林云成 - 机械振动理论基础及应用

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考试科目： 机械振动理论基础及应用 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2012.07 姓 名： 林云成 学 号： 1100503

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东北大学研究生院

扁担

摘要：本文着眼点是中国民间的一种生活用具—扁担。通过对扁担的分析，简化后提取其振动模型，然后利用ANSYS有限元进行仿真分析，意图在于探讨挑担者的行走频率与振动的关系，揭示扁担省力的过程，然后通过对振动模型的理论推导来验证仿真的正确性，互为佐证。

关键词：扁担 有限元 受迫振动 弹簧阻尼系统

清晨的乡间小路，薄薄雾霭，一个挑担者的背影，便是一幅美丽动人的画面了。扁担—一个凝结着中国人智慧的普通工具，这其中确是有着一定的振动理论知识。扁担的产生过程大致为，人们发现肩膀较手更能承重，于是把重物系在棍棒两端放在肩上，为了舒适，又将棍棒做了休整，以至产生了较为合理的扁担。由于振动的利用，人们可以用更少的力来担运货物。

图1 货郎扁担图

1 振动模型

扁担相当于2个悬臂梁，肩膀是一个支点，挑运者行走速度的波动将引起重物的摆动，使绳索内载荷周期变化，其竖直分量的变化将激励扁担即悬臂梁的振动，其水平分量将引起重物的摆动，因而，扁担系统是由两个振动子系统符合而成的，是一种耦合振动，简化力学模型如图3所示，图2给出了人行走重心的变化情况。

图2 人行走产生的位移激振 图3扁担耦合振动模型

本文忽略了绳子的摆动，重点研究铅垂方向上的扁担的振动。同时，扁担近似一根悬臂等强度梁，对等强度的分析和实现方法本文不做赘述。图4，图5，分别给出了悬臂梁弯矩图，重物-扁担-肩膀振动模型。

图4 悬臂梁弯矩图 图5 重物-扁担-肩膀振动模型

对图5重物-扁担-肩膀振动模型作如下说明：M拟用来表示扁担所担重物，弹簧用来等效扁担的悬臂梁刚度，阻尼用来表示系统存在的阻力作用，下端规定会有一个正弦变化的位移激励。于此，经过简化后，我们便将扁担的工作过程抽象成了一个弹簧阻尼系统的受迫振动问题。

2 有限元分析

谐响应分析又称为谐波分析，用于确定结构在简谐激励下，即随时间按正弦规律变化的载荷作用下的稳态响应。谐响应分析是一种线性分析，根据傅里叶定律，任一振动都可以表示为简谐振动的叠加，因此可以通过叠加谐响应分析结构得到系统在任意激励下的响应。本文扁担模型的动力学分析用到的即是ANSYS中的谐响应分析。

2.1 问题描述与分析

首先，有限元分析针对图5所示的重物-扁担-肩膀振动模型，并作假设，弹簧刚度系数为500000N/m,阻尼100Ns/m，重物质量为100kg.(注：由于对扁担参数不了解，此处数据为主观捏造)。位移激励的幅值A为0.1m。应用ANSYS对模型进行谐响应分析。

2.2 GUI方式分析主要过程

从ANSYS单元库中选择弹簧阻尼单元COMBIN14和结构质量单元MASS21，并设置单元实常数。应用命令“N，1”，“N，2,0,1”创建2个节点，然后再1,2节点内创建COMBIN14的一个单元，然后在节点2处创建MASS21的一个单元，于此，有限元模型建立完成，如图6所示。

图6 有限元模型

设定分析类型为谐响应分析（Harmonic）,设定分析选项为”DOF printout format”为“Amplitud+phase”。求解选项设置如图7所示。

图7 谐响应求解选项设置对话框

施加载荷和边界条件如下所示：

NODE LABEL REAL IMAG

1 UX 0.00000000 0.00000000 1 UY 0.100000000 0.00000000 1 UZ 0.00000000 0.00000000 1 ROTX 0.00000000 0.00000000 1 ROTY 0.00000000 0.00000000 1 ROTZ 0.00000000 0.00000000 2 UX 0.00000000 0.00000000 2 UZ 0.00000000 0.00000000 2 ROTX 0.00000000 0.00000000 2 ROTY 0.00000000 0.00000000

2 ROTZ 0.00000000 0.00000000

Current LS，检查给出的模型信息后开始求解。进入时间历程后处理器，定义两个变量UY_2和UY_2/0.1分别存储节点2的位移（即各频率下的振幅）和节点2的位移和简谐位移激振的幅值的比值。图8，图9分别显示了UY_2和UY_2/0.1两个变量的变化过程。

图8 节点2的振幅—激振频率关系

图9 节点2振幅与简谐位移激振幅值的比值

由振动理论有下式成立： =

YX

1+ 2τλ 2 1-λ2 + 2τλ 2

2= T (1)

F0

F

式中：X—重物-扁担-肩膀振动模型中重物的振幅； Y—重物-扁担-肩膀振动模型中肩膀（激振）振幅； FT—重物-扁担-肩膀振动模型中重物对肩膀的作用力幅值； F0—将重物直接放在肩膀上简谐激励下肩膀的作用力幅值； τ—相对阻尼系数；

λ—担担者的步频与系统固有频率之比。

因此，本文对图9的数据进行分析，并与数值“1”进行比较来揭示扁担的省力原理。当图9中数据大于“1”的时候说明用扁担反而费力了；当图9中数据小于“1”的时候说明用扁担省力了了。下面给出图9中数值在“1”附近的数据点情况（注：分别为开始时刻，和中间一段频率范围内）。

开始一段频率内为：

AMPLITUDE PHASE 0.33333 1.00088 -0.210736E-04 0.66667 1.00352 -0.169034E-03 1.0000 1.00796 -0.573013E-03

中间频段数据为：

15.333 1.16765 -177.607 15.667 1.06612 -177.670 16.000 0.979157 -177.720 16.333 0.903873 -177.761 16.667 0.838105 -177.795

由上述数据可以看出，大致频率为16.000Hz为转折点，扁担有费力状态进入省力状态，而系统的固有频率为11.25Hz。分析发现：

16.000

=1.42? 2 11.25下文的理论分析将于这里的有限元分析互为佐证，也将阐述此处 2的由来。

3 理论分析

振动系统模型如图5所示，设支撑肩膀铅垂方向激振规律为：

y=Ysin?t

重物M的运动规律为x,分别以其各自的静止时平衡位置为原点，向上为正。分析可知其运动微分方程为：

x+2τωnx+ωn2x=2τωny+ωn2y

肩膀的支撑运动由下式给出：

y=Im(Yei?t)

将x,y表示为复数形式，如下： y=Yei?t y=i?Yei?t

x=Xei(?t?φ) x=i?Xei(?t?φ) x=?ω2Xei(?t?φ) 将上面两式带入运动微分方程得：

ω2ωω?iφ

1? +i2τ Xe=[1+i2τ ]Y

ωnωnωn

因为X，Y都是实数， e?iφ =1，所以：

X1+i2τλ1+ 2τλ 2 = = 1-λ2 2+ 2τλ 2Y1?λ2+i2τλ其次可以把特征方程 Ye?iφ=1?λ2+i2τλ 的左右两端分别写为：

X?iφXe=(cosφ?isinφ) YY 1?λ2 +(2τλ)2?i2τλ31+i2τλ

= 1?λ2 2+(2τλ)21?λ2+i2τλ比较上面两式，可知：

2τλ3

tanφ= 1?λ2 +(2τλ)2其响应(重物的振动)为：

1+i2τλ1+ 2τλ 2

iωt

x=Im Ye =Im[ Yei(ωt?φ)] 2222 1-λ + 2τλ 1?λ+i2τλX1+i2τλ

4 ANSYS仿真与理论分析比对

理论分析后，以λ为横坐标，Y为纵坐标，可以做出不同阻尼系数τ下的幅频响应曲线，而在λ= 2时，Y=1。这与本文上面的11.25=1.42? 2相吻合。也就是说，只有当担扁担的人的步频率超过扁担重物系统的固有频率的 2倍时，才会起到省力的效果。但并非走得越快越好，因为人的身体有极限，而且λ取值过大，扁担的省力效果已不是很明显了。

X

16.000

X

5 结语

本文将扁担抽象简化为受到简谐位移激振的弹簧阻尼系统，应用有限元的方法对扁担的工作过程进行了动力学分析，并给出了对应振动模型的理论推导，两者互为佐证，旨在应用所学到的振动理论知识对中国的民间工具扁担加以理解。

参考文献

[1]张义民.机械振动[M].北京:清华大学出版社,2006,8-29． [2]张义同,张岚.关于扁担的力学[J].力学与实践,2002,24(5):76-78. [3]尤明庆.关于扁担挑运力学原理的标记[J].力学与实践, 2011,33(4):87-89.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sotp.html