山西省“晋商四校”2011-2012学年高二下学期联考试题数学理

2011—2012学年度第二学期“晋商四校”高二联考

数学试题（理科）

本试卷满分150分 考试时间120分钟

第I卷 选择题（共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 3i

1.i是虚数单位，复数的实部是 （ ）

1 i

A．2 B．1 C． 1 D． 2

2.命题：“ x R,cos2x cos2x”的否定为

A． x R,cos2x cos2x C． x R,cos2x cos2x

B． x R2x

D． xx cos2x

3.过点( 1,3)且垂直于直线x 2y 3 0 （ ）A.2x

y 1 0 B．2x y 5 0 C． 5 0 D．x 2y 7 0

4.在“ p”，“p q”，“p q”p q”为真，“p q”为假，“ p”为真，那么p，q的真假情况分别为 （ ）

C．真，真 D．假，假

（ ） 3122

C. D. 63

6.已知x 0，由不等式

x

x

114xx4xx4

2x 2,x 2 2 3 2 3,…….,可以推出结论：xxx22x22x

a

n 1(n N*),则a= （ ） nx

A．2n B．3n C．n D．n

2

n

7.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是 （ ）

8. “a

a1

”是“对任意的正数x,均有x 1”的 （ ）

x4

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm）， 则该几何体的表面积及体积为（ ）

A.24 cm

2

,12 cm3 B. 15 cm2,12 cm3C.

24 cm2,36 cm3 D.

5,

10.设四个点P,A,B,C在同一球面上，且,PB,PC两两垂直，PA 3,PB 4,PC那么这个球的表面积是 （ ） A．20

C．25

2 B

．

2

x2y2

11.px(p 0)与双曲线2 2 1(a 0,b 0)有相同的焦点F，点A

ab

AF x轴，则双曲线的离心率为 ( )

A

B

C

1 D

1 2

12.已知函数f(x) x 2x alnx(a R).当t 1时，不等式f(2t 1) 2f(t) 3恒成立，

则实数a的取值范围是 （ ） A．

B．

C．

D．

第II卷 非选择题（共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.f(n) 12 22 32 (2n)2,则f(k 1)与f(k)的递推关系式是14.已知函数f(x) f()sinx cosx,则f() _______.

'

24

1

15. 已知f(x)为一次函数，且f(x) x 3 f(t)dt，则f(x)=______.

16.设 , 为两个不重合的平面，m,n①若m ，n ，m// ，n// ，则 // ； ②若n ,m , 与 相交且不垂直，则n与m不垂直； ③若 , m,m n，则n⊥ ；

④若m//n,n , // ，则m

三.解答题：本大题共6小题，共70步骤.

17.（本小题满分10分）

求圆心C在直线y 2xM(3,1)的圆C的标准方程. 18.（本小题满分12 0)与直线x y 6 0及y 0所围成图形的面积.

19.分）

y lnx 2的图象按向量 ( 1,2)平移得到函数y f(x)的图象．

2x

. x 2

(1)求函数y f(x)的解析式； (2)若x 0，证明：f(x)

20.（本小题满分12分）

已知直三棱柱ABC A1B1C1中,

ACB 90 ,CC1 3,BC 4 ， G是AB1和

A1B的交点, 若C1G A1C.

（1）求CA的长； （2）求点A到平面A1BC1的距离；

（3）求二面角C1 A1B C的平面角的正弦值的大小.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1( 3,0),F2(3,0)，点F

1到直线x离为

3

，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B3F2A. 3

(1)求椭圆的标准方程； (2)求直线l的方程．

22.（本小题满分12分）

3

设函数f(x) ax

3

(2a 1)x2 6x(a R) 2

（1）当a 1时，求曲线y f(x)在点( 1,f （2）当a

1

时，求f(x)

3

13、f(k 1) f(k) (2k 1) (2k 2); 14、0;

2

2

15、

3

f(x) x ; 16、④

4

三、解答题：

17. （本小题满分10分） 解：设圆心C的坐标为（a,2a），...........2分

则|OC| |OM|，即

a2 (2a)2 (a 3)2 (2a 1)2，解得a 1........4分

所以圆心C

(1,2)，半径r 分

故圆C的标准方程为：(x 1)2 (y 2)2 5.......10分

18.（本小题满分12分）

解：设所求图形面积为A，则

A

a

(6 x)dx

2

6

----------4分

232

x2|0

3

x2 6

6x |2

8分2 ----------

16 62 22

6 6 6 2 3 2 2

164040 8 ．即所求图形面积为．---------------12分 333

19.（本小题满分12分）

(1)解：设y f(x)上任意一点为（x,y）（x+1,y-2）代入y lnx 2 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以f(x) ln(分

2x

ln(x 1) ，……6分 x 2

x2

……8分 2

(x 1)(x 2)

, 上单调递增．……10分

故，即

20.（本小题满分12分）

解法一: (1)连AC1交A1C于E, 易证ACC1A1为正方形, AC=3 …………… 5分

……12分 x

2

(2)在面BB1C1C内作CD BC1, 则CD就是点C平面A1BC1的距离CD=

12

… 8分 5

(3) 易得AC1 面A1CB, 过E作EH A1B于H, 连HC1, 则HC1 A1B

C1HE为二面角C1－A1B－C的平面角. ………… 9分

sin C

1HE=

……… 12分 二面角C1－A1B－C的平面角的正弦大小为

55

解法二: (1)分别以直线C1B、CC1、C1A为x、y则C1(0, 0, 0), B1(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A1(0, 0, h), h), G(2, －

3

, －2

h

) ……………………… 3分 2

3h

C1G=(2, －, －), A1C=(0, －3, －h)

22

C1G·A1C=0, h=3

令a=3)

12

……… 8分

5

令z=1)

二面角C1－A1B－C的大小 满足cos =

,1,1)22

= ……… 11分 55 2

二面角C1－A1B－C的平面角的正弦大小为

21.（本小题满分12分）

………………12分 5

∴a2＝4而c3，∴b2＝a2－c2＝1.

x22

∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为y＝1.……4分

4(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)问知F2(

,0)

3 x2 3(x1 )

BF2 3F2,

y2 3y1

x2＝4－3x1，∴ ……6分 y2＝－3y1.

x22

∵A、B在椭圆＋y＝1上，

4

2x

y21＝1，4

1

∴ －3x

＋ －3y ＝ 4

2

1

2

2

y＝3取正值 .

1

……10分

－y6＝0.……12分 x,f (x) x3 3x 6……2分 13, k f ( 1) 3 3 6 6,f( 1) 2

13

6(x 1) ∴y 2

即12x 2y 1 0为所求切线方程。………………4分

（2）当a

111

时,f(x) x3 x2 6x,f (x) x2 x 6 332

令f (x) 0得x 2或x 3………………6分

∴f(x)在( , 2)递增,在( 2,3)递减，在（3，+ ）递增 ∴f(x)的极大值为f( 2)

2227

,f(x)的极小值为f(3) …………8分 32

（3）f (x) 3ax2 3(2a 1)x 6 3(ax 1)(x 2) ①若a 0,则f(x)

32

x 6x,此函数在( , 2)上单调递增。 2

1 a

∴满足要求。…………………10分

②若a 0,则令f (x) 0,得x1 2,x2

,即x 3时,f (x) 0∵f(x)在( , 3)上是增函数

a 0时,则

1

3恒成立，即a>0……………11分 a

a 0时，不合题意。

综上所述，实数a的取值范围是 0, 分

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