物理奥赛辅导

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静电场 特级教师 李

一、库仑定律

1、定律表述和公式（注意：静止、真空、点电荷） 12 121220

?F?qq?r4??r1ε0 = 8.85×10-12 C2 · N-1 · m-2 ( F/m 称为真空电容率。K=1/4πε0 叠加原理: ??n1q0?qiq0dq?F?r ?F?r2i24??0rrii?14??0

??例1：如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电量为q。圆环轴线上与环心相距x处有一点电荷，电量为Q。求点电荷Q与圆环电荷的相互作用力。 ??1Q?q?F??Fx?cos?x 224??0(x?R)

?1qx ??QE?Qx34?? 0(x2?R2)2

??例2：正四面体四个顶点固定有电量Q，中心有自由的点电荷q 沿着X轴方向微扰点电荷q，分析点电荷q的运动情况？ 记住近似公式：(1+x)n≈1+nx (当x<1时)

QqQq2QqxF?k[??] 3(r?x)2(r?x)2(x2?r2)2

2kQqxF? 3r

例3：如图15-2所示，在x>0的空间各点，有沿x轴正方向的电场，其中，x≤d 区域是非匀强电场，电场强度E 的大小随x增大而增大，即E=bx. b为已知量(b>0)；在x>d 的区域是匀强电强，场强E=bd.x<0的空间各点电场的分布与x>0的空间中的分布对称，场强的方向沿x轴的负方向．一电子(质量为m、电量为-e，e>0)。在 x=2.5d 处沿 y 轴正方向以初速V 开始运动，求：

(1) 电子的 x 方向分运动的周期；

(2) 电子运动的轨迹与 y 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离。

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例4 两个带正电的点电荷，带电荷量都是Q,固定放置在图15-3所示中x轴上A、B 两点处，A、B距原点的距离r.若在原点处放置另—点电荷，其带电荷量大小是q， 质量为m

(1) 当限制点电荷q只能在哪些方向上运动时，它在O处才是稳定的? (2) 讨论在这些方向上受扰动后，它的运动情况．

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例5：劲度系数为k，原长度为 L 的绝缘轻弹簧两端各系一个带电小球，两小球的质量和电量分别为m1、q1 和 m2、q2。 空间加一均匀电场，电场强度为E。开始时两小球静止，弹簧沿电场方向放置。试求弹簧运动过程中弹簧的最大长度。(两小球间相互作用忽略不计)

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例6 半径为R、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总电量为Q。(1)知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动,求园环上的电荷分布；(2)如图,将Q1=kQ放在距环心r1处,若Q2、Q1、Q三者都静止不动，求Q2的大小和位置;（3）让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿x轴移小距离x后静止释放，试讨论环的运动。

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二、电场 电场强度 ★高斯定理

?1．电场强度定义式: ? FE?

q2：特殊形式的场强： ?q1q???（1）点电荷的场强： E?k2rr2r4??0r

电场强度叠加原理：任何带电体的场强等于带电体上各部分电荷单独存在时场强的矢量dq和。 ??E?r2 4??0rq

?（2）均匀带电球壳的内外场强： （3）均匀带电球体的场强：叠加原理 面密度 体密度

（4）半径为R的环形均匀带电在其轴上一点形成的电场：

例：电偶极子：远区场的分布

??电偶极子的电偶极矩： p?2qa

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求解上述三种情况下空间的电场？

求解上述情况下空间的电场？

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在匀强电场中放一个金属球 求空间分布的电场？

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例1：半径为R的环形均匀带电在其轴上一点形成的电场及电势？ 均匀带电球体的电场分布？ 例2：接地求壳上感应的电量为多少： 例3：球形带电球壳内半径为r，外半径为R，带电为Q，内部距离圆心b处有一个点电荷q，求：（1）球壳上的电荷分布情况 （2）球心的电位：

（3）球壳外的电场强度和电势的分布。

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例4：证明没有平行不等距的电场线。

例5：两电荷相对移动电场力做功的计算方法？（互能的概念）

例6 相距2r的两个等量同种正电荷带电量为Q，求在其连线的中垂线上场强的最大值及位置。

1真空中；有五个电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、R／2、R／4、R／8、R／16，彼此内切于 P点（如图所示）．球心分别为O1、O2、O3、O4、O5． 求O5与O1的电势差．

2如图所示，半径为R的半圆形绝缘线上、下1／4圆弧上分别均匀带电十q和一q，求圆心处的场强。

3如图所示，两个面积S足够大的平行金属极正对着平行放置，中间用两根直径相同的细绝缘棒隔开，让两板带上等量异性电荷十Q和一Q，（1）分析空间各点的场强（2）不计板所受重力，欲将上板提升h，外力至少要做多少功？

例题：求两个均匀带电的半球直径上的电势分布？

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例题：四个金属球仅球1带电，将 1球分别接2，3，4，地球，求流入大地的电量？

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空间某一体积为V的区域内的平均电场强度＜E＞定义为：

今有一半径为a的原来不带电的金属球，现使它处于电量为q的点电荷的电场中．点电荷位于金属球外，与球心的距离为R．试计算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度．

补充另一种求解电势能的办法，并求解均匀带电球体的自能？

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例题：求解均匀带电球壳上的电场强度？

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四、电场中的导体

1特点：电场中导体的静电平衡的特点：内部场强为零，导体是个等势体，表面是个

等势面，电荷分布在导体的表面，导体表面的场强与导体表面垂直。 例题：补充接地电流问题。 导体表面附近的场：

1（复旦08）在静电平衡条件下，下列说法中正确的是( ) A．导体上所有的自由电荷都分布在导体的表面上 B．导体表面附近的场强垂直于该处表面

C．导体壳所带的电荷只能分布在导体的外表面上，内表面上没有电荷

D．接地的导体上所带净电荷—定为零 答案：B

2带正电的空心金属球壳，支于绝缘支座上，将五个原来不带电的金属球，如图所示放置，静电平衡时，下列说法中正确的是： A、D球不带电且D球电势高于A球的电势 B、B球带负电，且电势为零

C、因E球与内壁接触，所以不带电且与球壳电势相等 D、若C球通过导线与球壳内壁接触，则不带电 答案：ABC；

例题：计算面电荷分布：

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2电场中导体的镜像问题

唯一性定理：电荷分布ρ给定，满足给定边界条件的解是唯一的。 因此只要在求解空间外，合理设定像电荷，使得满足边界条件，则可以用像电荷代替感应电荷，而且像电荷通常与感应电荷的电量相等。

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2、电容器的串联与并联规律：与电阻的串联与并联规律相反

211Q23电容器的储能公式： W?CUW?QUW?222C

例：三个电容器 C1 、C2 C3 和电源E1、E2连接，如图．其中c1=C2= C3/2=2Μf，

E1=6V，E2＝9V，求每个电容器所带电量

4．复杂电路简化

（1）对称简化：如断开等电势，则断开无影响 等电势点可以用导线相连

例：求对称分布的总电容

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（3）网络含源电路的处理

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例 n个电容 初始电压如图 ，现在将其正负首尾串联成闭合回路，求每个电容器上的电荷分布。

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例 .(07年交大)如图所示，有一与电容器串联的光滑矩形金属轨道，轨道宽度为L、与地面成θ角放置。轨道上有一质量为m，与轨道垂直放置的金属杆AB可以在轨道上自由滑动。整个系统处于与轨道平面垂直的与强磁场B中。若金属感AB原来处在离轨道底部距离为d的位置，忽略整个系统的电阻，求金属感从静止开始滑动到矩形轨道底部所需要的时间。

答案：

（△q1=1683q1/3 △q100=3366 2q1/3） （58块 电势为63441 * 4 kπdq1/l2 ）

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恒定电流

例 磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们熟悉的欧姆定律，本题研究的问题即为一例。

设xoy平面内有密度（单位体积内的电子数）为n的二维电子气。平面内沿x轴方向

????存在均匀电场E?Ei（i为轴正方向的单位矢量），垂直于平面的z轴方向存在匀强磁场，????磁感应强度为B?Bk（k为z轴正方向的单位矢量）。已知平面内的电子运动受到的散射阻

力与速度v成正比，可等效地用一时间参量?描述为?mv?，m为电子质量，试求在稳态沿

x和y方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度的电流）jx和jy，将结果用电子电荷量绝对值e、n、m、E、?及?表示出， ??参考答案：

列出x和y方向的二维电子的牛顿方程如下： max??eE?evyB? may?evxB?eB。 mmvx? （1）

mvy? （2）

在稳态，v不随时间变化，电子无加速度，ax?ay?0。因此由（2）式得

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vy???vx （3）

代入（1）式得

vx??根据定义

jx??nevx （5） jy??nevy （6）

e?E （4）

m(1??2?2)ne2?E jx?? 22m(1???)ne2??2E jy?? 22m(1???)

例题：漏电电容的处理：求每个电容的带电量 和中间板上的自由电荷的净带电量

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2电路的对称简化路解法（等电势点可以短路；用分流电流求总电压

例 立方体的各个点的电阻计算问题

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例题：整个环的电阻为R，求AB之间的电阻

16届试题

RABU29??RI24

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R513=388R/627

例 已知最外侧正方形边长为L，所有材料相同，单位长度的电阻为R，求：AC间的电阻 EG间的电阻

RAC1?(3?2?1)R2

1REG??(3?2)R111?'?2RREG2R 36

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5、外加一电压源，用复杂电路解法求总电流。利用电阻的定义求总电阻。

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3 等效电压源及测量电源电动势与内阻的误差分析

4、惠斯通电桥与补偿法测电源电动势及内阻

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电 磁 感 应

例 求下列三种情况下产生的电动势

v?FRFR?.B2r2B2(r?L)202?2?B23T?r03FR 40

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注意：这儿只是洛伦兹力的一个分力做了功，洛伦兹力的合力并不做功。

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例题：B=kr，用外力沿着切线作用于A点，已知摩擦因素μ，OA杆子匀速转动，角速度为ω，杆子质量为m，求外力的大小？

k?a51f???mg 9R2

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【例1】半径为R螺线管内充满匀强磁场，磁感应强度随时间的变化率

?B已知。求长为L?t的直导体在图10-14中a、b、c三个位置的感应电动势大小分别是多少？ 答案：构造闭合回路求解

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【例2】光滑金属导轨宽L＝0.4m，电阻不计，均匀变化的磁场穿过整个轨道平面，如图中甲所示。磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示。金属棒ab的电阻为1Ω，自t＝0时刻起从导轨最左端以v＝1m/s的速度向右匀速运动，则：

（A）1s末回路中电动势为0.8V

（B）1s末ab棒所受磁场力为0.64N （C）1s末回路中电动势为1.6V

（D）1s末ab棒所受磁场力为1.28N

143．（复旦06）在圆柱形均匀磁场中，带正电的粒子沿如图所示圆形轨道运动

（的等效成一圆电流），与磁场方向构成左手螺旋。若磁感应强度B的数值突然增大，则增大的瞬间，带电粒子的运动速度______。

A．变慢 B．不变 C．变快 D．不能确定 答案：C； 17．（交大04）如图，半径为R的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化率为k(k为常数)，B的方向与圆形区域垂直，在图中垂直纸面向内。一长为2R的金属直杆ac也处在圆形区域所在平面，并以速度v扫过磁场区域。设在t时刻杆位于图示位置，此时杆的ab段正好在磁场内，bc段位于磁场之外，ab=bc=R，求此时杆中的感应电动势。

答案：

；

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1、如图所示，正方形导线框acde内的正方形abgf范围内有磁感应强度均匀变化的磁场，且导线框内fab段产生的感应电动势大小为ε1，bcdef段产生的感应电动势大小为ε2，则：

A、ε1≠0，ε2=0 B、ε1>ε2 C、ε1<ε2 D、ε1=ε2 答案：D

2如图10-15所示，均匀导体做成的半径为R的Φ形环，内套半径为R/2的无限长螺线管，其内部的均匀磁场随时间正比例地增大，B = kt ，试求导体环直径两端M、N的电势差UMN 。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3qqw.html