平面向量基本定理教学设计

平面向量基本定理教学设计

２

黎栋材１，　王尚志１

（）首都师范大学数学科学学院　１北京师范大学附属实验中学　１１．０００４８；２．０００３２

］就《平面向量基本定理》的教学重点进１　　文［

并就定理本身给出了两点具体的建议，行了分析，

很受启发．文［基于新课程理念，为平面向量的２］教学提出宝贵的建议．笔者认为，中学数学教学除还需要以学生的了要高观点认识数学本质之外，

认知水平，在学生已有知识上建构新的知识体系，从而发展学生的思维能力．１　内容及地位分析

１．１　向量改变学生对运算的认识

向量是近代数学的产物，是非常重要和基本的概念之一．向量具有一套与数的运算截然不同特别是向量的数量积属于“的运算系统，Ｖ×Ｖ→的运算，这对学生而言是一次对运算认识的Ｒ型”

２］

，而平面向量基本定理则是统一不同运算飞跃［

系统中转站，是展示数学魅力的良好载体．１．２　平面向量基本定理是沟通数与形的桥梁平面向量的加法、减法以及实数与向量的积均体现向量的几何特征，一旦有了平面向量基本平面内的向量便与一对有序实数构定理作保证，

建了一一对应的关系，于是，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积、两个向量平行与垂直、两个向量的夹角等都可以转化为代数运算，从另外，利用向而实现向量运算与实数运算的统一．

余弦定理，射影定理以及量还可以证明正弦定理、

两角和与差的三角函数等与三角有关的问题．

向量，作为沟通代数、几何、三角等内容的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着非常重

２］

要的作用［．

其余的向量便于实数构建一一对应准向量之后，

这是一维空间．以平面向量基本定理作为的关系，

过度，学生还将学习空间（三维空间）向量分解定理，即建立空间向量与一个三维数组的一一对应并以此作为理论依据，研究空间中线面、面关系，

面的位置关系．

２　目标及目标分析

（）能陈述平面向量基本定理内容，并能初步１掌握定理的本质；

）（通过平面向量基本定理的形成过程，感受２

知识建构过程中的改造与重组，发展理性思维能力．

新课程明确指出，在教学中要重视知识的形也就是说不能只重结果而忽视过程．本节成过程，

课的重点便是如何在“向量共线定理”基础上，由，浅入深、循序渐进地形成“平面向量基本定理”体现启发式和类比思想的教学方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，实现知识改造和重组．

３　教学设计指导思想３．１　重视新课程理念

高中数学新课程中新增了不少内容，平面向量便是其中之一．平面向量进入中学数学，不但改数、式、方程、函数与几何变了传统数学教学内容（

图形）的模式，还改变了与运算体系相关的知识结构．

另外，在新的课程标准中十分强调过程一词，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的再现强调学生的参与，让学生真正成为课堂主过程．

在有限的时间内探究知识，主动获取知识．人，

３．２　重视数学思想方法

，由于向量具有两个明显特点，即“数”与“形”

一维空间”和“三维１．３　平面向量基本定理连结“

空间”

向量　　空间概念是学生面临的很抽象的问题，

的共线定理刻画了：在共线的向量中选择一个基

活动预设　一组平面内杂乱无章的向量再次吸引学生的注意力，激发学生解决问题的热情．学生进行小组讨论，分享各自的意见．绝大多数同学都能从向量共线定理入手，发现用一个非零向量而是需要两个，且发现这两不可以表示任意向量，个向量必须不共线．

设计意图　教师用“问题链”的形式，不断提出新问题，反复冲击学生的思维，使自己的想法不断修正，在这个过程中，学生一直处于亢奋状态，激起解决问题的欲望！学生的充分交流，各种想法激烈碰撞，更加有利于发现问题的核心和本质，为后续理性证明定理提供基础．

课堂再现　教师在杂乱无章的向量组中，任，意选择两个不共线的向量（记作：让同学再ａ，ｂ），记作：让他用ａ，选择一个向量（ｍ）ｂ来表示ｍ．并类比向量共线定理概括出上述结论．

活动预设　学生根据前面已有的向量知识，结合物理中的力、运动的合成与分解，能够首先将三个向量的起点移到一起，将向量ｍ分解在ａ，ｂ

两个方向上，再利用向量共线定理将ｍ表示成ｍ＝ａ＋ｂ的形式．λμ

形成猜想　如果ａ，ｂ是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量存在实数λ，使得ｍ，μ，

这就使得向量成了数形结合的载体．平面向量基本定理是即将要学习平面向量的直角坐标表示等知识的理论基础，它将向量和坐标联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，渗透了数形结合的解析思想．３．３　重视向量的物理背景

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物所以，在教学中，用理学和工程技术的重要工具．

拉力的分解，平抛运动）使学生认识了两个课件（

到向量在刻画现实问题、物理问题中的作用，使学使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持，生将在物理中对向量分解的感性认识上升到理性的高度，达到培养学生的理性思维的能力．４　教学过程设计

贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整它不是各个部分的机械组合或简单相加，而是体，

系统的整体观念．前面已经分析过，平面向量基本是一维空间的延定理作为二维空间的重要定理，

续，为三维空间提供基础．正是在这样的认识下，组织教学的．

明确目标　　环节１　提出问题，

课堂再现　屏幕上出现一组共线向量，用以复习向量共线的充分必要条件．

活动预设　当一组很有震撼力的共线向量呈便牢牢抓住了学生的心，引起学现在学生面前时，

生强烈的共鸣，与此同时，思考老师提出的问题．

设计意图　对定理的分析是为了共线定理的共线的向量有无数多个，在本质作进一步诠释：

“选定一个非零向量ａ”的前提下，其他向量ｂ均可用ａ唯一表示，即：存在唯一的实数λ，使得ｂ＝

借助学生对数轴已有的理解，建立起向ａ成立．λ

为从一维（直线）量ｂ与实数λ的一一对应关系，到二维（平面）做铺垫．

形成猜想　　环节２　分析问题，

课堂再现　在同一平面内出现了一组方向各异的向量．教师提出问题：在平面内，如果也只给平面内的任意向量是否也可以定一个非零向量，

用给定的这个向量表示？为什么？教师就学生的回答步步紧追，为什么一个不行？一个不行，那么究竟几个可以？为什么？

ｍ＝ａ＋ｂλμ

设计意图　教师选择ａ，是为基ｂ的任意性，学生选择ｍ的任意性，是为底的概念埋下伏笔；

学生能更深入地理解定理．让学生概括结论，一方面是培养学生抽象概括能力，另一方面是为加深对定理的理解．

印证猜想　　环节３　物理背景，

课堂再现　教师引导学生思考，将一个向量分解成两个向量是否有似曾相识的感觉，可否举出实例？

活动预设　这个问题对于学生而言不难，学生在物理中已经学习了力、运动的合成与分解．

教师演示　教师演示两个课件，边演示边解释．重点解释向量的分解，以及向量如何用另外两个向量表示，突出基底是不共线的两个向量这一属性．

２０１５年　第５４卷　第１期　　　　　　　　数学通报））拉力的分解；平抛运动

．１２　　（　　（

３１

上，还是从内容上，与前面学习的向量共线定理有很大的相似之处，请同学们对共线定理与平面向量基本定理进行类比．

设计意图　用类比的方法，学生更能体会到更能抓住定理的实质．另这两个定理的相同之处，

用类比的方法，更能加深学生对平面内的向量外，

设计意图　用物理背景印证猜想，一方面是为建立跨学科间的联系，突出数学与物理学之间的关系；另一方面，也是为了培养学生的应用意深化对定理的理解．但物理学中关于向量分解识，

作为数学学科，理应给予他理是通过实验得到的，论的支持．

理性思考　　环节４　解决问题，

教师演示　教师展示定理内容

平面向量基本定理　如果ａ，ｂ是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的有且只有一对实数λ，使得任意向量ｍ，μ，

之间的一一对应关系的理ａ与有序实数对（λλ１，２）

解，为向量的坐标表示做铺垫．加深认识　　环节５

　应用定理，

例１　已知矩形Ａ点Ｅ，ＢＣＤ，Ｆ分别是边

→→设Ａ以ａ，ＢＣ，ＣＤ的中点，Ｂ＝ａ，ＡＤ＝ｂ，ｂ作基底Ｅ→，→Ｆ→．来表示ＡＤＥ和Ｂ

设计意图　以两个垂直的向量基底作为例子，为下一节平面向量的坐标表示作铺垫．→→例２　如图，ＯＡ，ＯＢ不

→Ｂ→（，共线，用ＡＰ＝ｔＡｔ∈Ｒ）　→→Ｐ→．ＯＡ，ＯＢ表示Ｏ

设计意图　该例是教材中的一个例子，教师通过

说明该例中ｔ∈Ｒ的变化，

→→向量Ｏ无论Ｏ但总可以用不Ｐ在改变，Ｐ如何变化，→→加深学生是对平面向量共线的向量ＯＡ，ＯＢ表示，基本定理的理解．

例３　重为Ｇ的光滑球在倾角为３的斜面０°上，被与斜面夹角为６０°的挡板挡住时，求斜面与挡板所受的压力为多大？

设计意图　以一道

不但体现物理与数学的联系，更物理题作为例子，能体现数学的应用价值．

５　教学反思

教学是一门艺术，无论是教谁或者教什么内（容，教学决策首先要思考三个方面：教什么内１）（）容；学生将做什么来体现出学习行为已经发２（）生；教师将做什么来帮助学生学习．如果决策３

３］

出现错误，则学生的学习常常就会受阻［本教学．

ｍ＝λａ＋μｂ

其中不共线的向量ａ，ｂ叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

课堂再现　教师提出问题：平面内的任意向量都可以用我们事先给定的两个不共线的向量表示，那么这种表示是唯一的吗？

活动预设　存在、唯一性问题，学生在向量共线定理时已经接触，有了初步的认识，有解决该问题的基础．

设计意图　存在性容易证明，唯一性的证明有一定的难度，相对比较抽象，特别是唯一性的证明用到反证法，且最后的矛盾与共线定理有关，即：从共线到共面最后回到共线的思辨过程，有助学生对定理本质的认识，且有利于培养学生思辨能力．

向量共线定理

条件

给定一个非零向量ａ

平面向量基本定理给定两个不共线的向量ａ，ｂ

，对平面内任意向量ｍ，对任意向量ｂ（ｂ∥ａ）

结论

有且只有一个实数λ，有且只有一对实数λ，使得：

使得ｍ＝ａ＋ｂλμ，μ

“设计正是在深入思考了以上三个问题做出的，空数理间的联系”使向量具有了活力．所间的拓展，

以，教师必须让所教授的内容“活”起来，只有这样，才能使知识、能力可持续发展！

（下转第３７页）

ｂ＝ａλ

实质ｂλ

ｍ（λ，μ）

课堂再现　平面向量基本定理无论从形式

２０１５年　第５４卷　第１期　　　　　　　　数学通报准》的一个重要课程目标，解决数学问题的能力是具有数学素养的重要标志．ＣＰＭ教材每章都通过创设问题情境引导学生通过探究解决问题，在例题和习题部分贯穿问题解决，在课程中重点安排鼓励应用各种方法解决内容介绍问题解决策略，

用问题解决来培养学生的数学新的问题情境，思维．

强调数学交流６．３　注重数学探究，

弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出“，学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出

［２］

美国高中数学的焦点是推理与意义建构，来”．

３７

以最有效的方式传递数学教学过程中的各种信

３］

，息，又能强化教师、学生之间的互动［能较好的

改善学生的学习方式和教师的教学方式．对教材文本信息技术内容的分析可知，ＣＰＭ教材与现代在“探究”的例题和“自我检信息技术密切相关，

题当中，对各个问题的探究都依赖于计算器、测”

计算机、图形计算器、网络浏览器等工具的使用，学生可以使用计算器、计算机重复试验，模拟探究，最终得出结论并与同学分享、交流，使学生能够更深刻地理解数学、应用数学，从而增加学生动手实践、合作互助、主动探索的机会，较好地培养极大地丰富了学生进行数学了学生的数学能力，

４］

美国Ｃ探索的范围和质量［．ＰＭ教材还配有专

这指学生在新情境中运用数学工具与方法解决问题的能力，数学问题解决、推理与证明、交流等数数学探究作为培养学生自主学习、学过程的基础．

创新能力的重要途径，已成为一个颇受关注的研究问题．ＣＰＭ教材的正文是由一个个探究及一个个问题构成，整个课堂是个大型的探究课，包括探究背景、探究问题、探究过程、探究结论等．习题中部分还是学生之前也设置了大量的自主探究题，

没有学习的新知识，主要通过学生动手试验自己开放性程度高．教材不仅提倡对探学习得出结论，

究能力的培养，也注重对学生交流能力的培养，比如在每个探究后的总结环节中提出几个问题后，都会要求学生做好向全班同学解释自己方法的准备，在课后习题中也会有总结分享的要求．因此，数学探究和数学交流贯穿在整个教材当中，较好的培养了学生独立思考、动手解决问题、合作探究的能力，更培养了学生的创新能力和全面思考的能力．

培养数学能力６．４　整合信息技术，

信息技术与数学课程的整合越来越成为基础教育领域中一个颇受关注的问题，信息技术既能（上接第３１页）

另外，课堂教学不可忽视学生的主体地位，好的教学设计必须考虑学生的参与度，要让学生在整个探究知识的形成过教学环节中都主动积极参与、

程；教师也要充分认识学生的心理特征和知识结构，这样才能激发学生的学习兴趣和求知欲，让课堂焕发师生生命的活力，让课堂更精彩．

门的学习工具软件Ｃ其使用贯穿在整个教ＰＭＰ，教材在序言中也强调图形计算器的使学过程中．

用将贯穿整个课程，ＣＰＭＰ工具将为数学学习和问题解决提供强大的辅助功能，信息技术的使用以培养学生数学思维能力和解决问题的能力为核心．这也与《共同核心州立课程标准》中把数学工数学技术）的使用（如数学软件等）列为核心的具（

数学思维能力的要求是一致的．

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