2010届高三数学总复习第一轮：概率(文科)复习专题讲解及训练

高三数学总复习第一轮： 概率（文科）复习专题讲解及训练

概率问题主要考查类型有：单独考查某种事件的概率；综合考查排列、组合与概率的计算；综合考查等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复事件等几种事件的概率计算等。

本部分内容的考题大多是课本中例、习题的变式或拓展。近年的考题有个明显的特征是注重了概率与其它知识（如方程、不等式等）的交汇。此类试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”的指导思想。

[知识要点]：

（1）随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．0 P(A) 1

（2）等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是

1n

mn

总是接近某个常

等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如

果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)

（3）互斥事件的概念:A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生， P(A+B)=P（A）+ P(B)一般地：如果事件A1,A2, ,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2, ,An对立事件的概念:事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件A、B对立，即事件A、B不可能同时

发生，但A、B中必然有一个发生P(A B)=０, P(A+B)=P（A）+ P(B)＝１ 一般地,pA 1 P A

（4）相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫

若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B互斥事件与相互独立事件的区别：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两

相互独立事件同时发生的概率：P(A B) P(A) P(B)。 事件A1,A2, ,An相互独立， P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An) （5）独立重复试验的定义：独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这

kkn k

个事恰好发生K次的概率Pn(k) CnP(1 P)表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次 ．．．．．k．．

[典型例题]:

例1：有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2。现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片。

（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；

（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率； （Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率.

解：（I）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A. P(A) （Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B，

P(B)

C2 C2 C3 C1 C2

C C

16

27

1

2

1

1

1

1

22

C1 C4C6 C7

1

121

463

（Ⅲ）记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C.

P(C) 1 P(C) 1

C5 C3

11

22

C6 C7

1

156 21

3742

23

34

例2：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没

有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;

(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? ．．．

解：（Ⅰ）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A为“4次均击中目标”，

65 2

则P A 1 PA 1

81 3

4

2

（Ⅱ）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

2 1 3 113

P B C C4

48 3 3 4

2

4

2

3

（Ⅲ）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

例3：某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率； （Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2

即1 C6 0.5 C6 0.5 C6 0.5

6

1

6

2

6

2132

（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为

C6 0.5 C6 0.5 C6 0.5

4

6

5

6

6

6

5

6

6

1122

0.3

6

至少5人同时上网的概率为C6 0.5 C6 0.5 因此至少5人同时上网的概率小于0.3。

764

0.3

例4：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 解：记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；

为事件 记Ai为Ai的对立事件，i 1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”B2；“丙实验考核合格”为事件B3；

（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：P C P A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 P AAA 3 12

8 0.9 0.

P

0. 3

AAA 123

P

1

A2A A3

P

1

A 2A3A

0 .7 0 0.902

0 .9 0.2 0.7 0. 10. 8

解法2：P C 1 PC 1 PA1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3

1 PA1A2

A P AAA P AAA P AAA

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.7

1 0.098 0.902

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902

（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D

P D P A1 B1 A2 B2 A3 B3 P A1 B1 P A2 B2 P A3 B3

P A1 P B1 P A2 P B2 P A3 P B3

0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9

0.254016 0.254

所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254

例5：质点A位于数轴x 0处，质点B位于x 2处。这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为

13

，向右移动的概率为

23

。

（Ⅰ）求3秒后，质点A位于点x 1处的概率； （Ⅱ）求2秒后，质点A,B同时在点x 2处的概率；

22

解析：（Ⅰ）3秒后，质点A到x 1处，必须经过两次向右，一次向左移动； P C3()()

23

149

3

.

（Ⅱ）2秒后，质点A,B同时在点x 2处，必须质点A两次向右，且质点B一次向左，一次向右；故

P

23 23 C2

1

23

13

1681

例6：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为

12

，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，

但在发射瞬间距离为150米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，且在发射瞬间距离200米，已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。 解析：记三次射击命中野兔的事件依次为A,B,C，由P(A)

12

k100

2

12

2

,且P(A) 18

k100

2

,则

, k 5000，于是P(B)

5000150

2

29

,P(C)

5000200

猎人命中野兔的事件为：A A B A B C,又A,A B,A B C为互斥事件，且A,B;A,B,C都是相互独立事件；故所求概率为P P(A) P(AB) P(ABC) =P(A) P(A) P(B) P(A) P(B) P(C)=

12 (1

12) 29 (1

12)(1

29) 18 95144

例7：如图：每个电子元件能正常工作的概率均为P(0 P 1)，问甲、乙两个系统那个正常工作的概率大？

（甲）

（乙）

解：P甲 1 (1 P2)2 2P2 P4;

2222

P乙 1 (1 P) (2P P) P(4 4P P)

2

2

2

2

2

2

2

P甲 P乙 P(2 P 4 4P P) 2P(1 P) 0

所以，乙正常工作的概率较大。

例8.招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案，方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假定某应聘者对三门课程的考试及格的概率分别为a,b,c，且这三门课程考试是否及格相互之间没有影响。 （1） 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（2） 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小；

解：记应聘者对三门课程考试及格的事件分别为A,B,C，则P(A) a,P(B) b,P(C) c （1） 应聘者用方案一，考试通过的概率

P1 P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)

=abc (1 a)bc a(1 b)c ab(1 c)=ab bc ac 2abc

应聘者用方案二，考试通过的概率为P2 （2） a,b,c 0,1 ， P1 P2

所P1 P2，

该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。

23

13

P(A B)

13

P(B C)

23

13

P(A C)

13

(ab bc ac)

(ab bc ac) 2abc=

(1 a)bc a(1 b)c ab(1 c) 0，

专题综合训练

一、等可能事件的概率

1. （08全国Ⅱ卷理6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A．

929

1029

1929

2029

B． C． D．

【答案】

D

1

2

2

1

C20C10 C20C10

C

330

【解析】P

2029

2. （08重庆卷文9）从编号为1,2, ,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ） (A)

184

(B)

121

(C)

25

(D)

35

【答案】B

【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。P

C5

3

C10

4

121

，故选B。

3. （08辽宁卷理7文7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A．

13

12

23

34

B． C． D．

【答案】：C

【解析】：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率

P

C2 C2

C

231

1

46

23

.

4. （08江西卷理11文11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A．

1180

1288

1360

B． C． D．

1480

【标准答案】 C.

【标准答案】一天显示的时间总共有24 60 1440种,和为23总共有4种,故所求概率为

1360

.

5.（08北京卷文18）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

【试题解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

140

34

A3

2

C5A4

140

，

．

A4

25444

（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)

CA

110

，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E) 1 P(E)

910

．

6. （08陕西卷文18）一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.

（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率． 【试题解析】

（1）从袋中依次摸出2个红球共有种结果，A92，第一次摸出黑球，第二次摸出白球的结果有A31A41，则所求概率为 P1

A3A4A9

21

1

16

，或P1

11

39

48

16

；

（2）第一次摸出红球的概率

A2A9

，第二次摸出红球的概率

A7A2A9

2

11

，第三次摸出红球的概率

A7A2A9

3

21

，则摸

球次数不超过3的概率为

A2A9

11

+

A7A2A9

2

11

+

A7A2A9

3

21

712

；

【点评】 几何分布的模型，注意互斥事件的概率计算；

【易错指导】 摸球认不清不放回的特征，误用独立重复试验模型求解；

7 （08浙江卷文19）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球。从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

25

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

79

。求：

（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率； （Ⅱ）袋中白球的个数。 【试题解析】

本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 （Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为10

25 4.

记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则P(A)

C4

2

C10

2

215

.

（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B。 设袋中白球的个数为x，则P(B) 1 P(B) 1

Cn 1Cn

22

79

, 解得 x =5。

8.一盒中放有除颜色不同外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个. （Ⅰ）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；

（Ⅱ）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.

2

解：（Ⅰ）从盒中同时摸出两个球有C5 10种可能情况.

22

摸出两球颜色恰好相同即两个黑球或两个白球，有C2 C3 4种可能情况

故所求概率为P

C2 C3

C

25

22

410

25

.

1111

（Ⅱ）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，有C2C3 C3C2 6 6 12

种可能情况. 故所求概率为P

C2 C3 C3 C2

C5 C5

1

1

1

1

1

1

6 625

1225

.

9. 盒中装有8个乒乓球，其中6个是没有用过的，2个是用过的. （Ⅰ）从盒中任取2个球使用，求恰好取出1个用过的球的概率；

（Ⅱ）若从盒中任取2个球使用，用完后装回盒中，求此时盒中恰好有4个是用过的球的概率.

1

1

C2C6CC6C8

22

28

解：（I）恰好取出1个用过的球的概率为P， 则P

37.

.

（II）设盒中恰有4个是用过的球的概率为P1,则P1

152817

10. 袋中黑白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，规

定甲先乙后，然后甲再取 ，取后不放回，直到两人中有一人取到白球就终止，每个球在每次被摸出的机会均等。

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求甲取到白球的概率。 解：（Ⅰ）设袋中原有白球n个，依题意有，

CnC7

22

17

，解得，n=3.

所以，袋中原有白球的个数为3.

（Ⅱ）甲取到白球的事件可能发生在第1次、第3次、第5次，所以甲取到白球的概率为

37

+

47

36

35

+

47

36

25

14

1=

2235

。

11. 学校组织5名学生参加区级田赛运动会，规定每人在跳高、跳远、铅球3个项目中任选一项，假设5名学生选择哪个项目是等可能的.

（Ⅰ）求3个项目都有人选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个项目有人选择的概率.

解：5名学生选择3个项目可能出现的结果数为35，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

311221

（Ⅰ）3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C5C2C1 3C5C3C1.

记“3个项目都有人选择”为事件A1，那么事件A1的概率为

3C5C2C1 3C5C3C1

3

5

3

1

1

2

2

1

P(A1)

5081

.

（Ⅱ）记“5人都选择同一个项目”和“恰有2个项目有人选择”分别为事件A2和A3， 则事件A2的概率为P A2

33

5

181

，

5081

事件A3的概率为P A3 1 P A1 P A2 1

181

1027

.

12. 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为：P （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为：

P

C6 910

63

3

A1010

6

6

151210

6

≥ .1512．

145810

6

0.01458．

13（08崇文区二模）已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A、B两组，每组4人.

（Ⅰ）求A组中恰有一名医务人员的概率； （Ⅱ）求A组中至少有两名医务人员的概率；

解：（Ⅰ）设“A组中恰有一名医务人员”为事件A1,P(A1)

（Ⅱ）设“A组中至少有两名医务人员”为事件A2，

P(A2)

C3C5C8

42

2

1

3

C3C5C8

4

37

．

C3C5C8

4

31

12

．

14

,数据如下表所示：

(Ⅰ)从这15名教师中随机选出2名，求2人恰好是教不同版本的男教师的概率； (Ⅱ)培训活动随机选出3名教师发言，求使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率． 解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共C15种选法，

所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是

C6C4C15

21

1

2

835

．

(Ⅱ)3名发言教师中使用不同版本教材的女教师各至少一名的不同选法共有

C3C2C10 C3C2 C3C2 69种，

1

1

1

2

1

1

2

所以使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率为

P=

C3C2C10+C3C2+C3C2

C15

3

1

1

1

2

1

1

2

=

69455

二、互斥事件的概率

1. （08四川延考理8文8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3

本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ） （A）

15

（B）

12

（C）

23

（D）

45

解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率： P(A) 1 P(A) 1

C4C

336

1

420

45

2. （08江西卷文18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．

（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

【试题解析】

（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P(A) 0.2 0.4 0.4 0.3 0.2

（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P(B) 0.2 0.6 0.4 0.6 0.4 0.3 0.48

3. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率．

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，

只有2件产品都合格时才接收这批产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2

件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率。

解：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力． （Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．

用对立事件A来算，有

P(A) 1 P(A) 1 0.2 0.9984

4

（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件” (i 1,2)为事件Ai．

P(A1)

C17C3C

2201

1

51190

P(A2)

C3C

2

220

3190

∴商家拒收这批产品的概率

P P(A1) P(A2)

511902795

3190

2795

．

故商家拒收这批产品的概率为．

4. （08海淀区二模）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为

13

，甲、乙都闯关成功的概率为

16

，乙、丙都闯关成功的概率为

15

.每人闯关成功记2分，

三人得分之和记为小组团体总分.

（I）求乙、丙各自闯关成功的概率； （II）求团体总分为4分的概率；

（III）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率. 解：（I）设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2

因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：

1 1P ,1 12 36

解得P1 ,P2 .

25 P P 1.

12 5

答：乙闯关成功的概率为

12

，丙闯关成功的概率为

25

.

（II）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.

设“团体总分为4分”为事件A，

则P(A) (1 )

31

12 25 13 (1 310

12) 25 13 12 (1

25)

310.

答：团体总分为4分的概率为.

（III）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，

设“团体总分不小于4分”为事件B，

由（II）知团体总分为4分的概率为

310

，

1

12 25 115.

团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为

3

所以参加复赛的概率为P(B)= 答：该小组参加复赛的概率为

1130

310

115

1130

.

.

5. 某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛

结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是

23

，乙队获胜的概率是

13

，根据以往资料统计，每场比赛组

织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：

（Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？ （Ⅱ）组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？ 解：（Ⅰ）门票收入为120万元的概率为：P1 () () （Ⅱ）门票收入为180万元的概率为：P2 C5()() 门票收入为210万元的概率为：P3 C6()()

3

3

33

2

4

1

4

17

2

3

31

3

2

2323

32

3

31

3

81

31322

C5()()

3331323

C6()()

33

．

13

13 200729160729

． ．

门票收入不低于180万元的概率是： P P2 P3

4081

．

6. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得 1分 . 现从盒内任取3个球.

（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；

（Ⅱ）求取出的3个球得分之和是正数的概率.

（Ⅰ）解：记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A， 则 P(A)

C2C3C4

C9

31

1

1

27

. ………….. 5分

（Ⅱ）解：先求取出的3个球得分之和是1分的概率P1：

记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C， 则P1 P(B C) P(B) P(C)

C2C3C9

31

2

C2C4C9

3

21

542

；

记“取出2个红色球，1个白色球”为事件D， 则取出的3个球得分之和是2分的概率： P2 P(D) 所以，取出的3个球得分之和是正数的概率P P1 P2

542

C2C3C9 128

3

21

1281384

.

7. 某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目，这两个项目投资是否成功相互独立，预测结果如

下表：

（1）求恰有一个项目投资成功的概率； （2）求至少有一个项目投资成功的概率.

解：（1）设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为A、B、C

P1 P(ABC ABC ABC)

23

1

36

11135

（2）P2 1 P(ABC) 1

33436

所以恰有一个项目投资成功的概率为

34

7

1

13

23

14

13

13

34

736

所以至少有一个项目投资成功的概率为

3536

.

45

三、相互独立事件的概率与n次独立重复试验恰好发生k次的概率 1．（08福建卷文5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为概率是（ ） A.

12125

，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的

B.

16125

C.

48125

D.

96125

【标准答案】C

48 4 1

【标准答案】由P3(2) C32

55125

2

1

【高考考点】独立重复实验的判断及计算

【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.

【备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆. 2. （08湖北卷文14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，

假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 【标准答案】0. 98

【试题解析】用间接法做: 两个闹钟一个也不准时响的概率是(1 0.8)(1 0.9) 0.02,所以要求的结果是

1 0.02 0.98.

【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。 【易错提醒】计算出错.

【备考提示】本题还可以这样做:

要求的概率是(1 0.8)0.9 0.8(1 0.9) 0.8 0.9 0.98

3. （08福建卷文18）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为,否破译出密码互不影响.

(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；

(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 【试题解析】

解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有

111

,,且他们是543

P(A1)

15

,P(A2)

14

,P(A3)

1.3

,且A1，A2，A3相互独立.

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有

B＝A1·A2·A3·A1·A2·A3+A1·A2·A3且A1·A2·A3，A1·A2·A3，A1·A2·A3彼此互斥 于是P(B)=P(A1·A2·A3)+P（A1·A2·A3）+P（A1·A2·A3） ＝

15 14 23 15 34 13 45320 14 13

＝

320

.

答：恰好二人破译出密码的概率为.

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D. D＝A1·A2·A3，且A1，A2，A3互相独立，则有 P（D）＝P（A1）·P（A2）·P（A3）＝而P（C）＝1-P（D）＝

35

45 34 23

＝

25

.

，故P（C）＞P（D）.

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.

【易错提醒】对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.

【备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.

4. （08湖南卷文16）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是且面试是否合格互不影响。求： （I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。 【试题解析】

用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，

且P(A) P(B) P(C)

12.

12

，

（I）至少有一人面试合格的概率是1 P(A B C)

137

1 P(A)P(B)P(C) 1 () .

28

（II）没有人签约的概率为P(A B C) P(A B C) P(A B C)

P(C ) P(A) P(B)

P(A )P(B )P( C)

P( A)P (B )P(C)

() () ()

2

2

2

1

3

1

3

1

3

38

.

5. （08辽宁卷文18）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 频数

2

3

4

20 50 30

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率． 【试题解析】

本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．

（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，

故所求的概率为

（ⅰ）P1 1 0.74 0.7599．

334

（ⅱ）P2 C4 0.5 0.3 0.3 0.0621．

6. （08四川卷文18）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。 【试题解析】

（Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

C A B A B

P C PA B A B PA B PA B P A PB P A PB

0.5 0.4 0.5 0.6 0.5

（Ⅱ）记A2表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品； D表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

E表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；

D A B

PD PA B PA PB 0.5 0.4 0.2

P A2 C2 0.2 0.8 0.096

2

2

P A3 0.2 0.008

3

P E P A1 A2 P A1 P A2 0.096 0.008 0.104

【点评】：此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率；

【突破】：分清相互独立事件的概率求法；对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用。 7. （08天津卷文18）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为球2次均未命中的概率为

1

12

与p，且乙投

16

（Ⅰ）求乙投球的命中率p；

．

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际

116

问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B． 由题意得 1 P B 1 p

2

2

34

解得p

34

或

54

（舍去），所以乙投球的命中率为．

解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B． 由题意得P(B)P(B)

11634

，于是P(B) ．

14

或P(B)

14

（舍去），故p 1 P(B)

34

．

所以乙投球的命中率为

（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知P A

12

,PA

12

．

故甲投球2次至少命中1次的概率为1 PA A 解法二：由题设和（Ⅰ）知P A

12,PA

1

34

12

34

故甲投球2次至少命中1次的概率为C2P A PA P A P A （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，P A

12,PA

14

12

,P B

34

,PB

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为

C2P A PA C2P B PB

1

1

316

，

P A A PB B PA AP B B

164964

，

316

164

964

1132

所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．

8. （08重庆卷文18）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中： （Ⅰ）恰有两道题答对的概率; （Ⅱ）至少答对一道题的概率.

【解析】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法及运算能力。

【答案】视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为

14

.

由独立重复试验的概率计算公式得：

(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2) C2()()

4

4

4

1

2

3

2

27128

.

(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为 1 P4(0) 1 C4()() 1

4

4

1

3

4

81256

1752561

.

解法二：至少有一道题答对的概率为

C4()() C4()() C4()() C4()()

4

4

4

4

4

4

4

4

1

13

22

1

2

3

233

3

4

1

4

3

108256175256

.54256

12256

1256

9. （08四川延考文18）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设

0.05备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，

和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．

【解析】（Ⅰ）设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i 1,2． Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i 1,2．

Ci表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．

则C A1 A2 A1 B2 B1 A2．

由已知 P(Ai) 0.9，P(Bi) 0.05，i 1,2．

所以，所求的概率为P(C) P(A1 A2) P(A1 B2) P(B1 A2) 0.92 2 0.9 0.05 0.9．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为P(C) 0.9． 故所求概率为： 1 0.9 0.271

10.在同一时间段里，有甲、乙两个气象站相互独立的对天气预测，若甲气象站对天气预测的准确率为0.85，乙气象站对天气预测的准确率为0.9，求在同一时间段里， （Ⅰ）甲、乙两个气象站同时预测准确的概率； （Ⅱ）至少有一个气象站预测准确的概率；

（Ⅲ）如果乙站独立预测3次，其中恰有两次预测准确的概率。

解：设A=“甲气象站预测的准确”, 设B=“乙气象站预测的准确” （Ⅰ）P(A B) P(A) P(B) 0.85 0.9 0.765

（Ⅱ）所求概率为 1－P(A) P(B) 1－(1－0.85)(1－0.9) 0.985

22

0.9 0.1=0.2432． （Ⅲ）如果乙站独立预测3次，其中恰有两次预测准确的概率P C3

3

11.某学校对其网络服务器开放的4个外网络端口的安全进行监控，以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定。

根据以往经验，从周一至周五，这4个网络端口各自受到黑客入侵的概率为0.1。求： （I）恰有3个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？ （II）至少有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？ 解：（I）P1 C4 0.1 0.9 0.0036

（II）“至少有2个网络端口被入侵”的对立事件为“没有和有1个网络端口被入侵”， 因此 P2 1 (0.9) C4 0.1 (0.9) 0.0523

4

1

3

3

3

12

12.某院校招收学员，指定三门考试课程．甲对三门指定课程考试通过的概率都是试通过的概率都是

23

，乙对三门指定课程考

，且三门课程考试是否通过相互之间没有影响.求：

（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率； （Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率；

（Ⅲ）求甲恰好比乙多通过两门课程的概率． 解：（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率为C32()2(1

2

3

112

)

3 2

3213

C3() .

28

2 19

（Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率1－ =.

27 3

（Ⅲ） 设甲恰好比乙多通过两门课程为事件A，

甲恰通过两门且乙恰都没通过为事件B1，甲恰通过三门且乙恰通过一门为事件B2， 则A B1 B2， B1，B2为互斥事件．

P(A) P(B1) P(B2)

3 1

121

． 8924

124

827

所以，甲恰好比乙多通过两门课程的概率为.

23和34

13.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

有影响.

（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；

，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没

（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率. 解：（I）设“甲射击5次，有两次未击中目标”为事件A，则P(A) C5() ()

3

3

2

2

3

1

2

80243

（Ⅱ）设“两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次”为事件B，

()·C4() 则 P(B) C4()3

3

4

4

2

2

2

1

23

3

3

118

12

14. 甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投进的概率为 （I）甲恰好投中2次的概率；

（Ⅱ）乙至少投中2次的概率； （III）乙恰好比甲多投中2次的概率. 解：（1）甲恰好投中2次的概率为C3()

2

2

，乙每次投中的概率为

34

，求：

1

3

38

；

（2）乙至少投中2次的概率为C3()

4

2

3

2

1

27333

C3() ； 4432

（3）设乙恰好比甲多投中2次为事件A，乙恰好投中2次且甲恰好投中0次为事件B1，乙恰好投中3次，

且甲恰好投中1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件.

P（A）=P（B1）+P（B2）=C3()

4

2

3

2

1

27013333113

C3() C3() C3() . 4242128

所以，乙恰好比甲多投中2次的概率为

27128

.

15. 在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85. 则在一天内

（I）三台设备都需要维护的概率是多少？ （II）恰有一台设备需要维护的概率是多少？

（III）至少有一台设备需要维护的概率是多少？

解：记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A，B，C， 则P(A) 0.9,P(B) 0.8,P(C) 0.85. （I）解：三台设备都需要维护的概率

p1 P(ABC) P(A) P(B) P(C)

=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003.

（II）解：恰有一台设备需要维护的概率 p2 P(A B C) P(A B C) P(A B C) =（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×(1－0.8)×0.85+0.9×0.8×(1－0.85) =0.329. （III）解：三台设备都不需要维护的概率

p3 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.612，

所以至少有一台设备需要维护的概率 p4 1 p3 0.388.

16. 甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出. （Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率； （Ⅱ）求乙队获胜的概率；

解：（Ⅰ）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为

1

P1 C2 0.6 0.4 0.6 0.288.

（Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为P2 0.4 0.4 0.16；

1 乙队以2：1获胜的概率为P2 C20.4 0.6 0.4 0.192

1∴乙队获胜的概率为P2 0.42 C2 0.4 0.6 0.4 0.16 0.192 0.352

17. 甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往经验，单局比赛甲胜乙的概率为0.4，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求： （I）前三局比赛乙领先的概率；

（Ⅱ）本场比赛甲以3：2取胜的概率.

（1）解：单局比赛甲胜乙的概率为0.4，乙胜甲的概率为1－0.4=0.6

记前三局比赛“乙胜三局”为事件A，“乙胜两局”为事件B， 则P（A）=0.6=0.216

22

P（B）=C3 0.6 0.4 0.432，

3

所以前三局比赛乙领先的概率为P（A）+P（B）=0.648

（2）解：若本场比赛甲以3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局甲胜所以所求事件的概率为C4 0.4 0.6 0.4 0.13824

18. 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的

成绩在13秒内（称为合格）的概率分别是,

231

,.如果对这3名短跑运动员的100米跑的成绩进行一543

2

2

2

次检测. 问：

（I）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （Ⅱ）出现几个合格的概率最大？

解：分别记甲、乙、丙三人100米跑合格为事件A，B，C。 显然，A、B、C相互独立。

P(A)

25

,P(B)

34

,P(C)

13

,P(A) 1

25 35

,P(B) 1

34 14

,P(C) 1

13 23.

设恰有k人合格的概率为Pk（k=0，1，2，3）

5

4

3

10

（1） 三人都合格的概率为P3=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=2 3 1 1

三人都不合格的概率为 P0=P(A·B C) P(A) (B) P(C) 因此三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是（2）因为A·B·C，A·B·C两两互斥， C，A·B·

∴恰有两人合格的概率为P2=P（A·B·C+A·B·C）=P（A·B·C）+P（A·B·C）C+ A·C）+P（A·B·B·=

25 34 23 25 14 13 35 34 13 23

110.

35 14 23 110

60

112325

恰有一人合格的概率为：P1=1－ .

10106060

；

由（1）（2）知，P0，P1，P2，P3中，P1最大。

因此出现恰有1人合格的概率最大。

19. 甲乙两个篮球运动员相互没有影响的站在罚球线投球，其中甲的命中率为每人都投球三次，且各次投球的结果互不影响。求： （I）甲恰好投进两球的概率 （II）乙至少投进一球的概率 （III）甲比乙多投进两球的概率

3 1 1

解：（I）记甲恰好投进两球为事件A，则P A C32

8 2 2

26 1

（II）记乙至少投进一球为事件B，则由对立事件概率公式得P B 1

27 3

3

12

，乙的命中率为

23

，现在

2

（III）记甲比乙多投进两球，其中恰好甲投进两球乙投进零球为事件C1，恰好甲投进三球乙投进一球为事件C2，根据题意，C1、C2互斥，有互斥事件概率加法公式，则：

P C1 C2

1 1

P(C1) P(C2) C

2 2

23

2

1 1 1 12 1

C3

3 3 24 3 2

332

20. 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 ．．．．

的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9． ．．（I）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； ．．（Ⅱ）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． ．．．．

解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1，A2；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活

为事件B1，B2，P(A1) 0.6，P(A2) 0.5，P(B1) 0.7，P(B2) 0.9．

（I）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P(A1 A2) 1 P(A1 A2) 1 0.4 0.5 0.8；

（Ⅱ）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B， 则P(A) P(A1B1) 0.42，P(B) P(A2B2) 0.45． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P(AB AB) 0.42 0.55 0.58 0.45 0.492．

解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为

P(A1B1A2 A1B1A2B2 A1A2B2 A1A2B1B2) 0.492．

21. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．

解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机

培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A) 0.6，P(B) 0.75． （I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

P1 P(A B) P(A) P(B) 0.4 0.25 0.1

所以该人参加过培训的概率是1 P1 1 0.1 0.9． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

P2 P(A B) P(A B) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45

该人参加过两项培训的概率是P3 P(A B) 0.6 0.75 0.45． 所以该人参加过培训的概率是P2 P3 0.45 0.45 0.9． （II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

P4 C3 0.9 0.1 0.243．

3

3人都参加过培训的概率是P3 0.9 0.729．

2

2

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4 P5 0.243 0.729 0.972． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

C3 0.9 0.1 0.027．

1

2

3人都没有参加过培训的概率是0.1 0.001．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1 0.027 0.001 0.972． 22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和

43

45

3

，且各次射击相互独立。

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率。 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，

且P（A）＝,P(B)

43

45

，从而甲命中但乙未命中目标的概率为

3

4 3

1 . 4 5 20

P(A B) P(A) P(B)

（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。

依题意有

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