广东高考数学必考知识点训练题(立体几何)
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理科数学高考必考知识点训练题(立体几何)
一、选择题
1 .(2013年高考新课标1(理))如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放
在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
( ) A .35003cm π B .38663cm π C .313723cm π D .320483
cm π 【答案】A
2 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的直线,,αβ
是两个不同的平面,下列命题中正确的是
( )[来
源:学优高考网]
A .若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
B .若//αβ,m α?,n β?,则//m n
C .若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥
D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
【答案】D 3 .(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为
( ) A .1:2
B .1:4
C .1:8
D .1:16
【答案】C 4 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱
1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于
( )
A .23
B
C .3
D .13
【答案】A [来源:6a7695d081c758f5f61f67db]
5 .(2013年高考新课标1(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
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( )
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+ 【答案】A 6 .(2013年高考湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,
其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
( ) A .1243V V V V <<<
B .1324V V V V <<<
C .2134V V V V <<<
D .2314V V V V <<<
【答案】C
7 .(2013年高考湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正
视图的面积不可能...
等于 ( )
A .1
B C .2 D .2
【答案】C 8 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如图所示,则
该四棱台的体积是
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( )
A .4
B .143
C .163
D .6
【答案】B 9 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))已知n m ,为异面直线,⊥
m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则
( ) A .βα//,且α//l
B .βα⊥,且β⊥l
C .α与β相交,且交线垂直于l
D .α与β相交,且交线平行于l 【答案】D
10.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与
底面垂直,体积为9
4,
的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所
成角的大小为 ( )
A .512π
B .3π
C .4π
D .6π
【答案】B 11.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))某几何体的三视图如题()5图所示,
则该几何体的体积为
( ) A .5603 B .5803 C .200 D .240
正视图 俯视图 侧视图
第5题图
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【答案】C
12.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知三棱柱111ABC A B C -的6个
顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==,,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 ( )
A .2
B .
C .132
D .
【答案】C
13.(2013年高考江西卷(理))如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方
体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=
( ) A .8
B .9
C .10
D .11
【答案】A 14.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))一个四面体的顶点在空
间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为
( ) A .
B .
C .
D .
【答案】A 15.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))在下列命题中,不是公理..的是
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( )
A .平行于同一个平面的两个平面相互平行
B .过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C .如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D .如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
16.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))在空间中,过点A 作平面π的垂
线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则
( ) A .平面α与平面β垂直
B .平面α与平面β所成的(锐)二面角为045
C .平面α与平面β平行
D .平面α与平面β所成的(锐)二面角为060
【答案】A
17.(2013年高考四川卷(理))一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是
【答案】D
二、填空题
18.(2013年高考上海卷(理))在xOy 平面上,将两个半圆弧22
(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y
轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,
试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________
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【答案】2216ππ+.
19.(2013年高考陕西卷(理))某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3
π_____.
【答案】3
π 20.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =
,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60 ,则球O 的表面积等于______.
【答案】16π
21.(2013年高考北京卷(理))如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1
B 1
C 1
D 1中,
E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E
上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.
【答案】 22.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))如图,在三棱
柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三
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棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.
【答案】1:24
23.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .
【答案】24
24.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图,正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).[来源:高[考∴试﹤题∴库
GkStK]
①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34
CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314
CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S
的面积为2. 【答案】①②③⑤
25.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))某几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积是____________.
A B
C A D
E F
B
C
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【答案】1616π-
26.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知某一多面体内接于一个简单
组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
_______________
【答案】12π
27.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与
1B C 所成角的大小为_______
【答案】
3
π 三、解答题
28.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面;
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若,1,1,求证:二面角的余弦值 D 1
C 1 B 1 A 1
D
C A
B
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【答案】
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[来源:学优高考网]
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29.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如图,四棱锥P ABCD
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=
,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
【答案】
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1.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.
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(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.
【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=?? 设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? .
所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) r
PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知,则的中点为线段设底面半径为. ?
-?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2
1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.
法二:
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1.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))如图,在四面体BCD A -中,⊥
AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.
【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ; A
B
D
P
Q M
(第20题图)
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方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2
PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11//
//42
QH AD MD ,所以////P O Q H P Q O H ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作
GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D
--的二面角;由已知得
到3BM ==,设BDC α∠=,所以
cos ,sin ,sin ,,CD CG CB CD CG BC BD CD BD
αααααα===?===, 在RT BCG ?中
,2sin BG BCG BG BC
ααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ?中
, 2133HG α=∴=,所以在RT CHG ?中
tan tan 603
CG CHG HG ∠====
tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;
2.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC
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与1AA 所成角的大小为
6
π,求该三棱柱的体积.
【答案】[解]因为1CC 1AA .
所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=
6π. 在Rt 1BC C ?中
,11tan 63
BC CC BC C =?∠=?=,
从而24
ABC S BC ?==
因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==.
3.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14
分.
如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.
求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点
∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB
又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC
(2)∵平面⊥SAB 平面SBC
平面SAB 平面SBC =BC
AF ?平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC
又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA A
B
C S
G
F E
B 1 A 1
C 1 A
C B
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4.(2013年高考上海卷(理))如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面
DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.
C 1
1
【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,
故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h
考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得11
1(12)
1323
V =
????= 而1AD C ?中,11AC D C AD ===,故132
AD C S ?= 所以,13123233V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23
. 5.(2013年高考湖北卷(理))如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面
ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP = .记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.
【答案】解:(I)
EF AC ,AC ABC ?平面,EF ABC ?平面
EF ABC ∴ 平面
又EF BEF ?平面 第19题图
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∴
EF l
∴ 平面
l PAC
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
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6.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))如图1,在等腰直角三角形ABC
中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点
,CD BE =,O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,
其中A O '=.
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ) 在图1中,
易得3,OC AC AD ===. C
O B D E A
C
D O B
E 'A 图1 图2
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连结,OD OE
,在OCD ?中,由余弦定理可得
OD ==由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ',
因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥,
所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角
.
结合图1可知,H 为AC 中点,
故
OH =,从而
A H '== 所以cos 5OH A HO A H '
∠==',所以二面角A CD '--的平面角的余弦值为. 向量法
:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,
3,0C -,()1,2,0D -
所以(CA '= ,(1,DA '=- 设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ?'?=??'
?=??
,即3020
y x y
?+=??-+=??,解得y x z =-
???=??,令1x =,得
(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '= 为平面CDB 的一个法向量,
所以cos ,n OA n OA n OA '?'==='
,即二面角A CD B '-- 7.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱
A 1A ⊥底面ABCD , A
B //D
C , AB ⊥A
D , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,
E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值. C
D
O B E 'A
H
【答案】
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