2012届同心圆梦专题卷专题

基础教育资源 绝密★启用前 2012届同心圆梦专题九 数学 考试范围立体几何 一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求的 1若直线l与平面垂直则下列结论正确的是 A直线l与平面内所有直线都相交 B在平面内存在直线m与l平行 C在平面内存在直线m与l不垂直 D若直线m与平面平行则直线l⊥m 2某个几何体的三视图如图所示根据图中标出的长度那么这个几何体的体积是 A3 B33 C332 D3 3理如下图所示是一个半径等于2的半球现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面则截面的面积为 A2 B C2 D80sin 文如上图所示是一个半径等于2的半球则这个半球的表面积为 A4 B8 C12 D16 4理如下图三棱锥P-ABC中三条侧棱两两垂直且长度相等点E为BC中点则直线AE与平面PBC所成角的余弦值为 A33 B36 C31 D32 文如上图三棱锥P-ABC中三条侧棱两两垂直且长度都为1点E为BC上一点则截面PAE面积的最小值为 基础教育资源 A33 B36 C42 D32 5设abc表示三条直线表示两个平面则下列命题中逆命题不成立的是 Ac若c则‖ Bbc若‖c则cb‖ Cb若b则 DbaPbabcac若则c 6一个圆锥的母线长为2且侧面积为2则该圆锥的主视图面积为 A1 B3 C2 D6 7已知长方体ABCDDCBA1111的外接球的体积为332则该长方体的表面积的最大值为 A16 B32 C36 D48 8一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的其主

视图和左视图如图所示若把这个几何体放到一个底面半径为13的盛若干水的圆柱形容器没入水中则水面上升的高度不溢出最大为 A121 B131 C12 D13 9如图四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形侧棱PA⊥平面ABCD点E在侧棱PC上且BE⊥PC若6BE则四棱锥P-ABCD的体积为 A6 B9 C18 D27 10如图四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形且6SDSCSBSAE是边BC的中点动点P在表面上运动并且总保持PE⊥AC则动点P的轨迹所围成的图形的面积为 A22 B1 C3 D6 一、填空题本大题共5小题每小题5分共25分.把正确答案填在题中横线上 11已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示则该空间几何体的体积是 基础教育资源 12理平面P与平面Q所成的二面角是锐角直线AB平面P且与二面角的棱成的角为锐角又AB和平面Q成的角为则之间的某一三角函数关系为 文我们知道正三角形的内切圆和外接圆的圆心重合且外接圆和内切圆的半径之比为2:1类比这一结论若一个三棱锥的所有棱长都相等则其外接球与内切球的球心重合则外接球与内切球半径之比为 13已知圆锥的母线和底面半径的夹角为60°则其全面积与侧面积之比为 14由曲线22xy2x围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V满足422yx1122yx1122yx的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V则1V:2V 15设圆锥的母线长为l底面半径为r满足条件“它的一个内接圆柱的侧

面积等于圆锥侧面积的41”的情况有且只有一种则lr 三、解答题本大题共6小题满分75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16本题满分10分如图四棱锥P-ABCD中底面ABCD是一个边长为2的正方形PA⊥平面ABCD且24PCM是PC的中点在DM上有点G过G和AP作平面交平面BDM于GH 1求四棱锥P-ABCD的体积 2求证:AP‖GH 17本题满分12分如图已知三棱柱CBAABC的所有棱长都是2且60ACAABA 1求证:点A在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上 2求棱柱CBAABC的体积 基础教育资源 18本题满分13分如图多面体ABCD—EFG中底面ABCD为正方形GD//FC//AEAE⊥平面ABCD其正视图、俯视图及相关数据如图: 1求证:平面AEFC⊥平面BDG 2求该几何体的体积 3求点C到平面BDG的距离 19本题满分13分如图一简单几何体的一个面ABC内接于圆OGH分别是AEBC的中点AB是圆O的直径四边形DCBE为平行四边形且DC平面ABC 1求证:GH//平面ACD 2证明平面ACD平面ADE 3若AB2BC123tanEAB试求该几何体的体积V 20本题满分13分边长为2的正方体1111DCBAABCD中P是棱CC1上任一点20mmCP 1是否存在满足条件的实数m使平面1BPD面11BBDD若存在求出m的值否则请说明理由 2理试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数mf并求1f的值 文是否存在实数m使得三棱锥PACB和四棱锥

1111DCBAP的体积相等若存在求出m的值否则请说明理由 基础教育资源 21本题满分14分如图直角梯形ABCD中90BADABCABBC且△ABC的面积等于△ADC面积的21梯形ABCD所在平面外有一点P满足PA⊥平面ABCDPBPA 1求证:平面PCD⊥平面PAC 2侧棱PA上是否存在点E使得//BE平面PCD若存在指出点E的位置并证明若不存在请说明理由 3理求二面角CPDA的余弦值 2012届同心圆梦专题卷数学专题九答案与解析 1【命题立意】本题考查直线与平面垂直的定义及直线与平面平行的简单性质 【思路点拨】首先根据直线与平面垂直的定义判断出直线与平面内所有直线的位置关系再根据直线与平面的平行性质分析直线之间的关系即可 【答案】D【解析】根据直线和平面垂直的定义可知直线l与平面内的直线都垂直可能是异面也可能相交故A、B、C都是错误的对于D在平面α内一定存在直线n与m平行且l⊥n故l⊥m所以D是正确的 2【命题立意】本题借助三视图考查三棱锥体积的求解 【思路点拨】把三视图对应的几何体还原成三棱锥根据棱锥的体积计算公式即可求解 【答案】B【解析】根据三视图可知原几何体是一个三棱锥且底面是边长为2的正三角形高为1故体积为331331V 3理【命题立意】本题主要考查球的结构及截面特征 【思路点拨】先根据条件分析出截面的特点再利用相应面积公式计算即可 【答案】C【解析】所作截面是一个半大

圆面积为2421 文【命题立意】本题主要考查球的面积计算 基础教育资源 【思路点拨】此半球的表面积是一个半球面的面积加上一个大圆的面积 【答案】C【解析】图中半球的面积为1284 4理【命题立意】本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定、直线和平面所成角的求解 【思路点拨】根据条件易知PA⊥平面PBC故直线AE与平面PBC所成的角即为∠APE再在Rt△PAE中利用三角函数的定义即可求解 【答案】A【解析】因为PA⊥PBPA⊥PC所以PA⊥平面PBC所以直线AE与平面PBC所成的角即为∠APE设PAPBPC1则2BCACAB因为E为BC中点所以26AE故

33cos22AEPAAEAEPEAPE 文【命题立意】本题借助特殊的三棱锥考查线面垂直的判定、截面面积的求解 【思路点拨】先判断三角形的形状再根据面积的表达式求最小值 【答案】C【解析】因为三条侧棱两两垂直且长度为1所以AP⊥平面PBC∴AP⊥PEPEPEAPSPAE2121故只需PE的长度最小所以PE⊥BC时22PE面积取得最小值42 5【命题立意】本题借助命题真假的判定考查直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系 【思路点拨】先写出每个命题的逆命题再逐个判断即可要注意每个命题逆命题的形式 【答案】C【解析】选项C的逆命题是b若则ab显然不成立 6【命题立意】本题以圆锥为载体考查圆锥的侧面积计算及三视图的特征 【思路点拨】先根据圆锥的侧面积公式计算出圆锥底面圆的半径

推理与证明考查空间几何体体积的计算考查逻辑推理与空间想象能力 【思路点拔】证明线面平行转化为线线平行要证明面面垂直要转化为线面垂直最终转化为线线垂直问题要注意转化的思想方法对于不规则几何体的体积求解可通过分割与补形的方法解答 【解析】1据已知连结OHGO易知GO//BE//CD即直线GO//平面ACD同理可证OH//平面ACD又GOOHO故平面ACD//平面GHO又GH平面GHO故GH//平面ACD4分 2证明:∵DC平面ABCBC平面ABC∴DCBC∵AB是圆O的直径∴BCAC且DCACC∴BC平面ADC∵四边形DCBE为平行四边形∴DE//BC∴DE平面ADC又∵DE平面ADE∴平面ACD平面ADE8分 3所求简单组合体的体积EABCEADCVVV∵2AB1BC3tan2EBEABAB ∴3BE223ACABBC∴

111362EADCADCVSDEACDCDE111362EABCABCVSEBACBCEB ∴该简单几何体的体积1V13分 20【命题立意】本题属于探索型问题考查平面垂直的性质与判断、直线与平面所成角的计算及空间想象能力的应用 基础教育资源 【思路点拨】对于1可以把平面1BPD面11BBDD作为已知条件进行分析也可以根据条件先分析再证明对于2可以根据直线与平面所成角的概念进行计算也可以利用空间向量求解 【解析】1存在满足条件的实数1m使平面1BPD面11BBDD证明如下:连接AC、AC1设对角线11BDACH则H是AC1中

点连接PH则PH是△ACC1的中位线则PH‖AC∵AC⊥BDAC⊥BB1故AC⊥平面11BBDD∴PH⊥平面11BBDD而PH平面1BPD∴平面1BPD面11BBDD5分 2理在线段AA1上取一点G使得A1Gm连接D1GBG 则易证D1GBP四点共面设点A到平面D1BP的距离为h则由11ABDGBAGDVV可得111133BGDAGDShSAB7分 在△BGD1中22248BGAGABmm22211114DGADAGm321BD 则2212248412cos2484mmmBGDmmm2222484mmmmm则21222248sin484mmBGDmmm 则

12112482BGDSBGDGmm10分而12ADGSm故

242248mhmm242248mmm设AP与平面D1BP所成的角为则2242sin2488hmfmAPmmm02m故619f13分 文由条件易得1233BPACPABCABCmVVSPC9分

11111111114233PABCDABCDmVSPC10分 由

1111DCBAPPACBVV可得24233mm可得43m故存在实数43m使得三棱锥PACB和四棱锥1111PABCD的体积相等13分 21【命题立意】本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定与性质、二面角的求解及空间想象能力 【思路点拨】对于1利用直线和平面垂直的判定定理只需证明直线CD与平面PAC内两条相交直线垂直对于2把‖BE平面PCD转化为直线的平行再进行计算即可对于3理科学生做可以利用二面角平面角的定义求解也可以利用空间向量

进行求解答案文理分开进行阐述 【解析】理1证明∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又△ABC的面积等于△ADC面积的21∴12ABBCAD在底面ABCD中因为

90ABCBAD12ABBCAD所以22ACCDAD所以CDAC又因为PAACA所以CD平面PAC而CD平面PCD∴平面PCD⊥平面PAC理4分文7分 2在PA上存在中点E使得‖BE平面PCD证明如下设PD的中点是F连结BEEFFC则//EFAD且12EFAD由已知90ABCBAD所以//BCAD又12BCAD所以//BCEF且BCEF所以四边形BEFC为平行四边形所以CFBE‖因为BE平面PCDCF平面PCD所以‖BE平面PCD理8分文14分 理3设G为AD中点连结CG则ADCG又因为平面ABCD平面PAD所以CG平面PAD过G作GHPD于H连结CH由三垂线定理可知PDCH所以GHC是二面角APDC的平面角设2AD则 基础教育资源 1PAABCGDG5DP在PAD△中GHDGPADP所以15GH所以

tan5CGGHCGH6cos6GHC即二面角APDC的余弦值为6614分

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