17-18版 第5章 第4节 课时分层训练31

课时分层训练(三十一) 数列求和

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

11111

1．数列12，34，58，716，?，(2n－1)＋2n，?的前n项和Sn的值等于( )

【导学号：31222189】

1A．n2＋1－n

21

C．n2＋1－n－1

2

1

B．2n2－n＋1－n 21

D．n2－n＋1－2n 1

A [该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋2n， 1??11

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋?2＋22＋?＋2n?

??1

＝n＋1－2n.] 2

2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )

A．100 C．120

B．110 D．130

C [{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]

3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A．192里 C．48里

B．96里 D．24里

1

B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为2的等比数列，则

1

1??

a1?1－26???

1＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 1－2

4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，?，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )

A．5 C．7

B．6 D．16

C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.

又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]

5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝

1

，n∈N*，记数列

f?n＋1?＋f?n?

{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝( ) 【导学号：31222190】

A.2 016－1 C.2 018－1

B.2 017－1 D.2 018＋1

11

C [由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝2，则f(x)＝x2. 11

∴an＝＝＝n＋1－n，

f?n＋1?＋f?n?n＋1＋n

S2 017＝a1＋a2＋a3＋?＋a2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋?＋(2 018－2 017)＝2 018－1.]

二、填空题

nπ6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin2，n∈N*，则S2 016＝__________.

【导学号：31222191】

nπ

0 [an＝sin2，n∈N*，显然每连续四项的和为0. S2 016＝S4×504＝0.]

7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，

2

{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.

2n ＋1－2 [∵an＋1－an＝2n，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1 ＝2

n－1

＋2

n－2

n2－2

＋?＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.

1－2

2－2n＋1n＋1

∴Sn＝＝2－2.]

1－2

8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N

*

?1?

)，则数列?S?的前

?n?

n项和为__________．

n

[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，2n＋1

1

解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，S＝n

1?111?1

－??，＝＝

4n2－1?2n＋1??2n－1?2?2n－12n＋1?

?1?

则数列?S?的前

?n?1?1?1?1?11?1?11?1?1－1－n项和为2?1－3?＋2?3－5?＋?＋2?2n－12n＋1?＝2?2n＋1?????????

n

＝.] 2n＋1

三、解答题

?2?

9．(2017·成都二诊)已知数列{an}中，a1＝1，又数列?na?(n∈N*)是公差为

?n?

1

的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式an； (2)求数列{an}的前n项和Sn. [解] ∴

?2?

(1)∵数列?na?是首项为

?n?

2，公差为1的等差数列，

2

＝2＋(n－1)＝n＋1，3分 nan

2

解得an＝.5分

n?n＋1?

1?2?1－(2)∵an＝＝2?nn＋1?，

n?n＋1???1??1??11????1

－∴Sn＝2??1－2?＋?2－3?＋?＋?nn＋1??

????????

3

1?2n?

＝2?1－n＋1?＝.12分

??n＋1

10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d， a＝1，??1?2a1＋5d＝4，由题意有?解得?2

a＋5d＝3，d＝5.?1??

3分

2n＋3

所以{an}的通项公式为an＝5.5分 ?2n＋3?

?. (2)由(1)知，bn＝?

?5?当n＝1,2,3时，1≤

2n＋3

5＜2，bn＝1；

2n＋3

当n＝4,5时，2≤5＜3，bn＝2；8分 当n＝6,7,8时，3≤当n＝9,10时，4≤

2n＋3

5＜4，bn＝3；

2n＋3

5＜5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，?，2n1lg an，?的前n项和Sn等于( )

－

【导学号：31222192】

A．n·2n C．(n－1)·2n＋1

B．(n－1)·2n－1－1 D．2n＋1

C [∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，

2nna4a2n－4＝102n，∴a2n＝10，即an＝10，

∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，

4

∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋?＋n·2n－1，① 2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋?＋n·2n，②

∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋?＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]

2．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.

n·2n(n∈N*) [由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn

?Sn?SnSn－1

－Sn－1)－2，即2n－n－1＝1，所以数列?2n?是首项为1，公差为1的等差数列，

2??

n

Sn

则2n＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]

3．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解] (1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3， 两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， an＋1

∴an＋1＝3an，∴a＝3.

n

a2当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则a＝3.3分

1

∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴an＝3×3n－1＝3n.5分

(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分 ∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋?＋(2n－1)·3n，① 3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋?＋(2n－1)·3n＋1，②

①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋?＋2×3n－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋2×(32＋33＋?＋3n)－(2n－1)·3n＋1 32?1－3n－1?＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1

1－3＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分 ∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分

5

法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分 ∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn

＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋?＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n] ＝(n－1)·3n＋1＋3.12分

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tfyo.html