高考数学立体几何强化训练(理科)

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第 1 页 （共 10 页） 立体几何强化训练（理科）

一、选择题

1．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个

2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ）（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４

3．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ）

（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对

4．已知四点，无三点共线，则可以确定( )

A.1个平面

B.4个平面

C.1个或4个平面

D.无法确定

5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距

是1，那么这个球的半径是( )A.4 B.3 C.2 D.5

6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

61，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( ) A.43 B.23 C.2 D. 3

7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体

的表面积为（ ）

A ．45π

B ．87π

C ．π

D ．4

7π 8．某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。

A ．2006

B ．4008

C ．4012

D ．2008

9．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量、

，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c

⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）

A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

10．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）

A 、3π

π（，） B 、23ππ（，） C 、（0，2π） D 、23ππ（，）3

11．一正四棱锥的高为22，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（ ）

A ．26

B ．23

C ．43

D ．22

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P

A

B

C

D

D

A

B

C

第18题

12．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为

A ．

367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18

385

二、填空题

13．在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA ＝PB ＝3 cm ，转动点P 时，三棱锥的最大体积为 ．

14．P 为ABC ?所在平面外一点，PA 、PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与

BC 垂直，那么ABC ?的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形

15．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . 16．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，点M 在A 上，且AM=3

1AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 .

三、解答题

17. 已知ABCD

，从平面AC 外一点O 引向量

,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ==== ，

（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．

18. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -

是正方体，其中2,AB PA ==

（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小；

（Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．

B

x

M

E

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19. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．

（1）求证：//EF 平面PAD ；

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，

直线 EF 平面PCD ？

20. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；

（Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；

（Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.

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21. 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ，

（Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；

（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。

22. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠= ，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，

又知11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；

（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；

（III ）求二面角1A A B C --的大小。

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立体几何强化训练参考答案：选择题答案：

1．【答案】D 解析： 过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求

2．【答案】A 解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．

3．【答案】C 解析：∵C 1A 2+C 1B 2<CA 2+CB 2 ＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形．

4．【答案】C.解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

5．【答案】B 解析： 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2＝8π，

∴BD 2＝5，AC 2＝8.又AB ＝1，设OA ＝x.∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2.解之，得r ＝3

6．【答案】B 解析： 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、

C ，O 为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝3

π，又∵OA ＝OB ∴ΔAOB 是等边三角形 同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径.r ＝

33AB ＝33R R ＝33r ＝23 7．【答案】A ．解析：S=41π·12×3+81×4π·12=4

5π。 8．【答案】B ．解析：当有n 根刺时有a n 种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则a n+1=a n +3－1=a n +2或a n+1=a n +4－2=a n +2，∴{a n }n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a 4 = 4∴a n =2n －4，A 2006＝4008 。

9．【答案】C ．解析：由传递性知①②正确；由线面垂直性质知⑤正确；由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③；三坐标轴关系否定④。

10．【答案】A ．解析：法一：考察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶点P 运动，

相邻两侧面所成二面角为∠AHC.当PO →0时，面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π

当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC=3π. 故3

π<∠AHC <π，选A. 法二：不妨设AB=2，PC= x ，则x > OC =332. 等腰△PBC 中，S △PBC =21x ·CH =21·2·?-1x 2CH =2x 112- 等腰△AHC 中，sin 2x

1121CH 2AC

2AHC -==∠由x>332得2AHC sin 21∠<<1，∴322AHC 6π?π<∠<π＜∠AHC ＜π. 11．【答案】B ．解析：由已知得底面对角线的一半为22，所以底面边长的一半等于2，由勾股定得斜高为

222)22(+.12．【答案】A 解析（１）由正方体的八个顶点可以组成3856c =个三角形（２）正方体八个顶点

中四点共面有12个平面；（３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有2

44c =个；（４）从56个三角

形中任取两个三角形共面的概率243561218358c p c ==；（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对P A B C

H

O

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第 6 页 （共 10 页） 立事件的概率的公式，得183671;385385P =-

= 解答13.。36

2cm 3.解析:点P 到面ABC 距离最大时体积最大，此时面PAB ⊥面ABC ，

高PD=22cm ．V=362224433

1=???3

cm . 14．由题意可知ABC ?的外心在BC 边的高线上，故一定有AB=AC 选（1）（2）（4）。

15．37.解析：原四个顶点截去后剩下截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边长为1的正六边形，其表积为 374364434=??+?

. 16．9

1322-=x y 。解析：过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x 2 +1- [(x 13

-

)2+y 2] =1，化简得91322-=x y .

解答题17解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+ ，∵EG OG OE =- ，

()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH

=?-?=-==+=-+-=-+-=+ ∴,,,E F G H 共面； （2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=? ，又∵EG k AC =? ， ∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．

18解：(Ⅰ) 连结AC , 交BD 于点O , 连结PO , 则PO ⊥面ABCD , 又∵AC BD ⊥ , ∴PA BD ⊥, ∵11//BD B D ,

∴11PA B D ⊥ ．

（Ⅱ） ∵AO ⊥BD , AO ⊥PO , ∴AO ⊥面PBD , 过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM , 则AM ⊥PD , ∴∠A M O

就是二面角A-PD-O 的平面角,

又∵2,AB PA ==∴AO=2,PO=226=-

PO OD OM PD ?=== ,

∴tan AO AMO OM ∠=== ,即二面角的大小

为． (Ⅲ)用体积法求解：11B PAD A B PD V V --=BPD PAD x S AO S h ?=??3131解

得x h =

，即1B 到平面PAD

19证：（1）取CD 中点G ，连结EG 、FG

∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG//AD ，FG//PD ，∴平面EFG//平面PAD ，

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∴ EF//平面PAD ．

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成45?角时，直线EF ⊥平面PCD.

证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。 ∵CD ?平面ABCD ，且CD ⊥AD ，故CD ⊥PD ．又∵FG ∥PD ∴FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠EGF=45?，从而得∠ADP=45?， AD=AP.由Rt ?PAE ?Rt ?CBE ，得PE=CE.又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC.由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF ，即EF ⊥CD 故EF ⊥平面PCD ． 20解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF 。又∵AC=AD=C ，F 为CD 中点

∴AF ⊥CD ，∴AF ⊥面CDE ∴AF ⊥平面CDE 。

（Ⅱ）∵AB DE ACD AB ACD DE //??

??⊥⊥平面平面 取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形

AM//BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角。在△ACM 中，AC=2a

a a a DM AD AM 542222=+=+=

a a a DM CD CM 542222=+=+= 由余弦定理得：5

5522)5()5()2(cos 2

22=??-+=∠a a a a a CAM ∴异面直线AC 、AE 所成的角的余弦值为

55。 （Ⅲ）延长DA 。EB 交于点G ，连结CG 。

因为AB//DE ，AB=2

1DE ，所以A 为GD 中点。又因为F 为CD 中点，所以CG//AF 。 因为AF ⊥平面CDE ，所以CG ⊥平面CDE 。

故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。

21（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。

∵EO//PB ，EO=

21PB ，MA//PB ，MA=2

1PB ，∴EO//MA ，且EO=MA ∴四边形MAOE 是平行四边形， ∴ME//AC 。又∵AC ?平面PMD ，ME ?平面PMD ，∴AC//平面PMD 。 （Ⅱ）如图1，PB ⊥平面ABCD ，

CD ?平面ABCD ， ∴CD ⊥PB 。又∵CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面PBC 。

∵CD ?平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD 。

过B 作BF ⊥PC 于F ，则BF ⊥平面PDC ，连DF ，

则DF 为BD 在平面PCD 上的射影。

∴∠BDF 是直线BD 与平面PDC 所成的角。

不妨设AB=2，则在Rt △BFD 中，BD BF 21=

， ∴∠BDF=6π ∴直线BD 与平面PCD 所成的角是6

π （Ⅲ）解：如图3，分别延长PM ，BA ，设PM ∩BA=G ，连DG ，

则平面PMD ∩平面=ABCD=DG

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第 8 页 （共 10 页） 过A 作AN ⊥DG 于N ，连MN 。 ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴MN ⊥DG

∴∠MNA 是平面PMD 与平面ABCD 所成

的二面角的平面角（锐角）

在Rt △MAN 中，22tan ==∠NA MA MNA ，∴∠

MNA=arctan 2

2 ∴平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）大小

是arctan 2

2 22解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ，所以平面11AAC C ⊥平面ABC ，

又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ，

得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ 所以1AC ⊥平面1A BC ；

（II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AA C C 为菱形，

故12AA AC ==，又D 为AC 中点，知160A AC ∠= 。

取1AA 中点F ，则1AA ⊥平面BCF ，从而面1A AB ⊥面BCF ，

过C 作CH BF ⊥于H ，则CH ⊥面1A AB ，在Rt BCF ?中，2,BC CF ==7

CH =，

即1CC 到平面1A AB 的距离为7CH =。

（III ）过H 作1HG A B ⊥于G ，连CG ，则1CG A B ⊥， 从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角，在1Rt A BC ?中，1

2AC BC ==，所以CG =， 在Rt CGH ?中，sin 7CH CGH CG ∠==，故二面角1A A B C --的大小为arcsin 7

。 解法2：（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，

所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，

则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，

()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =-- ，()2,0,0CB = ，由10AC CB ?= ，知1

AC CB ⊥，

又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；

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（II ）由1AC ? 2130BA t =-+=

，得t =。

设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =

，(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以

10220

n AA y n AB x y ??=+=???=+=?? ，设1z =

，则)n = 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n ?==

7。 （III ）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =

，(10,CA =- ，()2,0,0CB = ， 所以

1020

m CA y m CB x ??=-+=???==?? ，设1z =

，则()

m = ， 故cos ,m n m n m n ?<>==?

，根据法向量的方向，

可知二面角1A A B C --

的大小为

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