高考数学第一轮复习资料 基本不等式及其应用

第33讲 基本不等式及其应用 第33讲 基本不等式及其应用 要点 梳 理 式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件. 综合法证明不等式的逻辑关系是：A?B1?B2??Bn?B，及从已知条件 一．基本不等式 定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“?”）. 说明：（1）指出定理适用范围：a,b?R；（2）强调取“?”的条件a?b. 定理2：如果a,b是正数，那么a?b?ab（当且仅当a?b时取“=”） 2说明：（1）这个定理适用的范围：a?b（2）我们称a,b?R?；为a,b的算术平均2数，称ab为a,b的几何平均数即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a,b?R，则|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|; a,b?R，则(a?b)2?0?a2?b2?2ab; x,y,z?R?，x?y?2xy，m x?y?z?3xyz 二、常用的证明不等式的方法 （1）比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负. （2）综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等 考点剖析 A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B. （3）分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法. （1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”； （2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程 三．最值定理 设x＞0，y＞0，由x＋y≥2xy. (1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y有最小值2P； (2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy有最大S值(2)2. 即：积定和最小，和定积最大． 运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证. 证法二：(比较法) ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab， ∴ab≤， 1125a2?1b2?125(a?)(b?)???? ab4ab4- 163 -

利用基本不等式证明不等式 【例1】已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证: 14(a+1251)(b+)≥. ba4【证明】证法一： (分析综合法） 欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8 1414

“功夫”文科第一轮复习资料 4a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)???04ab4ab 1125?(a?)(b?)? ab4【点评】比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 【拓展练习】1.(2015福建文5)若直线xy??1(a?0b,?0过点)(1,1)，则a?b的最ab小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】证法一：(综合法) 11由已知得??1， ab11ba则a?b=(a?b)(?)?2?+，因为ababbabaa?0b,?0，所以+?2?=，2故ababbaa?b?4，当=，即a?b?2时取等号． ab证法二：(三角代换法) 1111?0, 由已知得??1且?0,abab11可设?sin2?,?cos2? ab11cos2??sin2??则a?b?2? 222sin?cos?sin?cos? 14???4 22sin2??1?2sin?cos??????2?故a?b?4，当a?b?2时取等号． 【考点定位】基本不等式． 【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量a,b关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．本题还可转化为一元二次方程，再用判别式法求解。 利用基本不等式求函数最值 【例2】(2015湖南文7)若实数a,b满足12??ab，则ab的最小值为( ) ab- 164 -

A、2 B、2 C、22 D、4 12??ab，?a＞0，b＞0，【解析】 ab122b?a22ab22 ?ab?????,abababab，所?ab?22（当且仅当b?2a时取等号）以ab的最小值为22，故选C. 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进【拓展练习】2.(2015天津文12)已知a?0,b?0,ab?8 ,则当a的值为 时log2a?log2?2b?取得最大值. ?loga?log2?2b??【解析】log2a?log2?2b???2? 2??1122??log22ab???log216??4,当a?2b时44取等号,结合a?0,b?0a,b?可得 a?4b,? 2【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用. 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 3.(2015·山东文14)定义运算“?”：x2?y2(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，x?y?xyy＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________． 【解析】 x2?y2由x?y?，得xyx2?y24y2?x2x?y＋(2y)?x＝ ?xy2xyx2?2y2＝.因为x＞0，y＞0，所以2xy 第33讲 基本不等式及其应用 2x2?2y2x2?2y2≥＝2xy2xyx?2y时，等号成立． 2，当且仅当且仅当800x＝，即x＝80时“＝”成立，∴每x8批应生产产品80件，故选B. 典型错例. 【考点】1.新定义运算；2.基本不等式. 利用基本不等式解决实际问题 【例3】(2014·福建文9)要制作一个容积为4 3m，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【解析】 设容器的底长x米，宽y米，则xy＝4. 4所以y＝x，则总造价为： 80f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x x4??＝20?x??＋80，x∈(0，＋∞)． x??4所以f(x)≥20×2 x?＋80＝160， x4当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． x所以最低总造价是160元．．C 【拓展练习】4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产xx件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【解析】.每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是用是800元，每件产品的仓储费x已知：a?0b,?22 ,a?b?1,求1??1??a??b?????的最小值. a??b??221??1??【错解】?a????b?? a??b??=a2+b2+≥2ab+11++4 a2b212ab?+4≥4+4=8 abab221??1??∴?a????b??的最小值是8 a??b??【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的1条件是a?b?,第二次等号成立的条件2ab=1，显然，这两个条件是不能同时成立ab1a2的.因此，8不是最小值. 【解析】：原式= a2+b2+ =(a2 +b2)+(+1b2+4 11+)+4 22ab =[(a?b)2?2ab]+ [(1122+)-]+4 abab1 =(1-2ab)(1+22)+4 ab11a?b21由ab≤()= 得：1-2ab≥1-=,且222411≥16，1+22≥17 a2b2ab1251 ∴原式≥×17+4= (当且仅当a?b?2221212时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小ab25值是. 2 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最x800x800x元，则＋≥2?＝20，当8x8x8 - 165 -

“功夫”文科第一轮复习资料 值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内. 一、选择题 1.（2014上海文6）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______________. 【解析】x2?2y2?2x2?2y2 考点练习 ?22?xy?22当且仅当x2?2y2时等号成立. 【考点】基本不等式. 2.(2015·高考陕西理）设f(x)＝ln x,0p D．p＝r>p a＋b【解析】∵0ab，又f(x)＝ln ?a?b?x在(0，＋∞)上单调递增，故f(ab)p， 11∵r＝2(f(a)＋f(b))＝2(ln a＋ln b)＝ln ab＝f(ab)＝p， ∴p＝r0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为________. 【解析】 令t＝a?1?b?3， 则t2=(a?1?b?3)2 ＝a?1?b?3+2a?1?b?3 ≤9＋a＋1＋b＋3 ＝18， - 166 -

当且仅当a＋1＝b＋3时， 73即a＝，b＝时，等号成立． 22即t的最大值为32. 【考点定位】基本不等式. 4.(2014·重庆文9）若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 B．7＋23 C．6＋43 D．7＋43 1【解析】由log4(3a＋4b)＝log2ab，得2log2(3a134＋4b)＝2log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即b＋a＝1. ?34?3a4b所以a＋b＝(a＋b)???＝b＋a＋?ba?3a4b7≥43＋7，当且仅当b＝a，即a＝23＋4，b＝3＋23时取等号，故选D. 5.(2014·浙江文16)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________． 【解析】由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c， 则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2). 又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2， 666解得－3≤a≤3，所以amax＝3. 6.(2016·济南一中高三期中)若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A.18 B.6 C.23 D.244 【解析】3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝232＝6. 7.（2013·四川文13） 已知函数af(x)?4x?(x?0，a?0)在x＝3时取得最x小值，则a＝________. 【解析】由基本不等式性质，aaf(x)?4?x(x?0，a?0)在4x?，即xxax2=取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据4a已知可得＝32，故a＝36. 48.（2013山东文12）设正实数x，y，z 第33讲 基本不等式及其应用 z取得最小值xy时，x＋2y－z的最大值为( ) 99A．0 B.8 C．2 D.4 zx2?3xy?4y2【解析】＝ xyxy满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当x4yx4y??3≥2 ??3＝1，当且仅yxyx当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 9. ?【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想． 10.(2016·山东济南质量调研)已知直线ax＋by＝1经过点(1，2)，则2a＋4b的最小值为( ) A.2 B.22 C.4 D.42 【解析】因为直线ax＋by＝1过点(1，2)，所以a＋2b＝1， 则2a＋4b＝2a＋22b≥22a·22b＝22a＋2b＝22. 答案B 11..(2015·浙江文12)已知函数f(x)＝x2，x≤1，???6则f(f(－2))＝_____， f(x)x＋－6，x＞1，??x的最小值是_______． x2，x≤1??【解析】∵f(x)＝?6 x＋－6，x＞1，??x1∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－2. 当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0， 6当x＞1时，f(x)＝x＋x－6≥26－6，当且仅当x＝6时“＝”成立． ∵26－6＜0，∴f(x)的最小值为26－6. 12.（2012江苏理）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已1知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－20(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 1【解析】(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，20由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 20k2020故x＝2＝1≤2＝10，当且仅当k1＋kk＋k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?存1在k＞0，使3.2＝ka－20(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6. 所以当a不超过6(千米)时，可击中目标． 备选题 1， 13. （2013·福建文7） 若2x＋2y＝则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 【解析】 1＝2x＋2y≥2 2x?y2 ,2x＋y?2－2,x＋y?－2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故选D. 14.（2012山东理）若对任意x>0，x≤a恒成立，则a的取值范围是2x?3x?1________． x【解析】若对任意x>0，2≤a恒成立， x?3x?1x只需求得y＝2的最大值即可． x?3x?1因为x>0，所以 x11y＝2＝≤1x?3x?1x??32x?1?3xx- 167 -

“功夫”文科第一轮复习资料 1＝，当且仅当x＝1时取等号， 51所以a的取值范围是[5，＋∞)． 15.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知a>0，1112b>0，a＋b＝a＋b，则a＋b的最小值为( ) A.4 B.22 C.8 D.16 11a＋b1【解析】由a＋b＝a＋b＝ab有ab＝1，则a211＋b≥2a·b＝22. 答案B 16.(2016·山东北镇、莱芜，德州联考)若直线ax－by＝2(a>0，b>0)过圆x2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为________. 【解析】圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a＋b＝2， 1因为2＝2a＋b≥22ab，所以ab≤2，当且仅1当2a＝b，即a＝2，b＝1时等号成立， 1所以ab的最大值为2. 17.（2010四川理12）设a?b?c?0，则112a2???10ac?25c2的最小值是 aba(a?b)旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． （A）2 （B）4 （C） 25 （D）5 11??10ac?25c2 【解析】：2a2?aba(a?b)11?＝(a?5c)2?a2?ab?ab? aba(a?b)11＝(a?5c)2?ab??a(a?b)? aba(a?b)≥0＋2＋2＝4 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 22如取a＝2,b＝,c＝满足条件. 25答案：B 【命题意图】本题考查不等式的性质以及均值不等式成立的条件，是简单题. 【解析】∵a2?b2?2ab=(a?b)2?0,A错误， 对B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误，选D 18.(2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在- 168 -

(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【解析】 (1)如图，设矩形的另一边长为am 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360 360由已知xa＝360，得a＝x， 3602∴y＝225x＋－360(x＞0) x(2)∵x＞0， 3602∴225x＋≥2225×3602＝10800 x3602∴y＝225x＋x－360≥10440. 3602当且仅当225x＝x时，等号成立． 即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

“功夫”文科第一轮复习资料 1＝，当且仅当x＝1时取等号， 51所以a的取值范围是[5，＋∞)． 15.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知a>0，1112b>0，a＋b＝a＋b，则a＋b的最小值为( ) A.4 B.22 C.8 D.16 11a＋b1【解析】由a＋b＝a＋b＝ab有ab＝1，则a211＋b≥2a·b＝22. 答案B 16.(2016·山东北镇、莱芜，德州联考)若直线ax－by＝2(a>0，b>0)过圆x2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为________. 【解析】圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a＋b＝2， 1因为2＝2a＋b≥22ab，所以ab≤2，当且仅1当2a＝b，即a＝2，b＝1时等号成立， 1所以ab的最大值为2. 17.（2010四川理12）设a?b?c?0，则112a2???10ac?25c2的最小值是 aba(a?b)旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． （A）2 （B）4 （C） 25 （D）5 11??10ac?25c2 【解析】：2a2?aba(a?b)11?＝(a?5c)2?a2?ab?ab? aba(a?b)11＝(a?5c)2?ab??a(a?b)? aba(a?b)≥0＋2＋2＝4 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 22如取a＝2,b＝,c＝满足条件. 25答案：B 【命题意图】本题考查不等式的性质以及均值不等式成立的条件，是简单题. 【解析】∵a2?b2?2ab=(a?b)2?0,A错误， 对B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误，选D 18.(2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在- 168 -

(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【解析】 (1)如图，设矩形的另一边长为am 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360 360由已知xa＝360，得a＝x， 3602∴y＝225x＋－360(x＞0) x(2)∵x＞0， 3602∴225x＋≥2225×3602＝10800 x3602∴y＝225x＋x－360≥10440. 3602当且仅当225x＝x时，等号成立． 即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

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