高中数学全套导学案新人教版选修二(2)原创

高中数学全套导学案新人教版选修二（2）

高二数学上学期教学计划

一、 指导思想

“师者，传道授业解惑也。”教育的兴衰维系国家之兴衰，孩子的进步与徘徊事关家庭的喜怒哀乐！数学这一科有着冰冻三尺非一日之寒地学科特点，在高考中的决定性作业亦举重非轻，夸张一点说数学是强校之本、升学之源。鉴于此，我们当举全组之力，充分发挥团队精神，既分工合作，立足高考，保质保量地完成教育教学任务，在原来良好的基础上锦上添花。

二、 工作目标

1、全组成员精诚团结、互相关心、互相支持，弘扬一种同志加兄弟的同仁关系，力争使我们高一数学组成为一个充满活力的优秀集体。

2、不拘形式不拘时间地点的加强交流，互相之间取长补短、与时俱进、教学相长。

3、在日常工作中，既保持和优化个人特色，又实现资源共享，同类班级的相关工作做到基本统一。

三、 工作思路

本学期高二数学备课组工作总体思路是：1、认真贯彻落实学校教务处对学科备课组工作的各项要求；2、强化数学教学研究，提高全组老师的教研水平和教学能力，开展好备课组的集体备课活动；3、继续钻研新教材，认真领会新课标对高一数学教学的总体要求。

四、 活动设想

1、 按时完成学校（教导处、教研组）相关工作； 2、 轮流出题，讲求命题质量，分章节搞好集体备课；

3、 每周集体备课一次，每次有一个中心发言人，组织进行教学研讨； 4、 互相听课，一人之长补己之短，完善自我；

5、 认真组织好培优辅差工作以及各类竞赛的组织工作。

第一章 推理与证明

课题：合情推理（一）——归纳推理

课时安排：一课时 课型：新授课 教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入：

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：

1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、 三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540? 由此我们猜想：凸边形的内角和是(n?2)?180? 3、

22?122?222?1aa?m?,?,?,?，由此我们猜想：?（a,b,m均为正实数） 33?133?233?3bb?m这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：

⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 实验，观察 概括，推广 猜测一般性结论

三、例题讲解：

例1已知数列?an?的通项公式an?1(n?N?)，f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，

(n?1)2试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。 【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1）f(1)?1?a1?1?13? 44

13824f(2)?(1?a1)(1?a2)?f(1)?(1?)????)

9493612155f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?f(2)?(1?)???

163168由此猜想，f(n)?n?2

2(n?1)学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。 2）三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习：

11135??????n(?N?，)经计算: f(2)?,f(4)?2,f(8)?, 23n227f(16)?3,f(32)?，推测当n?2时，有__________________________.

2332?2?2?2?2?2?2、已知：sin30?sin90?sin150?，sin5?sin65?sin125?。

22?1、已知f(n)?1观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。 3、观察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1。

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

注：归纳推理的几个特点：

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.

归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、教学小结：

1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

六、作业：

????????????教后反思：

课题：类比推理 ●教学目标：

（一）知识与能力：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问 题的发现中去。

（二）过程与方法：

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 （三）情感态度与价值观：

1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。 ●教具准备：与教材内容相关的资料。 ●课时安排：1课时 ●教学过程： 一．问题情境

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：

茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？ 二．数学活动

我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;

(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a＞b?a2＞b2;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球的性质 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离的两弦不等，距圆心较近的弦较长 不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切线的直线必经过切点 直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：

⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即

观察、比较 联想、类推 猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的

papbpc距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

???1 hahbhc试通过类比,写出在空间中的类似结论.

巩固提高

1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形 ∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c 3个面两两垂直的四面体 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S 3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同

一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么

的值为______________，这个数列的前n项和________________ 课堂小结

的计算公式为教后反思：

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 2． 类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

不等式证明一（比较法）

比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法 一、作差法：若a，b∈R，则： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.

作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论. 例1、求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)?例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

23223223223?0， ∴x2 + 3 > 3x 4a?ma? b?mb 证：

a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a) ，∵a,b,m都是正数，并且a

b?mbb(b?m)∴b + m > 0 , b ? a > 0∴

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？ 例3：已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 ) = a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0，又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0，即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例4：甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ? n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2， 则：

t1tm?1n?S,222SS(m?n)SS,t2???t2 可得：t1? m?n2mn2m2n2SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2∴t1?t2? ????m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)∵S, m, n都是正数，且m ? n，∴t1 ? t2 < 0 即：t1 < t2 从而：甲先到到达指定地点。

例5：是一道利用不等式解决实际问题的例题.我们先用类比列方程解应用题的步骤，然后参考列方程解应用题的步骤，分析题意，设未知数，找出数量关系(函数关系、相等关系或不等关系)，列出函数关系、等式或不等式，求解，作答等.整个解答过程体现了比较法解决不等关系等实际问题中发挥着重要的作用.

变式：若m = n，结果会怎样？

二、作商法：若a>0，b>0，则：

aaa＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1?a＜b bbb它的三个步骤：作商——变形——判断与1的大小——结论.

作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小。

例5、设a, b ? R+，求证：aabb?(ab)a?b2?abba

证：先证不等式左≥中：由于要比较的两式呈幂的结构，故结合函数的单调性，故可采

用作商比较法证明. 作商：

aabb(ab)a?b2?aa?b2bb?a2a?()ba?b2，由指数函数的性质

a当a = b时，()ba?b2?1

a?ba?0,()2ba?b2a 当a > b > 0时，?1,b?1

a?b2a当b > a > 0时， 0??1,b即ab?(ab)aba?b2a?ba?0,()2b?1

+

1a?bbaa?b?(a?b)） （中≥右请自己证明，题可改为a, b ? R，求证：2作业补充题：

1.已知a、b?0,求证：

42ba11??? 22abab32求证：1?2x?x?2x

?*3.已知a,b?R,m,n?N,m?n,求证：a?b?ammm?n?bn?an?bm?n

4.已知c＞a＞b＞0，求证

ab?. c?ac?baa?cc??. bb?dd5.已知a、b、c、d都是正数，且bc＞ad，求证

不等式证明二（综合法）

一、 综合法：

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。（也叫顺推证法或由因导果法） 例1、已知a, b, c是不全相等的正数，

求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

分析：不等式左边含有“a+b”的形式，我们可以运用基本不等式：a+b≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：ab,bc,ca,ab,bc,ca的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以运用重要不等式：a+b+c≥3abc. 证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得，我们只要先把减了元的较简单的不等式证出，即可完成原不等式的证明。 例2、a , b, c?R, 求证：1?(a?b?c)(3

3

3

2

2

2

2

2

2

2222

111??)?9 abc1119??)? 2?(a?b?c)(a?bb?cc?a2abc3??? 3?

b?cc?aa?b2证：1?、法一：a?b?c?33abc, 法二：左边?1111, 两式相乘即得。 ???33abcabca?b?ca?b?ca?b?cbacacb???3?(?)?(?)?(?) abcabacbc ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2?、∵

a?bb?cc?a33???(a?b)(b?c)(c?a) 22221111 两式相乘即得 ???33a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)3?、由上题：(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a2cab9abc3?1??1??，即：??? ∴1?a?bb?cc?a2b?cc?aa?b22222例3、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a?b?c?(a?b?c) 证明：左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比数列，∴b?ac

又∵a，b，c都是正数，所以0?b?2ac≤

a?c?a?c，∴a?c?b 2∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0∴a2?b2?c2?(a?b?c)2 说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点 例4、制造一个容积为V（定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？

分析：根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路. 解：设容器底半径为r,高为h,则V=πrh,h=(1)当容器有盖时，所需用料的面积： S=2πr+2πrh=2πr+

2

2

2

V. ?r22VV2V2VV2=2πr++≥332?r???332?V rrrrr当且仅当2πr=

2

Vr1VV,即r=3,h=2=2r,取“=”号.故?时用料最省.

?rh2r2?2

2

（2）当容器无盖时，所需用料面积：S=πr+2πrh=πr+

2VV2V=πr++≥33?V2

rrr当且仅当πr=作业补充题：

2

VVV,r=3,h=2=r.即r=h时用料最省.

?rr?1、设a, b, c ? R，

1?求证：a?b?222(a?b) 22?求证：a2?b2?b2?c2?c2?a2?3?若a + b = 1, 求证：a?2(a?b?c)

11?b??2 222、设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).

3、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).

a?b3a3?b3)?4、已知a, b?R，求证：( 22+

5、设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a?12125)?(b?)2? ab2

不等式证明三（分析法）

当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。 例1、求证：3?7?25

证：分析法： 综合表述： ∵3?7?0,25?0 ∵21 < 25

只需证明：(3?7)2?(25)2 ∴21?5

展开得： 10?221?20 ∴221?10 即： 221?10 ∴10?221?20 ∴

21?5 ∴(3?7)2?(25)2

即： 21 < 25（显然成立） ∴3?7?25 ∴3?7?25

例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：(x?y)?(x?y)

证一：（分析法）所证不等式即：(x?y)?(x?y) 即：x?y?3xy(x?y)?x?y?2xy 即：3xy(x?y)?2xy

2222336622226633223332221231332xy 3222 ∵x?y?2xy?xy成立

3 只需证：x?y?22 ∴ (x2?y)?(x3?y)

证二：（综合法）∵(x?y)?x?y?3xy(x?y)?x?y?6xy

2236622226633122133 ?x6?y6?2x3y3?(x3?y3)2 ∵x > 0，y > 0， ∴(x?y)?(x?y)

例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0

证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0

22123133a2?b2?c2 展开得：ab?bc?ca??

2 ∴ab + bc + ca ≤ 0

证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即证：a?b?c?ab?bc?ca?0

即：[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0 （显然） ∴原式成立

证三：∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b

∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)2 = ?a2 ?b2 ?ab

22212222b23b2]?0 = ?[(a?)?24a2?b2?22，并求等号成立的条件。 例4、已知a?b?0,ab?1，求证：

a?b分析：不等式右边是常数，能否用平均值定理？应当可以。（找条件一正、二定、三相等）

如何把左边变形为和的形式？多项式的除法或配凑！

a2?b2(a?b)2?2ab2ab?(a?b)?左==（看到了希望！）

a?ba?ba?b =a?b? ?22 2 （已知ab?1） a?b1?a?(6?2)??(a?b)?22?2当a?b?时，由?解出当?时等号成立。

a?b?ab?1?b?1(6?2)??22例5、a>0,b>0,且a +b =1,求证:a?11?b?≤2. 22证明: a?111111?b?≤2? (a +)+(b +)+22a??b?≤4

222222a?b13111?≤1? ab +≤1?ab≤ ?b?≤1 ? ab +244422a?b2111)=成立，故 a??b?≤2. 2422 ?a?∵a>0,b>0,且a +b =1,∴ab≤(作业补充题

1.求证:6?7?22?5.

2、若a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c>ab ；（2）c -c2?ab

2

3、求证:a,b,c∈R+,求证: 2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc) 232224、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c?a?b?4ab?43S 5、已知0 < ? < ?，证明：2sin2??cot? 26、求证：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截

面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

不等式证明四（反证法与放缩法）

一、反证法：

有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明， 即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。 例1、 若x, y > 0，且x + y >2，则

1?y1?x和中至少有一个小于2。 xy反设

1?y1?x≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立 xy例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：（1）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0

例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证：设(1 ? a)b >

1 4111, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >, 4441则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > ①

641?(1?a)?a?又∵0 < a, b, c < 1 ∴0?(1?a)a?? ??24??同理：(1?b)b?211, (1?c)c? 441 与①矛盾. 641∴(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

4以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤二、放缩法：

在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把

要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 例4、若a, b, c, d?R+，求证：1?abcd????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???证：记m =

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c∵a, b, c, d?R+ ∴m?abcd????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?cabcdm?????2

a?ba?bc?dd?c

∴1 < m < 2 即原式成立

例5、当 n > 2 时，求证：logn(n?1)logn(n?1)?1

证：∵n > 2 ∴logn(n?1)?0,logn(n?1)?0

22?logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)?logn(n?1)logn(n?1)??????22?????lognn2?????1，∴ n > 2时, logn(n?1)logn(n?1)?1 ?2?1111例6、求证：2?2?2???2?2

123n 证：∵

21111 ???n2n(n?1)n?1n11111111??????1＋＋＋＋??122232n21?22?33?4(n-1)?n∴

111111? 1?（1?）?（?）???（?）?2??2223n?1nn思考：若把不等式的右边改成

761 或，你可以证明吗？ 4 36例7、 求证：

b|a?b||a| ??1?|a?b|1?|a|1?b证：∵|a+b|≤|a|+|b|?|a|+|b|-|a+b|≥0,

??a?b1?a?ba?b1?a?b?a?b?(a?b?a?b)1?a?b?(a?b?a?b)a1?a?b?b1?a?b?(课本P22“溶液”例结论）a? （把分母减小，使分式放大）.1?b?b1?aa?bab即:??.1?a?b1?a1?b作业补充题

1、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1

2、设f(x)?ax?bx?c,其中a、b、c?Z，并且a?1.试证明:b2?4ac?0

213、设f(x)?x2?px?q,求证：f(1) 、 f(2) 、 f(3)中至少有一个不小于

2 4、设x > 0, y > 0,a?x?yxy?, b?，求证：a < b

1?x?y1?x1?y5、证明：

1111?????2?1(n?R?,n?2) nn?1n?2n

6、 证明：lg9?lg11 < 1 7、 证明：若a > b > c, 则

w114???0 a?bb?cc?a教后反思：

.w.w.k.s.5.u.c.o.m 课题：数学归纳法及其应用举例

【教学目标】

1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质． 2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学

生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和

课堂效率．

5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热

情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】

第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容 1． 创设问题情境，启动学生思维

(1) 不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横??”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

(2) 完全归纳法对比引例：

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．

2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识

（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）

(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．

(2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．

3． 借助数学史料, 促使学生思辨

（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）

问题1 已知an＝(n2?5n?5)2（n∈N），

(1)分别求a1；a2；a3；a4．

(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）

问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，22?1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225n?1＝4 294 967 297＝6 700 4173641，从而否定了费

马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

问题3 f(n)?n2?n?41, 当n∈N时，f(n)是否都为质数？

验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，?，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝41，是合数．

2第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣

（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于

是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．

搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式an?a1?(n?1)d：

(1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即ak?a1?(k?1)d, 则

ak?1?ak?d=a1?[(k?1)?1]d, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论：

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d对任何n∈N都成立．

（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）

*6． 引导学生概括, 形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n0时结论正确；

(2) 假设当n＝k (k∈N，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．

*第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识

（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）

例题 在数列{an}中, a1＝1, an?1?an*(n∈N), 先计算a2，a3，a4的值，1?an再推测通项an的公式, 最后证明你的结论．

8． 基础反馈练习, 巩固方法应用

（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）

(1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋?＋（2n－1）＝n． (2)首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an?a1qn?1．

29． 师生共同小结, 完成概括提升

(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫

在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：

用数学归纳法证明： 1?2?2?2???2用下面的证法：

设n＝k时等式成立, 即1?2?2?2???223k?123n?1?2n?1(n∈N*)时, 其中第二步采

?2k?1, 则当n＝k＋1时,

1?2?2?2???223k?11?2k?1?2??2k?1?1．

1?2k你认为上面的证明正确吗？为什么？

教后反思：

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．

第二章 变化率与导数

课题平均变化率

一、教学目标

1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义

三、教学过程

一、问题情境

1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A、B、C点的坐标的含义）

T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5) 10

20

C (34, 33.4)

B (32, 18.6) 2 0 2

30

t(d) 34

问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、学生活动

1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？

3、在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 三、建构数学

1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)?f(x1)。

x2?x1

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。 四、数学运用

例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 小结：仅考虑一个变量的变化是不形的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器 甲中水的体积V(t)?5?2?0.1t （单位：cm）， 计算第一个10s内V的平均变化率。 注：

3V(10)?V(0)10?0

例3、已知函数f(x)?x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]。 五、课堂练习

1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3

6 9

12 T(月)

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。

（发现：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？） 六、回顾反思 1、平均变化率

一般的，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)?f(x1)。

x2?x1２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 七、作业

教后反思：

课题：瞬时变化率—导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处

的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。

所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势 二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为kPQ?f(x1)?f(x0)，

x1?x0设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0， ∴kPQ?f(x0??x)?f(x0)

?x当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQ?f(x0??x)?f(x0)无限趋近点Q处切线斜率。

?x2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：

k?f(x0??x)?f(x0)，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。

?x3、瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：

s(t0??t)?s(t0)

?t(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，

t=t0时的瞬时速度

求瞬时速度的步骤：

s(t0??t)?s(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为

?t1.先求时间改变量?t和位置改变量?s?s(t0??t)?s(t0)

2.再求平均速度v??s ?t?s无限趋近于常数v为瞬时速度 ?t3.后求瞬时速度：当?t无限趋近于0，

(4)速度的平均变化率：

v(t0??t)?v(t0)

?tv(t0??t)?v(t0)无限趋近于一个常数，这个常数

?t(5)瞬时加速度：当?t无限趋近于0 时，

称为t=t0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用

例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式:1.求f(x)?1过点(1,1)的切线方程 x232.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________ 3.已知曲线f(x)?

例2.一直线运动的物体，从时间t到t??t时，物体的位移为?s，那么?s为（ ）

?tＡ．从时间t到t??t时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为?t时物体的速度； Ｄ．从时间t到t??t时物体的平均速度

例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=

x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?

12gt 2(1)求t=t0s时的瞬时速度 (2)求t=3s时的瞬时速度 (3)求t=3s时的瞬时加速度

教后反思：

求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

课题：导数的概念 一． 教学目标

1、 知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、 过程与方法： ① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、 情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.

二、 重点、难点

? 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

? 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、 教学设想（具体如下表） 教学环节 创设情景 、 引入新课 教学内容 师生互动 设计思路 首先回顾上节课留下的引起学生的好奇，意识到平思考题： 均速度只能粗略地描述物幻灯片 在学生相互讨论，交流体在某段时间内的运动状? 回顾上节课留下的思考题： 结果的基础上，提出 ：态，为了能更精确地刻画物在高台跳水运动中，运动员相对水面的高大家得到运动员在这段体运动，我们有必要研究某度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：时间内的平均速度为个时刻的速度即瞬时速度。 ，但我们知道运动 s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋“0”员在这段时间内并没有使学生带着问题走进课堂，6510.计算运动员在0?t?这段时间里“静止”。为什么会产生激发学生求知欲 49这样的情况 的平均速度，并思考下面的问题： 呢？ （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗？ 提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化 根据学生的认知水平,概念的形成分了两 个层次： ? 结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？ 初 理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受来突出重点、突破难点 步 探 索 、 展 示 内 涵 问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算v?值？ Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ………. h(2??t)?h(2)的?tv …. Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……. v … 学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二， 帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力 问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 v -12.61 -13.051 -13.0951 -13009951 -13.099951 …. Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 v -13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 … 一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即 数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美 -0.00001 0.00001 ……. h(2??t)?h(2)lim??13.1 ?t?0?t ……….

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？ ? 借助其它实例，抽象导数的概念 问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？ 引导学生继续思考:运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示? 学生意识到将t0代替2,可类比得到与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法 积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义 h(t0??t)?h(t0) ?t?0?tlim类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示r(v0??v)?r(v0) ?v?0?vlim 问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这x?x0处的瞬时变化率如何呢？ 引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由里研究的函数f(x)在特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导x?x0处的瞬时变化数产生的时代背景，让学生率感受数学文化的熏陶，感受f(x??x)?f(x0)?f数学来源于生活，又服务于lim0?lim?x?0?x?0?x生活。 ?x即y?f(x)在x?x0处的导数,记作 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x?0?xx?x0(也可记为y?) 例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等 不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 ?如果在第x h时候，原油温度（单位：c）为f(x)?x2?7x?15(0?x?8) （1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。 （2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。 步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出步步设问，引导学生深入探究导数内涵 发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用 循序渐进、延伸 拓展 f?(2)和f?(6) ②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？ ③大家是否能用同样方法来解决问题二？ ④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢 变式练习：已知一个物体运动的位移（m） 2与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度 学生独立完成，上台板演，第三次体会逼近思（2）求物体在t时刻的瞬时速度 想 （3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？ 目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律 归纳总结 、 内化知识 1、瞬时速度的概念 2、导数的概念 3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般 引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出 让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯 作业安排、板书设计 （必做）第10页习题A组第2、3、4 题 （选做）：思考第11页习题B组第1题 作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教 附后 板书设计清楚整洁,便于突出知识目标 五、 学法与教法 ? 学法与教学用具 学法：

（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如题2的处理） （2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如题3的处理） （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理）

教后反思：

? 教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同

探索。②导——教师指导、循序渐进

（1） 新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲

（2） 理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义 （3） 例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识 （4） 变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知

课题： 导数的几何意义 教学目的：

1. 了解平均变化率与割线之间的关系 2. 理解曲线的切线的概率

3. 通过函数的图像理解导数的几何意义

教学重点

函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义

教学难点

理解导数的几何意义

教学过程

探究曲线的切线及切线的斜率

当点pn(xn，f(xn))(n?1，2，3，4?)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时割线PPn变化趋势是什么？割线PPkn与切线PT的斜率无限接近 n的斜率f(xn)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)k?lim?lim?f'(x)

?x?0?x?0xn?x0?x注意： （1）设切线的倾斜角为?，那么当x?0时，割线PPP处的切线的斜率.n的斜率为曲线在点（2）求曲线上某点的切线的斜率可以求该点的导数. （3）切线的斜率—函数在该点的导数.

练习

1.函数y?2x3?x在区间[1，3]上的平均变化率为

2.若函数f(x)?2x2?1的图像上一点(1，1)及附近一点(1??x，1??f)，则?f??x

3.一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是s?3t?t2.（1）求此物体的初速度； （2）求t?0到t?2时的平均速度.f(x0??x)?f(x0)4.已知函数y?f(x)在x?x0处的导数为11.则lim?

?x?0?x导数的几何意义：

函数y?f(x)在x?x0处的切线的斜率就是函数在该点时的导数. 曲线在某点的切线 （1）与该点的位置有关.（2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线且唯一；若无极限，则不存在切线.（3）曲线的切线与切线并不一定只有一个交点，可以有多个甚至无数个.例1.求曲线y?f(x)?x2?1在点P(1，2)处的切线方程.

练习

11（1）函数y??在点(，?2)处的切线方程为

x2（2）已知y?3x2?x，求曲线上点A(1，2)处的斜率k? 导函数的定义

从求函数f(x)在x?x0处求导数的过程可以看到f'(x)是一个确定的数，那么当x变 '''化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数，记作f(x)或y.

即f'(x)?y'?lim注 意

?x?0f(x??x)?f(x)

?x（1）函数在某一点处的导数f'(x)是一个定值，是函数在该点的函数该变量与自变量该变量的比值的极限，不是变量.（2）函数的导数：是指某一区间内任一点x而言的. （3）函数f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x?x0处的函数值.

例2.求函数y?x2?x?1的导数，及在(2，7]处的斜率.

作业：《习案》作业三

教后反思：

课题：常见函数的导数

一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；

二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习

1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)? ?x?x?y（3）取极限，得导数y/＝f?(x)?lim

?x?0?x（2）求平均变化率

本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3

问题：y?x?1，y?x?2，y?x?3呢？

问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、新授

1、基本初等函数的求导公式：

⑴ (kx?b)??k (k,b为常数) ⑵ (C)??0 (C为常数)

??1??2 ⑶ (x) ⑷ (x2)x

32⑸ (x)??3x ⑹ ()???1x1 x2⑺ (x)???12x??1 由⑶~⑹你能发现什么规律?

⑻ (x)???x （?为常数）

1x??axla⑼ (a)na ?(，a0?11logae? (a?0，且a?1) xxlna1xx?? ⒀ (sinx)?x?cos x ⒁ (cos)?x?－sin x⑾ (e)??e ⑿ (ln)x⑽ (logax)??从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 例1、求下列函数导数。 （1）y?x?5 （2）y?4 （3）y?xxxx

（4）y?log3x （5）y=sin(

??+x) (6) y=sin 23（7）y=cos(2π－x) （8）y=f?(1)

例2：已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐

标的取值范围。

例3.若直线y??x?b为函数y?1图象的切线,求b的值和切点坐标. x

变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率

变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程

变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程

变式4:已知直线y?x?1,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短. 三、小结（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用

教后反思：

课题：函数的和、差、积、商的导数

教学目的：

1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数． 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数

教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点：函数的积、商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入： 常见函数的导数公式：

C'?0；(kx?b)'?k(k,b为常数) (xn)'?nxn?1； (ax)'?axlna(a?0,且a?0)

(ex)'?ex(lnx)'?111(a?0,且a?0) (logax)'?logae?xxxlna(sinx)'?cosx； (cosx)'??sinx

二、讲解新课：

例1.求y?x2?x的导数.

法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即

?f(x)?g(x)?'?f'(x)?g'(x)

法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．?cf(x)?'?cf(x)'

法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即

?f(x)g(x)?'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)

证明：令y?f(x)g(x)，则

?y?f(x??x)g(x??x)-f(x)g(x)

?f(x??x)g(x??x)-f(x)g(x??x)+f(x)g(x??x)-f(x)g(x)，

?yf(x??x)?f(x)g(x??x)?g(x)?g(x??x)+f(x) ?x?x?x因为g(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当?x?0时，g(x??x)?g(x)， 从而lim

?x?0

?yf(x??x)?f(x)g(x??x)?g(x)?limg(x??x)+f(x)lim ?x?0?x?0?x?x?x ?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)，

法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，

?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?再除以分母的平方，即 ??g(x)2?g(x)?三、讲解范例： 例1 求下列函数的导数 1、y=x+sinx的导数.

2、求y?(2x?3)(3x?2)的导数．(两种方法)

22

'(g(x)?0)

t2?13、求下列函数的导数 ⑴h(x)?xsinx ⑵s(t)?

t4、y=5xsinx－2

10

xcosx－9，求y′

x25、求y=的导数.

sinx变式：(1)求y=

x?3在点x=3处的导数. 2x?3(2) 求y=

12cosx的导数. x例2求y=tanx的导数.

例3求满足下列条件的函数f(x)

(1) f(x)是三次函数,且f(0)?3,f'(0)?0,f'(1)??3,f'(2)?0 (2)f'(x)是一次函数, x2f'(x)?(2x?1)f(x)?1

变式：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

四、课堂练习：

1.求下列函数的导数：(1)y=

五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数

a?xx?21 (2)y= (3)y=

1?cosxa?x3x2uu?v?uv?法则()′=(v≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些

v2v复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住 六、课后作业：

教后反思：

课题 简单复合函数的导数 课型 新授 教学目标:1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 教学难点:简单复合函数的导数的应用 教学过程 一、基础知识梳理： 复合函数的求导数公式； 备课札记 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、y?(2x?3)3 2）、y?ln(5x?1) 练习：求下列函数的导数 1）、y?(2x?3)2 2）、y?(1?3x)3 例2、求下列函数的导数； 1）、y?1 2)、y?cos(1?2x) 3x?1 练习：求导数； 1）、y?ln 3）、求曲线y?sin2x在点P（?,0）处的切线方程。 例3、设f(5)?5,f'(5)?3,g(5)?4,g'(5)?1，求h(5)及h'(5) 1）、h(x)?3f(x)?2g(x) 2）、 h(x)?f(x)g(x)?1 12x 2）、y?e x3）、h(x)? f(x)?2 g(x)四、课堂小结： 教后反思： 第三章 导数的应用

课 题： 函数的单调性

教学目的：

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性

授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：  以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：

一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

C'?0； (xn)'?nxn?1； (sinx)'?cosx； (cosx)'??sinx

(lnx)'?11 ； (logax)'?logae； (ex)'?ex ； (ax)'?axlna xx2.法则1 [f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x)．

法则2 [f(x)g(x)]??f'(x)g(x)?f(x)g'(x), [cf(x)]??cf'(x)

?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?法则3 ??g2(x)?g(x)?'(g(x)?0)

二、讲解新课：

1. 函数的导数与函数的单调性的关系：

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y?x2?4x?3的图像 可以看到：

在

(2，+∞) 区间

(－∞，2) 减函数 负 ＜0 （2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增

y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x) 增函数 正 ＞0 /yf?x? = ?x2-4?x?+3BO123Ax大而增大，即y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，

/切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y?0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2.用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数f(x)的导数f′(x).

②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：

例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，

y哪个区间内是减函数.

解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1.

∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.

2令2x－2＜0，解得x＜1.

∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. f?x? = ?x2-2?x?+432

例2确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数， O1x哪个区间内是减函数.

y解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x

令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 f?x? = ?2?x3-6?x2?+7∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.

∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

O12x例3证明函数f(x)=

1在(0，+∞)上是减函数. x证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2. f(x1)－f(x2)=

11x2?x1 ??x1x2x1x2x2?x1＞0 x1x2∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴f(x)=

1在(0，+∞)上是减函数. x11－

)′=(－1)2x2=－2，x＞0， xx1/＜0. ∴f(x)?0， 2x证法二：(用导数方法证) ∵f/(x)=(

∴x2＞0，∴－

∴f(x)=

1在(0，+∞)上是减函数. 2x点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.

例4确定函数f(x)?sinx(x??0,2??)的单调减区间

例５已知函数y=x+

1，试讨论出此函数的单调区间. xy1x2解：y′=(x+

1)′ xf?x? = x+2x?1(x?1)(x?1)－

=1－12x2= ?22xx-1O1x-2令

(x?1)(x?1)＞0. 解得x＞1或x＜－1. 2x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). x∴y=x+

令

(x?1)(x?1)＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. 2x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) x∴y=x+

四、课堂练习：

1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3

(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.

∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)

令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)

(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－

133)=－3(x+)(x－) 333令－3(x+

3333)(x－)＞0，解得－＜x＜. 333333，). 33∴y=x－x3的单调增区间是(－

令－3(x+

3333)(x－)＜0，解得x＞或x＜－. 333333)和(，+∞) 33b 2a∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－

2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.

解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－

∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－

b，+∞) 2ab令2ax+b＜0，解得x＜－.

2a∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－

b) 2a3.求下列函数的单调区间(1)y=

x?2x (2)y=2 (3)y=x+x

x?9x(1)解：y′=(

x?x?22x?2)′= ??22xxx2＜0，∴y′＜0. 2x∵当x≠0时，－

∴y=

x?2的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) xx2?9?x?2x?x2?9xx2?9(2)解：y′=(2)′? ?2??22222(x?9)x?9(x?9)(x?9)x2?9当x≠±3时，－2＜0，∴y′＜0. 2(x?9)x∴y=2的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).

x?91?11(3)解：y′=(x+x)′?x2?1??1.

22x当x＞0时五、小结 ：

f(x)在某区间内可导，可以根据f(x)＞0或f(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业：

///12x+1＞0，∴y′＞0. ∴y=

x+x的单调增区间是(0，+∞)

教后反思：

1.32课 题：函数的极值(1)

教学目的：

1.理解极大值、极小值的概念.

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程：

一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

C'?0；(xn)'?nxn?1；(sinx)'?cosx；；(cosx)'??sinx； (lnx)'?1 x(logax)'?1xxxxlogae；(e)'?e； (a)'?alna x2.法则1 [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)

法则2 [u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x), [Cu(x)]??Cu'(x)

?u?u'v?uv'法则3 ???(v?0) 2v?v?3.复合函数的导数： y'x?y'u?u'x (理科)

4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间 二、讲解新课： 1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，

就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).

就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得

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