2010年田家炳实验中学高一数学竞赛试题

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2010年田家炳实验中学高一数学竞赛试题

一.选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M 3,log2x4 ,N x,y ，且M N 2 ，函数f:M N满足：对任意的

x M,都有x f x 为奇数，满足条件的函数的个数为 （ ） A．0 B．1

C．2

D．4

2．在等差数列 an 中，已知13a6 19a9，且a1 0,sn为数列 an 的前n项和，则在

s1,s2,s3, ,s50中，最大的一个是

（ ）

C．s25

D．s30

A．s15 B．s16

1

3．已知函数f x sin4x cos2x sin2xcos2x x R ，则f x （ ）

4

A．最大值为2 B．最小正周期为 C．一条对称轴为x

4

D．一个对称中心为(

,) 168

7

4．已知函数f x 2x 1 2, 关于x的方程f2 x 2f x k 0，下列四个命题中是假命．题的是

（ ）

A．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； B．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

5．如图，在 OAB中，点P是线段OB及AB、AO

的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，

且OP xOA yOB，则在直角坐标平面上，实数对 x,y下侧部分的面积是

（ ） A．

579

B． C．4 D． 222

2

1 6．已知函数f x x4 ax3 bx2 cx d a,b,c,d为实常数 的图象经过三点A 2, ，

1 1

B 3, ，C 4, ，则

4 3

f 1 f 5 的值等于 （ ）

C．

A．0 B．1

26

D．25 5

二．填空题:本大题共有8题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在规定的横线上，每题填对得7分，共56分.

且sin 2cos sin ，若tan 3,则tan 。. 7．已知 , 0 ，

2

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8．若(x y)5 x5 y 0 ，则y 。

9．函数f n n n 2 n 3 n 100 50n n N 的最小值等于 。 1 1 3x fx f x 10．设函数f x ，若表示不大于的最大整数，则函数xx 2 2 1 3x

的值域是 。

11．已知a、b是两个相互垂直的单位向量，而c 13，c a 3，c b 4．则对于任意

实数t1、t2，c t1a t2b的最小值是

12．已知二次函数f x x2 2mx 1，若对于 0,1 上的任意三个实数a,b,c，函数值则满足条件的m的值可以是。f a ,f b ,f c 都能构成一个三角形的三边长，

1 2 3 4 5 6 7 …

（写出一个即可）

3 5 7 9 11 13 …

13．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整

8 12 16 20 24 …

数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间

20 28 36 44 …

的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则

48 64 80 …

2000在表中出现

112 144 …

… 偏… 北 14．机器人根据指令在平面上至多能完成下列两步骤：先从原点O… 沿 正东

（0 ≤ ≤90 ）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定，假定机器人行走速度为每分钟10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是 平方米．

三．解答题：本大题共有5题，满分64分，解答下列各题必须写出必要的步骤． 15．（满分12分）如图，已知O为 ABC的外心，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且满 足CO AB BO CA。

（1）推导出三边a,b,c之间的关系式； （2）求

tanAtanA

的值。

tanBtanC

B

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16．（满分12分）已知函数f x

1

，对于n N ，定义f1 x f x ,fn 1 x f fn x ，1 x

偶函数g x 的定义域为 xx 0 ，当x 0时，g x f2009 x 。 （1）求g x ；

（2）若存在实数a,b a b 使得该函数在 a,b 上的最大值为ma，最小值为mb，求非零实数m的取值范围。

2

17．（满分12分）数列 an 满足：a1 3，an 1 an 2an 2 n N*

（1）求数列 an 的通项公式； （2）求证：数列 an 中的任两项互质。 （3）记bn

11

，Sn为数列 bn 的前n项和，求S2009的整数部分；

anan 2

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18. （满分12分）已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论．

19．（满分12分）设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r．外心到重心的距离为e，内心到重心的距离为f．求证：R2 e2 ≥ 4(r2 f2)．

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2010年田家炳实验中学高一数学竞赛答案

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1．B 解：由已知得x 1,y 2，M 3,2 ,N 1,2 ，对任意的x M,都有x f x 为奇数，所以满足条件的函数只有一个即f 3 2,f 2 1。

2．A 解：由13a6 19a9得，13a6 19 a6 3d ,所以2a6 19d 0，a6 a25 a15 a16 0，又因为a1 0,所以d 0,a15 0,a16 0,故选A

11

3．D 解：因为f x sin4x 1 sin2x sin4x 1 sin2xcos2x sin4x

88

11117 7

4x ，选D =1 sin22x sin4x cos4x sin4x 488884 8

4．D 解：设t f x ,t2 2t k 0,因为对称轴为x 1,所以当t1 3,t2 1时，A答案正确；

13

当t1 0,t2 2，B答案正确；当t1 ,t2 时，C

22

5．A

解：如图过P作MN//OB，则 OP OM MP mAO nMN mAO nAN mAO n 1 m AB AO

mOA n 1 m OB m 0,0 n 1 x 0 x 0

x m 所以 y 0y

y n1 m0 n 1 1 x x y 1

如图,选A 6．D

解：由已知，设

1

g x f x x x5 ax4 bx3 cx2 dx 1

x 1

x 2 x 3 x 4 x2 mx

24

所以f x

2

x 2 x 3 x 4 x mx

1

24

x

211 25

，f 1 6 m 1 6m，

4x 24

1

6 25 5m

24 1 121 6m，所以f 1 f 5 25，选D f 5

554

二、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分。

7．1。解：由知得sin 2cos sin sin cos 3cos sin

tan 3tan tan 1

8．0。解：原方程可化为 x y x y x5 x x y x y 0 150,n 1009．4400。解：因为f n 1 f n n n 100 50

2n 50,1 n 100

5

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所以f 1 f 2 f 25 f 26 f 27 所以f n 的最小值为f 25 f 26 4400

1

10．{0，1}。解：由已知得0 f x 1,f x f x 1,所以当f x f x 时,值为1;

2

11

当0 f x 时,值为0;当 f x 1时,值为0;所以值域为 0,1

22

11．已知a、b是两个相互垂直的单位向量，而c 13，c a 3，c b 4．则对于

任意实数t1、t2，c t1a t1b的最小值是 ．

解：12．

2 22 22 2 c t1a t2b c t1a t2b 2t1c a 2t2c b 2t1t2a b

2

169 t12 t2 6t1 8t2 (t1 3)2 (t2 4)2 144≥144．

12． 0,

f x min 02

内的任一实数。解：由题意当x 0,1 时， ； 2 2f x min f x max

f x min f 0 1 0

当m 0时， 不存在；

2f x min 2 f x max f 1 2 2m m 0, 3 f x min f 1 2 2m 0

当m 1时， m ，不存在；

4 2f x min 4 4m f x max f 0 1

2

1 f x min f m 1 m 0

当0 m 时， 0 m 1， 2

2 2f x min 2 2m f x max f 1 2 2m

所以这时0 m

1

； 2

2

1 f x min f m 1 m 0

当 m 1时， ，

m 2

22fxmin 2 2m fxmax f0 1

所以这时

1 m

0 m 2n 1

13.解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2，

记第n行的第m个数为f n,m ,则f n,1 f n 1,1 f n 1,2 2f n 1,1 2n 2

f n,1 2n

f n 1,1 2n 1

1 4

算得f n,1 n 1 2n 2 f n,m f n,1 m 1 2n 1 2n 2 2m n 1 n N

2n 2 2m n 1 2000 24 53,当n 1,3,5,6时符合。答案为4。

14．机器人根据指令在平面上至多能完成下列两步骤：先从原点O沿正东偏北 （0 ≤ ≤90 ）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定，假定机器人行走速度为每分钟10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是 平方米．

解：100 200．

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三、解答题：本大题共3小题，共54分。

15．解:（1）取AB、AC的中点E、F，则 1 CO AB (CE EO) AB CE AB CB CA 2

12

a b2 4分2

12

c a2同理

2

；

所以2a2 b2 c2…… （2）

tanAtanA cosBcosC sinAsin B C

tanBtanC sinBsinC cosAsinB sinC cosA

a2

2 16分

b2 c2 a2bc

2bc

16．解：（1）因为

11x 11

f1 x f x ,f2 x f f1 x ,f3 x f fx x 2 1x 11 xx1 1

1 xx

f4 x f f3 x

1

,所以迭代函数以3为周期，f1 x

x 11

xx

2009 x f2 x

x 1

… 设x 0,则 x 0,g x g x

1

x,x 0

所以g x …

1,x 0 x

图象如右：

（2）因为a b,ma mb 0 m 0,a b 0；

又因为mb 0，所以 1 [a,b]（否则m 0,，矛盾）

1

1 ma 1 a

当a b 1,则f x 1 在( , 1]上是减函数 由题意

1x 1 mb b

111

所以a,b是方程1 mx的两不同实根, x2 x 0在 , 1 有两个不同实根，

xmm

14 0 m2m

111

g 1 1 0 m 0 15分

mm4

1

2m 1

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1 1 mb 1 a

当 1 a b 0时,则f x 1 在( 1,0)上是增函数,由题意

x 1 1 ma

b

a b不合.

1

综上所述 m 0。----------------

4

17．（1）解：因为an 1 an 1 1 an 2 1 a2 1 当n 1,a1 1 22也成立，所以an 22

1 1

n 1

2

222n 2

a1 1

2n 1

22

n 1

1；---------------------------------

（2）因为an 2 an 1 an 1 2 an 1an 2 an 2 2 an 1an 2 a2a1 所以an an 1an 2 a2a1 2，--------------------------------------------------------------- 因为an为奇数，所以对任意的n 1,an与前面项a1,a2, ,an 1 （3）解：因为an 1 2 an an 2 ，所以所以bn

21111

， ，又因为bn

an 1 2an 2ananan 2

22

，---------------------------------------------------16分；

an 2an 1 2

222

，所以S2009的整数部分为1。 2 22010

a1 2a2010 22 1

所以S2009

18．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论．

解：存在直线l，与每个圆都有公共点． 证明如下：

如图，先作直线l0，设第i个圆在直线l0上的正投影是线段AiBi，其中Ai、Bi分别是线段的左右端点．

10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有

10个右端点．

A1

A2 AkBm

B2 B1

因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设Ak是最右边的左端点，则所有右端点都在Ak的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个 圆相交矛盾．

再设Bm是最左边的右端点，同理所有左端点都在Bm的左边. Ak与Bm不重合，线段

AkBm是任意一条投影线段的一部分，过线段AkBm上某一点作直线l0的垂线l，则l与10

个圆都相交．

19．设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r．外心到重心的距离为e，

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内心到重心的距离为f．求证：R2 e2 ≥ 4(r2 f2)．

证：设点P为平面ABC上任意一点，G为△ABC重心，则

3PG PA PB PC．

∴

2 29PG (PA PB PC)

2 2 2 PA PB PC 2(PA PB PA PC PB PC)

2 2 2 2 2 2 3PA 3PB 3PC (PA PB) (PA PC) (PB PC)

2 2 2 2 2 2

3PA 3PB 3PC AB AC BC．

设AB c，AC b，BC a，则

2 2 2 212

3PG PA PB PC (a b2 c2)．

3

121222222222

当P为外心O时，3e 3R (a b c)．即 R e (a b c)．

39

12222222当P为内心I时，3f IA IB IC (a b c)．

3

如图，内切圆I切三边于D、E、F，设AE AF x，BD BF y，CD CE z．而IA x r，从而

2

2

2

B

D

∴

1

3f 3r x y z (a2 b2 c2)．

3

11

r2 f2 (a2 b2 c2) (x2 y2 z2)．

93

2

2

2

2

2

要证R2 e2 ≥ 4(r2 f2)，只要证4(x2 y2 z2) ≥ a2 b2 c2．

而2x b c a，2y a c b，2z a b c． ∴

4x2 4y2 4z2 (b c a)2 (a c b)2 (a b c)2 3(a2 b2 c2) 2(ab bc ca)．

2

2

2

2

2

2

所以只要证：3(a b c) 2(ab bc ca) ≥ a b c． 只要证：(a b) (b c) (a c) ≥ 0． 此式显然成立．

2

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vbe4.html