曲线积分的计算法

曲线积分的计算法

1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 )

第二类 ( 对坐标 )

用参数方程

(1) 选择积分变量 用直角坐标方程

用极坐标方程

???转化

定积分

(2) 确定积分上下限 定理

设f(x,y)在曲线弧L的参数方程为?x??(t),??y??(t),?第一类: 下小上大 第二类: 下始上终

对弧长曲线积分的计算

L上有定义且连续(??t??)其中,且,?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数?Lf(x,y)ds???22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt(???)注意:

1.定积分的下限?一定要小于上限?;.2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的特殊情形

(1)L:y??(x)a?x?b.b2f[x,?(x)]1???(x)dx.?Lf(x,y)ds???a(2)L:x??(y)c?y?d.d?Lf(x,y)ds?cf[?(y),y]1???(y)dy.2

例1

解

求I???L?x?acost,xyds,L:椭圆?(第?象限).?y?bsint,22I??20acost?bsint(?asint)?(bcost)dt??ab?2sintcostasint?bcostdt02222?aba?b222?abudu22(令u?.asint?bcost)2222?ab(a?ab?b)3(a?b)y?4x2例2

解

I?求I??Lyds,2其中L:y?4x,从(1,2)到(1,?2)一段.2??2y2y1?()dy?0.2例3

解

求I???xyzds,其中?:x?acos?,y?asin?,(0???2?)z?k?的一段.I???12??2?acos?sin??k?2a?kd?2202?kaa?k.22例4

求I??xds,2?x2?y2?z2?a2,其中?为圆周??x?y?z?0.解 由对称性, 知 ?x?2ds???yds?2??zds.2故I?1?3?(x?y?z)ds222

?a23?ds??2?a33.(2?a??ds,球面大圆周长?)对坐标的曲线积分的计算

设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为?x??(t),当参数t单调地由?变??y??(t),B,一阶连到?时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点?(t),?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有22续导数,且??(t)???(t)?0,则曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy存在,且?P(x,y)dx?Q(x,y)dyL???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?特殊情形

(1)L:y?y(x)x起点为a，终点为b.则??LPdx?Qdy???ba{P[x,y(x)]?Q[x,y(x)]y?(x)}dx.y起点为c，终点为d.(2)L:x?x(y)则LPdx?Qdy?dc{P[x(y),y]x?(y)?Q[x(y),y]}dy.例5 计算 ?(2a?y)dx?xdy,其中L为摆线 x?a(t?sint),Ly?a(1?cost)上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧.

?a(t?sint)?asintdt提示: (2a?y)dx?xdy?a(1?cost)?a(1?cost)dt?atsintdt2?原式?a2?02πtsintdt?a2??tcos2t?sin2π?t0??2πa

例 6 计算 ??xyzdz,其中? 由平面 y = z 截球面

x?y?z?1所得,222从 z 轴正向看沿逆时针方向.

提示: 因在 ? 上有 x2?2y2?1,故

x?cost?: y?12sint(0?t?2π)z?12sint 原式 = 122?2π0cos2tsin2tdtπ?1?4?22?cos2220cost(1t)dt?2??1?π?3?1?π???2π?22422?16曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分

??第一类( 对面积 ) ??第二类( 对坐标 )

??转化

(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程

(2) 积分元素投影 ?第一类: 始终非负 ??第二类: 有向投影

(3) 确定二重积分域

— 把曲面积分域投影到相关坐标面

二重积分

对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面

?:z?z(x,y),(x,y)?Dxyf (x, y, z) 在 ? 上连续, 则曲面积分 ???存在, 且有 ???f(x,y,z)dS22?f(x,y,z)dS??Dxyf(x,y,z(x,y))1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy 例7 计算??(x?y?z)ds?平面, 其中?为y?z?5被柱面x积分曲面 2?y2?25所截得的部分. 解

?：z?5?y , xy投影域 ：D?{(x,y)|x22?y2?25} dS?1?z?x?z?ydxdy?故21?0?(?1)dxdy?2dxdy,2??(x?y?z)ds??2??(x?y?5?y)dxdyDxy?2??(5?x)dxdyDxy?2?2?0d??(5?rcos?)rdr05?1252?.对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号

例8. 计算曲面积分 ???y?z?1222?xyzdxdy,其中 ? 为球面

外侧在第一和第五卦限部分.

解: 把 ? 分为上下两部分

x??y?z?122

?1:z??1?x2?y2?2:z?1?x?y22

(x,y)?Dxy ? ??x2?y2?1:??x?0,y?0

???xyzdxdy???1xyzdxdy?

???2xyzdxdy22 ?2xy1?x?y dxdy??D

xy

?2??D ?

?rsin?cos?xy21?r2rdrd??20sin2?d??10r31?rdr2 ?215

例9

计算???(z2?x)dydz?zdxdyz?12(x22,其中Σ是旋转抛物面?y)介于平面z?0及 z?2之间的部分的下侧. ???解

(z?x)dydz?22???(z?x)cos?ds2????(z?x)cos?cos?x2dxdy在曲面?上,有cos????????1?x?y(z?x)dydz?zdxdy222,cos???11?x?y22.??[(z?x)(?x)?z]dxdy1(x?y)?x]?(?x)?22421222???[x?(x?y)]dxdy2Dxy2?21222??d??(rcos??r)rdr?8?.002Dxy????{[1(x?y)}dxdy22

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