实变函数试卷

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn Ak; （B）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

（C）limAn Ak; （D）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P c (B) mP 0 (C) P P (D) P P 3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

4、设 fn(x) 是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x) f(x), 则fn(x) f(x) (B) sup fn(x) 是可测函数

n

'

（C）inf fn(x) 是可测函数;（D）若fn(x) f(x),则f(x)可测

n

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) 二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA CsB) (A (A B)) _________

2、设E是 0,1 上有理点全体，则E=______,E=______,E=______.

'

'

ba

f'(x)dx f(b) f(a)

o

3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，

则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为 a,b 上的有限函数，如果对于 a,b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称f(x)为 a,b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设E R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

2、若mE 0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数

4．设f(x)在可测集E上可积分，若 x E,f(x) 0，则 f(x) 0

E

四、解答题（8分×2=16分）.

x2,x为无理数

1、（8分）设f(x) ，则f(x)在 0,1 上是否R 可积，是否L 可积，

1,x为有理数

若可积，求出积分值。

ln(x n) x

cosxdx

0nn

五、证明题（6分×4+10=34分）.

2、（8分）求lim

1、（6分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为c.

2、（6分）设f(x)是 , 上的实值连续函数，则对于任意常数a,E {x|f(x) a}是闭集。

3、（6分）在 a,b 上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。 4、（6分）设mE ,f(x)在E上可积，en E(|f| n)，则limn men 0.

n

5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意 0，存在闭子集F E，使f(x)在F 上连续，且m(E F ) ，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1． 2、 0,1 ； ； 0,1 3、m*T m*(T E) m*(T CE)

n

4、充要 5、 |f(xi) f(xi 1)| 成一有界数集。

i 1

三、1．错误2分例如：设E是 0,1 上有理点全体，则E和CE都在 0,1 中稠密5分

．错误2分例如：设E是Cantor集，则mE 0，但E c ， 故其为不可数集

5分

x,x E;

3．错误例如：设E是 a,b 上的不可测集，f(x)

x,x a,b E;

则|f(x)|是 a,b 上的可测函数，但f(x)不是 a,b 上的可测函数… 4．错误mE 0时，对E上任意的实函数f(x)都有 f(x)dx 0

E

四、1．f(x)在 0,1 上不是R 可积的，因为f(x)仅在x 1处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为f(x)是有界可测函数，f(x)在 0,1 上是L 可积的…6分

1

因为f(x)与xa.e.相等，进一步， f(x)dx x2dx …8分

0 0,1 3

ln(x n) x

ecosx，则易知当n 时，fn(x) 0 2分 2．解：设fn(x)

n

2

1

lnt 1 lnt又因 2 0，(t 3)，所以当n 3,x 0时，

t t

ln(x n)n xln(x n)n xln3ln3 (1 x)………………4分 nnx nn33

ln3

(1 x)e x…………………………………6分 从而使得|fn(x)| 3

'

但是不等式右边的函数，在 0, 上是L可积的，故有

lim fn(x)dx limfn(x)dx 0…………………………………8分

n

n

五、1．设E [0,1],A E Q,B E\(E Q).

B是无限集， 可数子集M B …………………………2分 A是可数集， A M M. ……………………………….3分

B M (B\M),E A B A M (B\M),且(A M) (B\M) ,M (B\M) ,

…………..5分

E B, B c.………………………………………………6分 2． x E ,则存在E中的互异点列{xn},使limxn x……….2分

n

xn E, f(xn) a………………………………………….3分

f(x)在x点连续， f(x) limf(xn) a

n

x E………………5分

E是闭集.………………………….6分

3.

n

对 1， 0，使对任意互不相交的有限个(ai,bi) (a,b) 当 (bi ai) 时，有 f(b)i f(ai) 1………………2分

i 1

i 1n

将[a,b]m等分，使

k

x x

ii 1

n

i 1

，对 T:xi 1 z0 z1 zk xi，有

f(z

i 1

i

f(x)在[xi 1,xi]上是有界变差函数……………….5分 ) fz()，所以1i 1

b

所以V(f) 1,从而V(f) m，因此，f(x)是[a,b]上的有界变差函数………..6分

xi 1

a

xi

4、f(x)在E上可积 limmE(|f| n) mE(|f| ) 0……2分

n

据积分的绝对连续性， 0, 0, e E,me ，有 |f(x)|dx ……….4分

e

,k ,n 对上述 0

n

k,mE (|f |n，从而n men |f(x)|dx ，即

en

linm mne …………………06分

5． n N,存在闭集Fn E,m E Fn

1

,f(x)在Fn连续…………2分 2n

令F Fn，则 x F k,x Fn, n k,x Fn f(x)在F连续………4分

k 1n k

n k

又对任意k,m E F m[E ( Fn)] m[ (E Fn)]

n k

n k

m(E Fn)

n k

1

…………………………………………….6分 k2

故m(E F) 0,f(x)在F E连续…………………………..8分 又m(E F) 0,所以f(x)是E F上的可测函数，从而是E上的

可测函数………………………………………………………..10分

《实变函数》试卷二

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M (M N)=（ ）

(A) M (B) N (C) M N (D) 2. 下列说法不正确的是( )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列 Pn ，使Pn P0，则P0是

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；

5. 若f(x)是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) f(x)在 a,b L 可积 |f(x)|在 a,b L 可积； (B) f(x)在 a,b R 可积 |f(x)|在 a,b R 可积 (C) f(x)在 a,b L 可积 |f(x)|在 a,b R 可积; (D) f(x)在 a, R 广义可积 f(x)在 a,+ L 可积 二. 填空题(3分×5=15分)

11

1、设An [,2 ],n 1,2, ，则An _________。

nnn

2、设P为Cantor集，则 P ，mP _____，P=________。

3、设 Si 是一列可测集，则m Si ______ mSi

i 1 i 1

o

4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________ 5、设F(x)为 a,b 上的有限函数，如果_________________________________

______________________________则称F(x)为 a,b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×

4=20分)

1、由于 0,1 0,1 0,1 ，故不存在使 0,1 和 01 ， 之间1 1对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。 四.解答题(8分×2=16分)

x,x为无理数

1、设f(x) ，则f(x)在 0,1 上是否R 可积，是否L 可积，若可积，

1,x为有理数

nx3

sinnxdx.

n 01 n2x2

五.证明题(6分×3+ 8 2 =34分)

求出积分值。2、求极限 lim

1

E {x|f(x) c} 1.(6分) 1、设f(x)是( , )上的实值连续函数，则对任意常数 c，

是一开集.

2.(6分) 设 0, 开集G E,使m*(G E) ，则E是可测集。

3. （6分）在 a,b 上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。 4.（8分）设函数列fn(x) (n 1,2, )在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x)。

5.（8分）设f(x)在E a,b 上可积，则对任何 0，必存在E上的连续函数 (x)，使 |f(x) (x)|dx .

ab

试卷二（参考答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1， 0,2 2，c ；0 ； 3，

4，设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，

则对任意 0，存在闭子集E E，使得f(x)在E 上是连续函数，且m(E\E ) 。 5，对任意 0, 0，使对 a,b 中互不相交的任意有限个开区间

ai,bi ,i 1,2, ,n,只要 bi ai ，就有 |F(bi) F(ai)|

i 1

i 1

nn

(0) r1 (1) r 2

三、1．错误 记(0,1)中有理数全体R {r1,r2, }

(r) r,n 1,2 n 2 n 1]中无理数， (x) x,x为[0，

显然 是[01]，到（0，1）上的1 1映射。……………………………5分

2．正确…设Ei为零测度集， 0 m( Ei) mE 0，所以，m( Ei) 0

*

*

*

i 1

i 1

i 1

因此， Ei是零测度集。………………………………………5分

i 1

1,x (0,n]

3．错误。例如：取E (0, ),作函数列：fn(x) n 1,2,

0,x (n, )显然fn(x) 1,当x E。但当0 1时，E[|fn 1| ] (n, ) 且m(n, ) 这说明fn(x)不测度收敛到1.………………5分

xcos,0 x 1,

4．错误……2分例如：f(x) 显然是 0,1 的连续函数。 2x

0,x 0.

如果对 0,1 取分划T:0

2n

n

1111 1，则容易证明 2n2n 132

11

|f(xi) f(xi 1)| ，从而得到V(f) …………………5分 0i 1i 1i

四、1．f(x)在 0,1 上不是R 可积的，因为f(x)仅在x 1处连续， 即不连续点为正测度集………………………………………3分

因为f(x)是有界可测函数，所以f(x)在 0,1 上是L 可积的…………….6分 因为f(x)与xa.e.相等, 进一步， f(x)dx xdx

0,10

1

1

……8分 2

2设fn(x)

nx

sin3nxdx，则易知当n 时，fn(x) 0………………2分 22

1 nx

又|fn(x)|

nx

……………………………4分

1 n2x2

但是不等式右边的函数，在 0, 上是L可积的……………6分 故有lim fn(x)dx limfn(x)dx 0…………………………8分

n

n

五、1． x E,f(x) c………………………………………..1分

f(x)在x点连续， 对 f(x) c 0, U(x, ),当y U(x, )时，

有f(y) f(x) …………………………………………3分 f(x) c f(y) f(x) f(x) c f(y) c， y E……5分 因此U(x, ) E，从而E为开集………………………………..6分 2．对任何正整数n，由条件存在开集Gn E,使m*(Gn E)

1

…1分 n

令G Gn，则G是可测集…………………………………3分

n 1

又因m*(G E) m*(Gn E)

1

对一切正整数n成立，因而m*(G E) 0，即n

M G E是一零测度集，所以也可测.………………5分

由E G (G E)知，E可测。…………………………………6分 3、易知g(x) V(f)是 a,b 上的增函数………………………2分

ax

令h(x) g(x) f(x), 则对于a x1 x2 b有

h(x2) h(x1) g(x2) g(x1) [f(x2) f(x1)]

V(f) [f(x2) f(x1)] |f(x2) f(x1)| [f(x2) f(x1)] 0

x1x2

所以h(x)是 a,b 上的增函数……………………………………4分

因此f(x) g(x) h(x)，其中g(x)与h(x)均为 a,b 上的有限增函数…….6分 4、因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的k Z ，存在可

测集Ek E，fn(x)在Ek上一致收敛于f(x)，且m(E\Ek)

*

1

………3分 k

令E Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………5分

k 1

m(E\E) m(E\ Ek) m(E\Ek)

*

k 1

1

，k=1,2 k

所以m(E\E*) 0………………………………………………8分

5、证明：设en E[|f| n],由于f(x)在E上a.e.有限，故men 0,(n )….2分 由积分的绝对连续性，对任何 0, N，使N meN |f(x)|dx

eN

4

………4分

令BN E\eN，在BN上利用鲁津定理，存在闭集FN BN和在R1上的连续函数 (x)使（1）

m(BN\FN)

x FN

su px |

x R1

4N

(fx) |N……………………sup|(6分) |

;

（2）

x FN

时，f(x ) (x，且

所以

b

a

|f(x) (x)|dx |f(x) (x)|dx |f(x) (x)|dx

eN

BN

eN

eN

BN\FN

|f(x)|dx | (x)|dx

|f(x) (x)|dx

………...8分

4

N meN 2N

4N

4

4

2

《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）

一、一 单项选择题（3分×5=15分）

1

1、设An [,2 ( 1)n],n 1,2, ，则（ B ）

n

(A) limAn [0,1] （B）An (0,1]

n

n

(C) limAn (0,3] （D）An (0,3)

n

n

2、设E是 0,1 上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E [0,1] (B) E (C) E=[0，1] (D) mE 1 3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A B，则m*A m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍

'

o

为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1 E2 En ，且mE1 ，则有（ A ）

（A）m En limmEn (B) m En limmEn

n 1 n n 1 n

（C）m En limmEn;（D）以上都不对

n 1 n

5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ） (A) f(x)在[a,b]上的一致连续函数 (B) f(x)在[a,b]上处处可导 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) f(x)是有界变差函数

二. 二 填空题(3分×5=15分)

1、设集合N M，则M (M N) ______N____

2、设P为Cantor集，则 P c ，mP _0____，P=___ _____。 3、设

E

o

是

Rn

中点集，如果对任一点集T都有

___m*T m*(T E) m*(T CE)_______，则称E是L可测的

4、叶果洛夫定理：设m(E) ,{fn}是E上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数f 的

可测函数，则对任意 0,存在子集E E，使{fn}在E 上一致收敛且

m(E\E ) 。

5、设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积的 充要 条件是|f(x)|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)

1、任意多个开集之交集仍为开集。

解：不成立 …………2分

11

反例：设Gn=( 1 , 1 ),n=1,2, , 每个Gn为开集

nn

但

G

n 1

n

[ 1,1]不是开集. …………5分

2、若mE 0，则E一定是可数集.解：不成立 反例:设E是Cantor集，则

mE 0， 但E c ， 故其为不可数集 .5分

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 …2分

1,x (0,n]

例如：取E (0, ),作函数列：fn(x) n 1,2,

0,x (n, ) 显然fn(x) 1,当x E。但当0 1时，E[|fn 1| ] (n, ) 且m(n, ) 这说明fn(x)不测度收敛到1 …………5分 4、连续函数一定是有界变差函数。

解：不成立 ……………… 2分

xcos,0 x 1,

例如：f(x) 显然是 0,1 的连续函数。 2x

0,x 0.

如果对 0,1 取分划T:0

2n

n

1111

1，则容易证明 2n2n 132

11

|f(xi) f(xi 1)| ，从而得到V(f) …………………5分 0i 1i 1i

四、解答题（8分×2=16分）.

x2,x为无理数1、（8分）设f(x) ，则f(x)在 0,1 上是否R 可积，是否L 可积，

0,x为有理数

若可积，求出积分值。

解：f(x)在 0,1 上不是R 可积的，因为f(x)仅在x 0处连续，即不连续点为正测度集 ……..3分

因为f(x)是有界可测函数，f(x)在 0,1 上是L 可积的 …6分

1

因为f(x)与xa.e.相等，进一步， f(x)dx x2dx …8分

0 0,1 3

2

1

2、求极限 lim

n

nx3

sinnxdx

01 n2x2

1

12

12

解：记fn(x)

nx

sin3nx 22

1 nx

则fn(x)在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积. ……………..2分

又 limfn(x) 0,x [0,1] ………………4分

n

nxnx1 23

|fn(x)| |sinnx| || x x [0,1],n 1,2, ……….6分 2222

21 nx1 nx

1212

1

1

且 x2在[0,1]上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 2

1nx3

sinnxdx 00dx 0 ……………、….8分 0n n 01 n2x2

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1

lim(R) fn(x)dx lim

11

12

1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体Q {r1,r2, },令

(0) r1

(1) r 2

(x)

(r) r,n 1,2 n 2 n 1]中无理数， (x) x,x为[0，

显然 是[01]，到（0，1）上的1 1映射 ……………………………5分 所以(0,1)~[0,1] …………………………………6分

2、（6分）设f(x)是( , )上的实值连续函数，则对任意常数 c，E {x|f(x) c} 是一开集.

证明: x0 E,即f(x0) c. …….1分 因f（x）连续，故 0, x (x0, )时，有f(x） c. ………….4分 即 (x0) E.所以x0是E的内点.

由x0的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集. ……………6分

g(x)是E的可测函数，3、（6分）设f(x)是可测集E的非负可积函数，且|g(x)| f(x)，

则g(x)也是E上的可积函数。

证明： |g(x)| f(x)， g (x) f(x),g (x) f(x) …………………1分

g (x) ndx

En

En

( )dx f fx

n

E

x(dx)

f(x)是可测集E的非负可积函数

g(dx) lim (x) ndx fx

n

En

E

g (x)是E上的可积函数. ………………….. 4分 同理，g (x)也是E上的可积函数.

g(x)是E上的可积函数。 ……………… 6分 4、（6分）设f(x)在E上积分确定，且f(x) g(x)a.e于E，则g(x)在E上 也积分确定，且 f(x)dx g(x)dx

E

E

证明： f(x) g(x)a.e于E

[f mE

g] 0

E[ f

]g

E[f g]

f(x)d x

E[f g]

g()x dx 0

E[f g]

E

f(x)dx f(x)dx

E[ f

]g

f(x)dx

E

E[f g]

g(x)d x g()x d x

(g) xdx

f(x)在E上积分确定， g(x)在E上也积分确定，且 Ef(x)dx Eg(x)dx 5、（10分）设在E上fn(x) f(x),而fn(x) gn(x)a.e.成立,n 1,2, ,则有

gn(x) f(x)

证明:记En E[fn gn],由题意知mEn 0

由m( En) mEn 0知m( En) 0 2分

n 1

n 1

n 1

对任意 0,由于E[|gn f| ] ( En) E[|fn f| ]

n 1

从而有: mE[|gn f| ] m( En) m(E[|fn f| ]) m(E[|fn f| ])

n 1

6分 又因为在E上fn(x) f(x),故limm(E[|fn f| ]) 0 8分

n

所以0 limm(E[|gn f| ]) limm(E[|fn f| ]) 0

n

n

于是: limm(E[|gn f| ]) 0

n

故在E上有gn(x) f(x) 10分

《实变函数》试卷四（参考答案及评分标准） 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设P为Cantor集，则 （A）P 0 (B) mP 1 (C) P P (D) P P 2. 下列说法不正确的是( C )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列 Pn ，使Pn P0，则P0是

'

(D) 内点必是聚点

3.设f(x)在E上L可积,则下面不成立的是( C ) (A)f(x)在E上可测 (B)f(x)在E上a.e.有限 (C)f(x)在E上有界 (D)f(x)在E上L可积

4. 设{En}是一列可测集，E1 E2 En ，则有（B ）。

（A）m En limmEn (B) m En limmEn

n 1 n n 1 n

（C）m En limmEn;（D）以上都不对

n 1 n

5.设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积

(C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)f(x)在[a,b]上绝对连续 二. 填空题(3分×5=15分)

11

1、设An [,2 ],n 1,2, ，则An _（0，2）________。

nnn

2、设E R,若E E,则E是 闭 集；若E E，则E是集；若

E E'，则E是___完备_____集.

3、设 Si 是一列可测集，则m Si ___ ___ mSi i 1 i 1

4、鲁津定理：___设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意 0，存在闭子集

E E，使得f(x)在E 上是连续函数，且m(E\E ) _____

___，则称f(x)为 a,b 上的有界变差函数。

5、设f(x)为 a,b 上的有限函数，如果对于 a,b 的一切划分，使

n

|f(xi) f(xi 1)| 成一有界数集，则称f(x)为 a,b 上的有界变差函数。 i 1 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A为可数集，B为至多可数集，则A B是可数集.

解：成立 2分 因A可数,所以可设A={a1,a2, ,an, }, 又B至多可数,设B={b1,b2, ,bn}(当B有限时),或

B={b1,b2, ,bn, }(当B可数时)

当B有限时,

A B b1,b2, ,bn;a1,a2, ,an,

当B可数时,

A B b1,a1,b2,a2 ,bn;an,

所以A B可数. 5分 (注:可分A B 和A B 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法). 2、若mE 0，则m 0.

解：不成立. .2分

反例：E为[0,1]中的全体有理点集，则有mE 0，而m 1 5分 注：其余例只要正确即可。

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数 解：不成立. 2分

x,x E;

例如：设E是 a,b 上的不可测集，f(x)

x,x a,b E;

则|f(x)|是 a,b 上的可测函数，但f(x)不是 a,b 上的 可测函数 5分 4．设f(x)在可测集E上可积分，若 x E,f(x) 0，则 f(x) 0

E

解：不成立. 2分

mE 0时，对E上任意的实函数f(x)都有 f(x)dx 0 5分

E

四.解答题(8分×2=16分) 1、（8分）设

x,x为无理数

，则f(x)在 0,1 上是否R 可积，是否L 可积，f(x)

1,x为有理数

若可积，求出积分值。

解：f(x)在 0,1 上不是R 可积的，因为f(x)仅在x 1处连续，即不连续点为正测

度集………………………………………..3分

因为f(x)是 0,1 上的有界可测函数，f(x)在 0,1 上是L 可积的…6分 因为f(x)与xa.e.相等，进一步， f(x)dx xdx

0,10

1

1

…8分 2

ln(x n) x

cosxdx

0nnln(x n) x

ecosx，则易知当n 时，fn(x) 0 解：设fn(x)

n

…………………………..2分

2、（8分）求lim

lnt 1 lnt又因 2 0，(t 3)，所以当n 3,x 0时，

tt

ln(x n)n xln(x n)n xln3ln3 (1 x)………………4分 nnx nn33

'

从而使得|fn(x)|

ln3

(1 x)e x…………………………………6分 3

但是不等式右边的函数，在 0, 上是L可积的，故有

lim fn(x)dx limfn(x)dx 0…………………………………8分

n

n

五.证明题(6分×3+ 8 2 =34分)

1、（6分）设f(x)是 , 上的实值连续函数，则对于任意常数a,E {x|f(x) a}是闭集。

证明： x E ,则存在E中的互异点列{xn},使limxn x……….2分

n

xn E, f(xn) a………………………………………….3分

f(x)在x点连续， f(x) limf(xn) a

n

x E…………………………………………………………5分

E是闭集.…………………………………………………….6分

2.(6分) 设 0, 开集G E,使m*(G E) ，则E是可测集。 证明：对任何正整数n，由条件存在开集Gn E,使m*(Gn E)

1

n

…………………………………1分

令G Gn，则G是可测集 …………………………………3分

n 1

1

对一切正整数n成立，因而m*(G E) 0， n

即M G E是一零测度集，所以也可测.

…………………………………………………………………5分

又因m*(G E) m*(Gn E)

由E G (G E)知，E可测。………………………………… 6分

limfn(x) f(x)a.e.于E，3.（6分） 设{fn(x)}为E上可积函数列，且 |fn(x)|dx k，

n

E

k为常数，则f(x)在E上可积.

由limfn(x) f(x)a.e于E得lim|fn(x)| |f(x)|a.e于E ………….1分

n

n

再由Fatou引理

|f|dx lim|f

E

En

n

|dx lim |fn|dx k ….4分

n E

所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ………..6分 4.（6分）设函数列fn(x) (n 1,2, )在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x).

证明： 因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的

k Z ，存在可测集Ek E，fn(x)在Ek上一致收敛于f(x)，且m(E\E k)

*

1

…2分 k

令E Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………4分

k 1

m(E\E) m(E\ Ek) m(E\Ek)

*

k 1

1

，k=1,2 k

所以m(E\E*) 0………………6分

5.（10分）试用Fatou引理证明Levi定理.

证明：设 fn 为可测集E Rq上的一列非负可测函数，且在E上有

fn(x) fn 1(x),n 1,2, ，令f(x) limfn(x) ….……………2分

n

由 fn 为单调可测函数列知，f(x)可测，且fn(x) f(x) 于是

E

fn(x)dx f(x)dx

E

E

E

从而 lim fn(x)dx f(x)dx …（*） ………6分

n

另一方面，因 fn 为可测集E Rq上的一列非负可测函数，由Fatou引理知

E

f(x)dx limfn(x)dx lim fn(x)dx …（**） ….……………8分

E

n

n

E

n

E

E

由（*）、（**）两式即证lim fn(x)dx f(x)dx ….……………10分

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