独立性检验的基本思想及其初步应用(1)

问题: 问题 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包 ， 并记 的面包， 面包店买一块 录下买回的面包的实际质量。 录下买回的面包的实际质量 。 一年 后 ， 这位数学家发现， 所记录数据 这位数学家发现 ， 的均值为950g。 于是庞加莱推断这 的均值为 。 家面包店的面包分量不足。 家面包店的面包分量不足。 假设 “ 面包分量足 ” , 则一年购买面包的质量 假设“面包分量足” 数据的平均值应该不少于1000g ; 数据的平均值应该不少于 “这个平均值不大于 这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包 是一个与假设“ 是一个与假设 分量足”矛盾的小概率事件； 分量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果 。 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。

一:假设检验问题的原理假设检验问题由两个互斥的假设构成， 假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个 叫做原假设， 表示； 另一个叫做备择假设， 叫做原假设 ， 用 H0 表示 ； 另一个叫做备择假设 ， 表示。 用H1表示。 例如，在前面的例子中， 例如，在前面的例子中， 原假设为 面包分量足， 原假设为： H0:面包分量足， 备择假设为 面包分量不足。 备择假设为 H1:面包分量不足。 这个假设检验问题可以表达为： 这个假设检验问题可以表达为： H0:面包分量足 ←→ H1:面包分量不足

二:求解假设检验问题考虑假设检验问题： 考虑假设检验问题： H0:面包分量足 ←→ H1:面包分量不足 求解思路： 求解思路： 1. 在H0成立的条件下，构造与 0矛盾的小概 成立的条件下，构造与H 率事件； 率事件； 2. 如果样本使得这个小概率事件发生，就能 如果样本使得这个小概率事件发生， 一定把握断言 成立；否则， 断言H 以一定把握断言 1成立；否则，断言没有 发现样本数据与H 相矛盾的证据。 发现样本数据与 0相矛盾的证据。

三:二个概念 二个概念1.分类变量 1.分类变量 对于性别变量，取值为： 对于性别变量，取值为：男、女 这种变量的不同取“ 这种变量的不同取“值”表示个体所属的不 同类别，这类变量称为分类变量 同类别，这类变量称为分类变量 分类变量在现实生活中是大量存在的， 分类变量在现实生活中是大量存在的，如是 在现实生活中是大量存在的 否吸烟，是否患肺癌，宗教信仰，国别，年龄， 否吸烟，是否患肺癌，宗教信仰，国别，年龄， 出生月份等等。 出生月份等等。

利用随机变量K 来确定在多大程度上可以认为” 利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为” 两个分类变量有关系”的方法称为两

个分类变 两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变 量的独立性检验.(为假设检验的特例) .(为假设检验的特例 量的独立性检验.(为假设检验的特例)

列联表为了调查吸烟是否对肺癌有影响， 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965 9965人 得到如下结果(单位： 地调查了9965人，得到如下结果(单位：人)

不吸烟 吸烟 总计

吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 7775 42 2099 9874 49 91

总计 7817 2148 9965

在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 2.28% 在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异， 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异， 吸烟者患肺癌的可能性大

1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关三维柱 状图8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不患肺癌 患肺癌

不吸烟 吸烟 吸烟 不吸烟

2) 通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关：9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不吸烟 吸烟 患肺癌 不患肺癌

二维条 形图

3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟

患肺癌 比例

患肺癌 不患肺癌

不患肺癌 比例

独立性检验a c ∴ ≈ , a+b c+d

通过数据和图表分析， 通过数据和图表分析，得到 结论是： 结论是：吸烟与患肺癌有关

H0: 吸烟和患肺癌之间没有关系 患肺癌之间没有关系结论的可靠 程度如何？ 程度如何？

∴ a ( c + d ) ≈c ( a + b ) , ad ≈ bc 即：ad bc ≈ 0不吸烟 吸烟 总计 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 a b c d a+c b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

独立性检验 ad bc ≈ 0.越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱， ad - bc 越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱， 越大， ad - bc 越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强引入一个随机变量2

n(ad- bc) ad - bc) K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2

作为检验在多大程度上可以认为“ 作为检验在多大程度上可以认为“两个变量 有关系”的标准 。 有关系”

设有两个分类变量X 设有两个分类变量X和Y它们的值域分别为{x1,x2}和 它们的值域分别为{x 其样本频数列表(称为2 列联表) 为 {y1,y2}其样本频数列表(称为2×2列联表)

2×2列联表2 (ad bc) n K2 = (a +b)(c + d)(a + c)(b + d) P(k 2 ≥ m)

y1 x1 x2总计 a c a+c

y2b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

1)如果P(m>10.828)= 0.001表示有99.9%的把握认为”X与Y”有关 表示有99.9

%的把握认为” 1)如果P( >10.828)= 0.001表示有99.9%的把握认为 如果P( 有关 适用观测数据a 适用观测数据a、 系; 2)如果 如果P(m>7.879)= 0.005表示有99.5%的把握认为 表示有99.5%的把握认为” 有关系; 2)如果P(m>7.879)= 0.005表示有99.5%的把握认为”X与Y”有关系; 有关系 不小于5 b、c、d不小于5 3)如果 如果P(m>6.635)= 0.01表示有99%的把握认为 表示有99%的把握认为” 有关系; 3)如果P(m>6.635)= 0.01表示有99%的把握认为”X与Y”有关系; 有关系 4)如果P(m>5.024)= 0.025表示有97.5%的把握认为 表示有97.5%的把握认为” 有关系; 4)如果P(m>5.024)= 0.025表示有97.5%的把握认为”X与Y”有关系; 如果 有关系 5)如果P(m>3.841)= 0.05表示有95%的把握认为 表示有95%的把握认为” 有关系; 5)如果P(m>3.841)= 0.05表示有95%的把握认为”X与Y”有关系; 如果 有关系 6)如果P(m>2.706)= 0.010表示有90%的把握认为 表示有90%的把握认为” 有关系; 6)如果P(m>2.706)= 0.010表示有90%的把握认为”X与Y”有关系; 如果 有关系 7)如果m 2.706),就认为没有充分的证据显示 就认为没有充分的证据显示” 有关系; 7)如果m≤2.706),就认为没有充分的证据显示”X与Y”有关系; 如果 有关系

独立性检验不吸烟 吸烟 总计 通过公式计算 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 7775 42 2099 49 9874 91 总计 7817 2148 9965

9965(7775× 49 42× 2099) K = ≈ 56.632 7817× 2148×9874×912 2

独立性检验成立的情况下， 已知在 H 0 成立的情况下，

P ( K ≥ 6.635) ≈ 0.012

成立的情况下， 大于6.635 6.635概率非常 即在 H 0 成立的情况下，K2 大于6.635概率非常 近似为0.01 小，近似为0.01 现在的K =56.632的观测值远大于 的观测值远大于6.635 现在的K2=56.632的观测值远大于6.635

背景分析

条形图

柱形图

列联表

分类变量之间关系

独立性检验

在某医院, 因为患心脏病而住院的665 例 1. 在某医院 , 因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中, 214人秃顶 而另外772 人秃顶, 772名 名男性病人中 , 有 214 人秃顶 , 而另外 772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶 人秃顶. 175 人秃顶 . 分别利用图形和独立性检验方 法判断是否有关? 法判断是否有关?你所得的结论在什么范围 内有效? 内有效?600 500 400 300 200 100 0 秃顶 不秃顶 患心脏病 患其他病 患其他病 患心脏病

例 2. 为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 课程之间的关系 , 在某城市的某校高中生 中随机抽取300名学生,得到如下列联表: 300名学生 中随机抽取300名学生,得到如下列联表:性别与喜欢数学课程列联表 喜欢数学课程 男 女 总计 37 35 72 a c 不喜欢数学课程 b d 85 143 228 总计 122 178 300

由表中数据计算得 K 2 ≈4.513 ,高中生的 性别

与是否喜欢数学课程之间是否有关系? 性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系? 为什么? 为什么? 解:P111

独立性检验基本的思想类似反证法 独立性检验基本的思想类似反证法1)假设结论不成立 假设结论不成立, (1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量 应该很能小, (2)在此假设下随机变量 K2 应该很能小,如果由观测数据

的观测值k很大, 计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设 不合理. 不合理. (3)根据随机变量K 的含义, (3)根据随机变量K2的含义,可以通过 根据随机变量 评价该假设不合理的程度,由实际计算出的, 评价该假设不合理的程度,由实际计算出的, 说明假设合理的程度为99.9%,即 说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关 99.9%, 这一结论成立的可信度为约为99.9%. 系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.

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