数学分析课本（华师大三版）-习题及答案06

第六章 微分中值定理及其应用

习题

§1拉格朗日定理和函数的单调性

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：

11??xsin,0?x?,（1）f(x)??x? （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。

?0,x?0;?2、证明：（1）方程x3?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；

（2）方程xn?px?q?0（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。

3、证明定理6、2推论2。

4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且f?(x)?m，则

f（b）≥f（a）+ m（b - a）；

（2）若函数f在[a，b]上可导，且|f?(x)|?M，则

|f（b）- f（a）|≤M（b-a）；

（3）对任意实数x1，x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

b?abb?a（1），其中00。 21?h6、确定下列函数的单调区间：

（1）f（x）=3x?x； （2）f（x）=2x?lnx；

222（3）f（x）=2x?x； （4）f（x）=7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1）tanx?x?2xx3x?1x2。

3,x?(0,?3)；

（2）

??sinx?x,x?(0,x2?2)； x2（3）x?

2?ln(1?x)?x?2(1?x),x?0。

1

8、以s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试对s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

9、设f为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点c?(a,b)使得f（c）>0。证明至少存在一点??(a,b)，使得f??(?)?0。

10、设函数f在（a，b）内可导，且f?单调。证明f?在（a，b）内连续。

11、设p（x）为多项式，?为p（x）=0的r重实根。证明?必定是p?(x)的r – 1重实根。

12、证明：设f为n阶可导函数，若方程（fx）=0有n+1个相异的实根，则方程f至少有一个实根。

13、设a，b>0。证明方程x3?ax?b=0不存在正根。 14、证明：

tanxx?xsinx,x?(0,(n)(x)?0?2)。

15、证明：若函数f，g在区间[a，b]上可导，且f?(x)?g?(x),f(a)?g(a)，则在（a，b]内有f（x）>g（x）。

§2柯西中值定理和不定式极限

1、试问函数f(x)?x2,g(x)?x3在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2、设函数f在[a，b]上可导。证明：存在??(a,b)，使得

22 2?[f(b)?f(a)]?(b?a)f?(?)。

3、设函数f 在点a处具有连续的二阶导数。证明：

f(a?h)?f(a?h)?2f(a) lim?f??(a)。 2h?0h?4、设0?????。证明存在??(?,?)，使得

2

sin??sin?cos??cos??cot?。

5、求下列不定式极限 （1）lime?1sinxxx?0； （2）limx?1?2sinxcos3xtanx?xx?sinx?6；

（3）limln(1?x)?xcosx?1x?0； （4）lim；

x?0 2

（5）limx?tanx?6secx?5?2； （6）lim(x?01x1?1e?1x)；

（7）lim(tanx)x?0sinx； （8）limx1?x；

x?11（9）lim(1?x2)x； （10）limsinxlnx；

x?0x?0?（11）lim(x?01x2?1sin2x)； （12）lim(x?0tanxx1)x。

26、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h，存在?,0???1，使得

f(a?h)?f(a?h)?2f(a)h2?f??(a??h)?f??(a??h)2。

7、求下列不定式极限： （1）limlncos(x?1)1?sinsinxx?1?x2； （2）lim(??2arctanx)lnx；

x???（3）limxx?0?； （4）lim(tanx)x?tan2x?；

4?ln(1?x)(1?x)1?1?lim（5）lim?； （6）?(cotx?)； 2?x?0?x?0xxx??1（7）lim(1?x)x?exx?0； （8）lim???arctanx?。

x????2???8、设f（0）=0，f?在原点的某邻域内连续，且f?(0)?0。证明： limxx?0?f(x)?1。

9、证明定理6、6中limf(x)?0,limg(x)?0情形时的洛必达法则。

x???x???10、证明：f(x)?xe3?x2为有界函数。

§3泰勒公式

1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式： （1）f（x）=

11?x；

（2）f（x）= arctanx到含x的项；

3

5（3）f（x）= tanx到含x5的项。 2、按例4的方法求下列极限： （1）limesinx?x(1?x)x3xx?0?1???； （2）lim?x?x2ln?1???；

x??x????（3）limx?01?1???cotx?。 x?x?3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）=x3?4x2?5，在x = 1处； （2）f（x）=

11?x，在x = 0处。

4、估计下列近似公式的绝对误差： （1）sinx?x?x36x2，当|x|≤

12；

（2）1?x?1??x28,x?[0,1]。

5、计算：（1）数e准确到10?9； （2）lg11准确到10?5。

§4函数的极值与最大（小）值

1、求下列函数的极值：

（1）f（x）=2x3?x4； （2）f（x）=

(lnx)x22x1?x2；

12（3）f（x）=2、设

； （4）f（x）=arctanx?ln(1?x)。

21?4?xsin2,x?0,f（x）=? x?0,x?0.?（1）证明：x = 0是极小值点；

（2）说明f的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 3、证明：若函数f在点x0处有f??(x0)?0(?0),f??(x0)?0(?0)，则x0为f的极大（小）值点。

4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：

（1）y =x?5x?5x?1,[?1,2]；

4

543（2）y =2tanx?tan2??x,?0,?2??； ?（3）y =xlnx,(0,??)。

5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点x0。证明：若x0是f的极大（小）值点，则x0必是f（x）在I上的最大（小）值点。

6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？

7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？

8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,?an。问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。

9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值：

（1）f（x）=|x(x2?1)|；

x(x?1)x?x?12422（2）f（x）=；

（3）f（x）=(x?1)(x?1)。

11、设f（x）=alnx?bx2?x在x1?1,x2?2处都取得极值，试求a与b；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？

12、在抛物线y2?2px哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。

13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城，轮船运费的单价是?元/km，火车运费的单价是?元/km（?>?），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。

§5函数的凸性与拐点

1、确定下列函数的凸性区间与拐点：

132（1）y =2x?3x?36x?25； （2）y =x?；

x122（3）y =x?； （4）y =ln(x?1)；

x1（5）y =。 21?x2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y =ax?bx的拐点？

5

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