x2 > 051
解释D’Ancona发现的现象 发现的现象 解释 引入捕捞能力系数ε，（ ），ε表示单位时间 引入捕捞能力系数 ，（0<ε<1）， 表示单位时间 ，（ ）， 内捕捞起来的鱼占总量的百分比。 方程应为： 内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为： 方程应为
? ? x1 = r1 x1 ? λ1 x1 x2 ? ε x1 = ( r1 ? ε ) x1 ? λ1 x1 x2 ? ? ? x2 = ? r2 x2 + λ2 x1 x2 ? ε x2 = ? ( r2 + ε ) x2 ? λ2 x1 x2平衡点P的位置移动到了： ′ ? r2 + ε r1 ? ε ? 平衡点 的位置移动到了： 的位置移动到了 P? , ? λ2 λ1 ? ? 食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，真的是这样？！ 食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，真的是这样？！ 由于捕捞能力系数ε的引入，食用鱼的平均量有了增加， 由于捕捞能力系数 的引入，食用鱼的平均量有了增加， 的引入 而食肉鱼的平均量却有所下降， 越大 越大， 而食肉鱼的平均量却有所下降，ε越大，平衡点的移动 也越大。 也越大。52
P-P模型导出的结果虽非绝对真理，但在一定 模型导出的结果虽非绝对真理， 程度上是符合客观实际的，有着广泛的应用前景。 程度上是符合客观实际的，有着广泛的应用前景。 例如，当农作物发生病虫害时， 例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使 用杀虫剂， 用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀 死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种 死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种 ，（ 群捕食系统），这样一来， ），这样一来 群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适 得其反，害虫更加猖獗了。 得其反，害虫更加猖獗了。
53
四、用Matlab软件求常微分方程的数值解 软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’, ts , x0, options） ， （ ）自变 量值 函数 值 ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s 由待解 方程写 成的m文件名 函数的 ts=[t0，tf]， 初值 t0、tf为自变 量的初值和 终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.54
注意: 注意:1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x 均为n维向量，m-函数文件中的待解方程组 应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微 分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
55
dx ( t ) = f 1 ( t , x

( t ), y ( t )) 注意1： dt dy ( t ) = f 2 ( t , x ( t ), y ( t )) dtxd(1)=f1(t, x(t), y(t)); 1、建立 文件函数 、建立M文件函数 xd(2)=f2(t, x(t), y(t)); function xdot = fun(t,x,y) xdot=xd’; % 列向量 xdot = [f1(t, x(t), y(t))； f2(t, x(t), y(t))]； ； ； 2、数值计算（执行以下命令） 、数值计算（执行以下命令）
[t,x,y]=ode23(‘fun',[t [t,x,y]=ode23( fun',[t0,tf],[x0,y0]) fun注意：执行命令不能写在M函数文件中。 注意：执行命令不能写在M函数文件中。56
注意2 注意2：例如： 例如： y ' ' =
f ( y' , y, t) 令 y ' = x, y ' ' = x' ? x' = f ( x, y, t ) ∴? ? y' = xy(t)是原方程的解。 x(t)只是中间变量。
M-文件函数形式 function xdot = fun1(t,x,y) （fun1.m) xdot = [f(t, x(t), y(t))；x(t)]； ； ；
[t,x,y]= ode23(‘fun1',[t0,tf],[x0,y0]) ode23( fun1',[t fun1如果方程形式为： 如果方程形式为：z’’’ = f(t, z, z’’ )?57
例1.
?d 2x dx ? 2 ? 1000(1 ? x 2 ) ? x = 0 ? dt dt ? x (0) = 2; x ' (0) = 0 ?则微分方程变为一阶微分方程组：
解: 令 y1=x，y2=y1’ ，
y1 ' = y2 ? ? y2 ' = 1000(1 ? y12 ) y2 ? y1 ? ? y (0) = 2, y (0) = 0 1 2 ?
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1
1、建立m-文件 、建立 文件 文件vdp1000.m如下： 如下： 如下 function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);-1.5 -2 -2.5 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2、取t0=0，tf=3000，输入命令： 、 ， ，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')
3、结果如图 、58
例2 解微分方程组
? y1 ' = y2 y3 ?y '= ?y y ? 2 1 3 ? ? y3 ' = ?0.51 y1 y2 ? y1 (0) = 0, y2 (0) = 1, y3 (0) = 1 ?1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12
解 1、建立m-文件 、建立 文件rigid.m如下： 如下： 文件 如下function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
2、取t0=0，tf=12，输入命令： 、 ， ，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 3、结果如图 、 图中， 的图形为实线， 的图形为“ ” 的图形为“ 线 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.59
捕食系统的Volterra方程 例3.捕食系统的 捕食系统的 方程x1 (t ) ——食饵在 t 时刻的数量； x 2 (t ) ——捕食者在 t 时刻的数量； r1 ——食饵独立生存时的增长率； r2 ——捕食者独自存在时的死亡率；
λ1 ——捕食者掠取食饵的能力； λ 2 ——食饵对捕食者的供养能力.e—捕获能力系数模型（一） 不考虑人工捕获
dx1 = x1 (r1 ? λ1 x 2 ) dt dx 2 = x 2 (?r2 + λ 2 x1 ) dt该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约 关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用， 关系，没有考虑食饵和捕

食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单 提出的最简单 的模型. 的模型60
针对一组具体的数据用 Matlab 软件进行计算. 设食饵和捕食者的初始数量分别为 x1 (0) = x10 ， x 2 (0) = x 20 对于数据 r1 = 1, λ1 = 0.1, r2 = 0.5, λ 2 = 0.02, x10 = 25, x 20 = 2 ，
t 的终值经试验后确定为 15，即模型为： ? x1' = x1 (1 ? 0.1x 2 ) ? ' ? x 2 = x 2 (?0.5 + 0.02 x1 ) ? x (0) = 25, x (0) = 2 2 ? 1
m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2)); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));
主程序shark.m如下： [t,x]=ode45('shier',[0 15],[25 2]); plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*') plot(x(:,1),x(:,2))61
求解结果：数值解如下图： x1 (t ) 为实线， x 2 (t ) 为“*”线.30
相图 ( x1 , x 2 ) 为：
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15
25
20
15
10
5
0 0
20
40
60
80
100
左图反映了x 左图反映了 1（t）与x2（t）的关系。 ） ）的关系。 可以猜测： x1（t）与x2（t）都是周期函数。 可以猜测： ） ）都是周期函数。62
模型（二） 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率 由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e? dx1 ? dt = x1[(r1 ? e) ? λ1 x2 ] ? dx ? 2 = x2 [?(r2 + e) + λ2 x1 ] ? dt仍取r1 = 1, λ1 = 0.1, r2 = 0.5, λ2 = 0.02, x1 0） 25, x2 0） 2 （ = （ =设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:
? dx1 ? dt = x1 (0.7 ? 0.1x2 ) ? dx ? 2 = x2 (?0.8 + 0.02 x1 ) ? ? dt ? x1 (0) = 25, x2 (0) = 2 ? ?
? dx1 ? dt = x1 (0.9 ? 0.1x2 ) ? dx ? 2 = x2 (?0.6 + 0.02 x1 ) ? ? dt ? x1 (0) = 25, x2 (0) = 2 ? ?63
模型求解: 1、分别用m-文件shier.m和shier.m定义上述两个方程 2、建立主程序shark.m, 求解两个方程，并画出两种情况下 鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 x2(t)/[x1(t)+x2(t)]0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15
实线为战前的鲨 鱼比例，“*”线为 战争中的鲨鱼比例
结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！ 结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！64
思考题： 思考题：讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系. 与按人口平均资金积累y成正比 （1）若国民平均收入 与按人口平均资金积累 成正比，说 ）若国民平均收入x与按人口平均资金积累 成正比， 明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率 大于人口的相对增长率r 明仅当总资金积累的相对增长率 大于人口的相对增长率 国民平均收入才是增长的. 时，国民平均收入才是增长的 的示意图， （2）作出 ）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么 和 的示意图 后果. 后果 要求： 要求： 上网收集有关数据；

1、上网收集有关数据； 建立数学模型； 2、建立数学模型； 3、模型求解(理论分析、算法设计、结果分析等)； 模型求解(理论分析、算法设计、结果分析等) 结论和建议。 4、结论和建议。65


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