第一讲：线段的比和黄金分割

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第一讲 线段的比与黄金分割

一、教学目标：

1、理解掌握比例线段的概念，并灵活运用。

2、理解比例的性质，掌握性质如何推出来的，并能用其方法灵活做题。 3、理解黄金分割的概念，掌握一些比较常考的题型。

二、教学重难点：

教学重难点：比例性质的灵活应用。

三、基础知识点：

1. 两条线段的比：如果选用同一长度单位得两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的 比是AB：CD=m：n，或写成线段比的后项。 注意：

（1）针对两条线段；

（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关； （3）其比值为一个不带单位的正数。 2. 比例尺

在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺，即比例尺=

ABm?，两条线段的比AB:CD中，AB叫做这个线段比的前项， CD叫做这个 CDn图上长度。

实际长度ac? ，那么这四条线段 bd3. 比例线段：四条线段a, b, c,d 中，如果a与b的比等于c与d的比，即 a, b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：

（1）比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：（2）在比例式bd?。 caac?(a：b?c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫 bd2比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的比例中项， 此时有b?ad。 4. 比例性质： （1）基本性质：

abac??ad?bc (a, b, c, d都不等于0) ??b2?ac

bcbd注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad?bc，除

acabcababdcddbdc?，还可化为?，?，?，?，?，?，?。 bdcddbdcacabcabaaca?bc?d?（2）合比性质：??

bdbd了可化为

1

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注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化

?b?ad?c??ac?ac比例仍成立。如：???。

a?bc?dbd????a?bc?d

（3）等比性质：注意： ①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法。

②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零。

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

acma?c???ma?????(b?d???n?0) bdnb?d???nbacea?2c3ea?2c?3ea???????；其中b?2d?3f?0。 bdfb?2d3fb?2d?3fb5. 黄金分割： 如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

ACBC=，那么称线段ABABAC被点C黄金分割。点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。 （1）由黄金分割的意义知， AC?AB?BC

2A C B

（2）黄金比

ACBC长短5?15?1==≈0.618，简记为：＝＝ ABAC2全长2BDAC5?15?1=；另一点C靠近点B,有= ABAB22（3）线段AB有两个黄金分割点，其中一点D靠近点A，有

四、例题讲解：

考点一、两条线段的比

例1、已知线段a=2m，b=40cm，则a:b= 。 例2、线段AB被点M分成练习1、

设2a-3b=0（b不为0），则a:b= 。 考点二、比例尺

例3、A,B两地的实际长度AB=250m，画在图上的长度A’B’=5cm，求图上长度和实际长度的比。

2

ABMBAM2? ，? 。 ?,则MBAMBM3相似图形

例4、在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ） 练习2、

在1∶500000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm，那么福州到厦门的实际距离约为 km。 考点三、成比例线段

例5、下列线段的长度成比例的是（ ）

A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1.5cm，2.5cm，4cm，5cm C.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4cm D.1cm，2cm，2cm，4cm

例6、已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cn，则d=_______cm

例7、已知三个数1，2，3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是_____________. 练习3、

（1）若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm。 （2）如果线段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（ ） A、8 B、16 C、24 D、32 考点四、比例性质

ac?，那么下列比例中不成立的是（ ） bda?bc?da?cb?d??A. B. bdaba?cb?da?cb?d??C. D. cbab例8、如果

例9、已知 x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（ ） x+y5x-y1x3x3A、 = B、 = C、 = D、 =

y2y2x+y5y-x1例10、已知例11、已知A.

x3x?y?,则?_____. y4yabca?b的值为( ) ???0,则c234514 B. C.2 D. 542例12、若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ 。

yx?y例13、已知x?y＝，则的值为 .

713y练习4、 （1）已知

a?ba3＝，那么＝ 。 b4b

3

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（2）已知,则

（3）已知5y－4x＝0，那么（x＋y）︰（x－y）的值等于（ ） A、

19 B、－9 C、9 D、－19 例14、已知 x:y:z=3:4:5，且x+y-z=6，求2x-3y+2z 练习5、 已知a5?b7?c8，且a?b?c?20，求2a?b?c

例15、 已知ab?cd?ef?2a?e3,则b?f=___________. 例16、若ab＝cd＝ef＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .

例17、如果xyza?2x?3y?zb?c?2，那么2a?3b?c?

例18、已知a2bca?2b2b?c?a,求?ca?2b?c的值。

例19、已知a、b、c是非零实数，且ab?c?d?ba?c?d?cb?a?d?da?b?c?k，

4

。 k=

相似图形 ADAEDE2例20、如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，＝＝＝，且△ABC与△ADE的周长之差

ABACBC3为15cm，求△ABC与△ADE的周长.

考点五、黄金比例

例21、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为( )

A.12.36 B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

例22、如图所示,点C是线段AB的黄金分割点,BC＞AC,D、E分别是AC、BC的中点，那么点C是线段DE的黄金分割点吗？

A D C E B 例23、已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP,且MP=(5?1)cm,求MN的值。 练习6、

（1）在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感。小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m,她应该选多高的高跟鞋看起来更美?

（2）已知线段AB=6cm,点P为线段AB的黄金分割点,求线段AP的长。

5

M P N

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五、课后作业

1、A、B两地实际距离为500m，在比例尺为1：1000的地图上，AB的图上距离是（ ） A 5 m B 5 cm C 2 cm D 0.5 m 2、下列四条线段成比例的是（ ）

A、1cm，2cm，4cm，6cm B、3cm，4cm，7cm，8cm C、2cm，4cm，8cm，16cm D、1cm，3cm，5cm，7cm

3、已知a，b，m，n是成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，n=9cm，则m= 4、若a=2，b=18，且a：x=x：b，则x=

5、已知2a?3b（a?0），则下列比例成立的是（ ） A、

ababa2a3? B、? C、? D、? 2332b32b5xxx?y? ，则? ； =___________；

2y2yy，则

，

。

6、若

7、如果

8、如果

7x?yx = ，那么的值是（ ）

4yyA、

3243 B、 C、 D、 4332ace?==5，且b?d?f=3，则a?c?e=_____________ bdf9、、已知：

10、若

xx?y?zy?z?x＝y＝z，则∶＝ . 3x45yyx?y11、已知x?y＝，则的值为 .

713y12、节目主持人站在舞台的黄金分割点处的效果最佳，如图所示，线段AB表示舞台上主持人应站立的水平线，主持人现在的位置是A点，要使她主持节目时给观众的视觉是最美观的，又让他走的路最短，请你在图中设计出主持人应站的最佳位置。

.

6

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五、课后作业

1、A、B两地实际距离为500m，在比例尺为1：1000的地图上，AB的图上距离是（ ） A 5 m B 5 cm C 2 cm D 0.5 m 2、下列四条线段成比例的是（ ）

A、1cm，2cm，4cm，6cm B、3cm，4cm，7cm，8cm C、2cm，4cm，8cm，16cm D、1cm，3cm，5cm，7cm

3、已知a，b，m，n是成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，n=9cm，则m= 4、若a=2，b=18，且a：x=x：b，则x=

5、已知2a?3b（a?0），则下列比例成立的是（ ） A、

ababa2a3? B、? C、? D、? 2332b32b5xxx?y? ，则? ； =___________；

2y2yy，则

，

。

6、若

7、如果

8、如果

7x?yx = ，那么的值是（ ）

4yyA、

3243 B、 C、 D、 4332ace?==5，且b?d?f=3，则a?c?e=_____________ bdf9、、已知：

10、若

xx?y?zy?z?x＝y＝z，则∶＝ . 3x45yyx?y11、已知x?y＝，则的值为 .

713y12、节目主持人站在舞台的黄金分割点处的效果最佳，如图所示，线段AB表示舞台上主持人应站立的水平线，主持人现在的位置是A点，要使她主持节目时给观众的视觉是最美观的，又让他走的路最短，请你在图中设计出主持人应站的最佳位置。

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