(完整版)电磁感应双杆模型
更新时间:2023-04-24 20:03:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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b a
c d B R M N P Q L 应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题
1.(12丰台期末12分)如图所示,两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内,导轨间的距离为L ,导轨上平行放置两根导体棒ab 和cd ,构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m 、电阻均为R ,其它电阻忽略不计,整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为B ,导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时,导体棒cd 静止、ab 有水平向右的初速度v 0,两导体棒在运动中始终不接触。求:
(1)开始时,导体棒ab 中电流的大小和方向; (2)从开始到导体棒cd 达到最大速度的过程中,矩形回路产生的焦耳热;
(3)当ab 棒速度变为4
3v 0时,cd 棒加速度的大小。
2.如图,相距L 的光滑金属导轨,半径为R 的1/4圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面,MNQP 范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场.金属棒ab 和cd 垂直导轨且接触良好,cd 静止在磁场中,ab 从圆弧导轨的顶端由静止释放,进入磁场后与cd 没有接触.已知ab 的质量为m 、电阻为r ,cd 的质量为3m 、电阻为r .金属导轨电阻不计,重力加速度为g .忽略摩擦 (1)求:ab 到达圆弧底端时对轨道的压力大小 (2)在图中标出ab 刚进入磁场时cd 棒中的电流方向 (3)若cd 离开磁场时的速度是此刻ab 速度的一半, 求:cd 离开磁场瞬间,ab 受到的安培力大小
3.(20分)如图所示,电阻均为R 的金属棒a .b ,a 棒的质量为m ,b 棒的质量为M ,放在如图所示光滑的轨道的水平部分,水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场,圆弧部分无磁场,且轨道足够长;开始给a 棒一水平向左的的初速度v 0,金属棒a .b 与轨道始终接触良好.且a 棒与b 棒始终不相碰。请问:
(1)当a .b 在水平部分稳定后,速度分别为多少?损失的机械能多少?
(2)设b 棒在水平部分稳定后,冲上圆弧轨道,返回到水平轨道前,a 棒已静止在水平轨道上,且b 棒与a 棒不相碰,然后达到新的稳定状态,最后a ,b 的末速度为多少?
(3)整个过程中产生的内能是多少?
4.(18分)如图所示,电阻不计的两光滑金属导轨相距L ,放在水平绝缘桌面上,半径为R 的1/4圆弧部分处在竖直平面内,水平直导轨部分处在磁感应强度为B ,方向竖直向下的匀强磁场中,末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab 、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab 质量为2 m ,电阻为r ,棒cd 的质量为m ,电阻为r 。重力加速度为g 。开始棒cd 静止在水平直导轨上,棒ab 从圆弧顶端无初速度释放,进入水平直导轨后与棒cd 始终没有接触并一直向右运动,最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab 与棒cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。求:
(1)棒ab 和棒cd 离开导轨时的速度大小; (2)棒cd 在水平导轨上的最大加速度; (3)两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。
B a b c d R
2 / 7 M
N Q B B a b d d C D II I
5.(20分)如图所示,宽度为L 的平行光滑的金属轨道,左端为半径为r 1的四分之一圆弧轨道,右端为半径为r 2的半圆轨道,中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场。一根质量为m 的金属杆a 置于水平轨道上,另一根质量为M 的金属杆b 由静止开始自左端轨道最高点滑下,当b 滑入水平轨道某位置时,a 就滑上了右端半圆轨道最高点(b 始终运动且a 、b 未相撞),并且a 在最高点对轨道的压力大小为mg ,此过程中通过a 的电荷量为q ,a 、b 棒的电阻分别为R 1、R 2,其余部分电阻不计。在b 由静止释放到a 运动到右端半圆轨道最高点过程中,求:
(1)在水平轨道上运动时b 的最大加速度是多大?
(2)自b 释放到a 到达右端半圆轨道最高点过程中
系统产生的焦耳热是多少?
(3)a 刚到达右端半圆轨道最低点时b 的速度是多大?
6.两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道,如图所示放置,间距为d=100cm ,在左端斜轨道部分高h=1.25m 处放置一金属杆a ,斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接,在平直轨道右端放置另一金属杆b ,杆A .b 电阻R a =2Ω,R b =5Ω,在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场,磁感强度B=2T 。现杆b 以初速度v 0=5m/s 开始向左滑动,同时由静止释放杆a ,杆a 滑到水平轨道过程中,通过杆b 的平均电流为0.3A ;a 下滑到水平轨道后,以a 下滑到水
平轨道时开始计时,A .b 运动图象如图所示(a 运动方向为正),其中m a =2kg ,m b =1kg ,g=10m/s 2,求
(1)杆a 落到水平轨道瞬间杆a 的速度v ;
(2)杆a 在斜轨道上运动的时间;
(3)在整个运动过程中杆b 产生的焦耳热。
7.(12分)如图所示,两根间距为L 的金属导轨MN 和PQ ,电阻不计,左端向上弯曲,其余水平,水平导轨左端有宽度为d 、方向竖直向上的匀强磁场I ,右端有另一磁场II ,其宽度也为d ,但方向竖直向下,磁场的磁感强度大小均为B 。有两根质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 和b 与导轨垂直放置,b 棒置于磁场II 中点C 、D 处,导轨除C 、D 两处(对应的距离极短)外其余均光滑,两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K 倍,a 棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时,它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比,即v x ?∝?。求:
(1)若a 棒释放的高度大于h 0,则a 棒进入磁场I 时会使b 棒运动,判断b 棒的运动方向并求出h 0为多少?
(2)若将a 棒从高度小于h 0的某处释放,使其以速度v 0进入磁场I ,结果a 棒以02
v 的速度从磁场I 中穿出,求在a 棒穿过磁场I 过程中通过b 棒的电量q 和两棒即将相碰时b 棒上的电功率P b 为多少?
r 1 b a r 2 B
3/ 7 8.(2014届海淀期末10分)如图21所示,两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上,左端向上弯曲且光滑,导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场,相距一段距离不重叠,磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端,磁感强度大小为B,方向竖直向上;磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B,方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上,金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放,使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
图21
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应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题答案
1.【解析】:(12丰台期末12分)
(1)ab 棒产生的感应电动势 0=BLv E ab ,(1分)
ab 棒中电流 R
BLv R E I ab 2=
2=
,(1分) 方向由b a → (1分)
(2)当ab 棒与cd 棒速度相同时,cd 棒的速度最大,设最大速度为v
由动量守恒定律 mv mv 2=0(1分)
∴ 01
2
v v =
(1分) 由能量守恒关系 Q =21mv 20-2
1
(2m )v 2 (1 分)
∴ Q =4
1mv 2
0 (1分)
(3)设ab 棒的速度为03
4
v 时, cd 棒的速度为v ′
由动量守恒定律:v m v m mv ′+4
3
=00(1分)
041=′∴v v 。
043
=v BL E ab ;
04
1
=v BL E cd ;
I =R E E cd ab 2-=R v v BL 2)
4143(00- ∴I=R
BLv 40
(2分)
cd 棒受力为 220
4B L v F IBL R
==(1分);
此时cd 棒加速度为 220
4B L v F a m Rm
==(1分) 2. 【解析】:
(1)设ab 到达圆弧底端时受到的支持力大小为N ,ab 下滑机械能守恒,
有:22
1
mv mgR ?=
…① 由牛顿第二定律:R
mv
mg N 2
=
-…②; 联立①②得:mg N 3=…③
由牛顿第三定律知:对轨道压力大小为mg N 3='…④
(2)如图(2分)(如用文字表达,正确的照样给分。如:d 到c ,或d →c ) (3)设cd 离开磁场时ab 在磁场中的速度v ab ,则cd 此时的速度为ab v 2
1,
ab 、cd 组成的系统动量守恒,有:ab ab v m v m mv 2
13?+?=…⑤ ab 、cd 构成的闭合回路:由法拉第电磁感应定律:ab BLv E =…⑥ 闭合电路欧姆定律:r
E
I 2=
…⑦
5 / 7
安培力公式:BIL F ab =…⑧联立①④⑤⑥⑦得r gR L B F ab 5222=
…⑨
3. 【解析】
(1)对a .b 棒水平轨道分析,动量守恒; 1v 是稳定时a .b 棒共同速度
1
0)(v M m mv += ①--3分, 解得)(01M m mv v += ②-1分,
损失的机械能为
2120)(2121v M m mv E +-=?)(220m M Mmv += ③-4分 (2)由于b 棒在冲上又返回过程中,机械能守恒,返回时速度大小不变12v v = ④--2分
b 棒与a 棒向右运动过程中,直到稳定,动量守恒:32)(v m M Mv += ⑤-3分
达到新的稳定状态a ,b 的末速度:203)(m M Mmv v +=
⑥-2分
(3)整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量
2320)(2121v m M mv Q +-= ⑦---3分
解得:
))(1(213220m M m M mv Q +-= ⑧--2分 4. 【解析】:
(1)设ab 棒进入水平导轨的速度为1v ,ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒:212212mv mgR ?=
①( 2分) 离开导轨时,设ab 棒的速度为/1v ,cd 棒的速度为/2v ,ab 棒与cd 棒在水平导轨上运动,动量守恒,
/2/1122mv mv mv += ② ( 2分)
依题意/1v >/2v ,两棒离开导轨做平抛运动的时间相等,由平抛运动水平位移vt x =可知
/1v :/2v =x 1:x 2=3:1 ③( 2分),联立①②③解得gR v 276/1= ,gR v 27
2/2= ( 2分) (2)ab 棒刚进入水平导轨时,cd 棒受到的安培力最大,此时它的加速度最大,设此时回路的感应电动势为ε,
BLv =ε ④ ( 1分),r I 2ε
= ⑤ ( 1分)
cd 棒受到的安培力为:BIL F cd = ⑥ ( 1分)
根据牛顿第二定律,cd 棒的最大加速度为:m
F a cd = ⑦( 1分) 联立④⑤⑥⑦解得:mr
gR L B a 2222= ( 2分) (3)根据能量守恒,两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为:
6 /
7 )21221(2212/22/121mv mv mv Q +?-?=⑧( 2分) 5.解析:(20分)
(1)由机械能守恒定律:1212
1Mgr Mv b = ∴112gr v b =-4分 b 刚滑到水平轨道时加速度最大,E=BLv b1,21R R E I +=
, 由牛顿第二定律有:F 安=BIL=Ma ∴ )
(221122R R M gr L B a +=-4分 (2)由动量定理有: -BILt=Mv b2–Mv b1, 即:-BLq=Mv b2–Mv b1 ∴M
BLq gr v b -
=122 根据牛顿第三定律得:N=N ?=mg ,221r v m N mg a =+ ∴212gr v a = ∵Q r mg mv Mv Mgr a b +++=22122122
121 ∴M q L B mgr BLq gr Q 23222221--=-6分 (3)∵能量守恒有212222
1212a a mv mv mgr -= ∴226gr v a = 3分 ∵动量守恒定律231a b b mv Mv Mv += ∴21362gr M
m gr v b -=3分 联立①⑧并代入/1v 和/2v 解得:mgR Q 4922=
( 2分)
6. 【解析】:
(1)25m/s v gh ==,
(2)b 棒,()20-=?v m t I Bd b ,得5t s ?=
(3)共产生的焦耳热为22011161()226
a b a b Q m gh m v m m v J '=+?-+= B 棒中产生的焦耳热为5115J 19J 256
Q Q '==≈+
7. 【解析】(12分):
(1)根据左手定则判断知b 棒向左运动。(2分)
a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒,有2012mgh mv =
得: 02v gh =(1分) a 棒刚进入磁场I 时 E BLv = , 此时感应电流大小 2E I R
= 此时b 棒受到的安培力大小F BIL =,依题意,有F Kmg =,求得:222
0442K m gR h B L
=(3分) (2)由于a 棒从小于进入h 0释放,因此b 棒在两棒相碰前将保持静止。流过电阻R 的电量q I t =? ;
又因:E B S I R R t R t φ??===??总总总
所以在a 棒穿过磁场I 的过程中,通过电阻R 的电量:,
7 / 7 故:2B S BLd q R R
?==总(3分)(没有推导过程得1分) 将要相碰时a 棒的速度 00002224
v v v v d v d -=-?=(1分) 此时电流:028BLv BLv I R R
==(1分),此时b 棒电功率:2222064b B L v P I R R ==
8.【解析】
(1)① a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒,有 ① 解得: ②
a 棒刚进入磁场I 时 ③, 此时通过a 、
b 的感应电流大小为 2E I R =
解得: ④ ② a 棒刚进入磁场I 时,b 棒受到的安培力大小
⑤ 为使b 棒保持静止必有 F ≤51mg ⑥ 由④ ⑤ ⑥联立解得:h ≤442250L
B R gm ⑦ (2)由题意知当金属棒a 进入磁场I 时,由左手定则判断知a 棒向右做减速运动;b 棒向左运动加速运动。
二者产生的感应电动势相反,故当二者的感应电动势大小相等时闭合回路的电流为零,此后二者均匀速运动,故金属棒a 、b 均匀速运动时金属棒b 中产生焦耳热最大,
设此时a 、b 的速度大小分别为与,由以上分析有:BL =2BL ⑧
对金属棒a 应用动量定理有:
⑨
对金属棒b 应用动量定理有: ⑩ 联立⑧⑨⑩解得 ;
由功能关系得电路产生的总电热为:
故金属棒b 中产生焦耳热最大值为
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