上海市奉城高级中学2022-2022学年高二上学期12月月考数学试题

试卷第1页，总4页 上海市奉城高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数

学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．过点()3,5P ，且与向量()4,2d =平行的直线l 的点方向式方程为__.

2．双曲线22

149

x y -=的虚轴长是___________________. 3．直线320x y ++=的倾斜角为__.

4．已知直线220x y +-=和310x y -+=的夹角是___________________. 5．以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是__________．

6．已知方程22

1104

x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围是___________________. 7．已知一圆的圆心坐标为()2,1C -，且被直线l ：10x y --=

截得的弦长为则此圆的方程__.

8．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=

，若AB=4

，BC =则Γ

的两个焦点之间的距离为________ 9．已知12 F F 、分别是双曲线22221(0 0)x y a b a b

-=>>，的左右焦点，过1F 且倾斜角为30的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是______. 10．给出问题:已知双曲线方程为2233x y -=，问以定点()1,1B 为中点的弦存在吗?若存在，求出其所在直线的方程;若不存在，请说明理由.

某学生的解答如下：过点()1,1B 与x 轴垂直的直线与双曲线只有唯一的公共点()1,0，显然不符题意，所以可设所求直线的斜率为k ，则直线方程为()11y k x -=-，即

1y kx k =-+，将它代入得2233x y -=，()

()222321240k x k k x k k ----+-=，设直线与双曲线相交于()()1122,,,M x y N x y ，则()122213k k x x k

-+=-，若()1,1B 为线

试卷第2页，总4页 段MN 的中点，则122x x +=，即

()22123k k k

-=-，解得3k =.所以满足条件的直线存在，方程为320x y --=. 该学生的解答是否正确?并说明理由_______________________.

11．若直线y x m =+

与曲线y =

m 的取值范围是________________．

12．下列四个命题:

①直线l 的斜率[]1,1k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是,44a ππ??∈-????

②直线:1l y kx =+与过()1,5A -，()4,2B -两点的线段相交，则4k ≤-或34

k ③直线1y kx =+与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥; ④方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是14

m <或1m ; 正确的是___________________.

二、单选题

13．下列方程能表示如图所示的直线的是（ ）

A

0= B ．220x y -= C ．0x y -=

D ．220x y -= 14．已知双曲线22:1C x y -=与直线:1l y kx =+，

“k =是“直线l 与双曲线C 有一个交点”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

15．圆22244205

x y x y ++++=上的点到直线340x y +=的距离的最大值是（

）

试卷第3页，总4页 A ．35 B ．15 C

．105+ D

．105 16．已知曲线C ：221x x

y y a b -=，下列叙述中错误的是（ ）

． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点

B ．直线y kx m =+（,k m R ∈）与曲线

C 最多有三个交点

C ．曲线C 关于直线y x =-对称

D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有1212

0y y x x ->-

三、解答题

17．已知ABC 的三个顶点是()()()3,40,,36,0A B C --,.

求（1）BC 边所在直线的一般式方程;

（2）BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程.

18．已知椭圆C

的长轴长为()2,0-；

（1）求C 的标准方程；

（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，

且AB 试求直线l 的倾斜角．

19．已知直线l ：y x m =+与圆C ：222440x y x y +-+-=相交于A ，B 不同两点. （1）求m 的取值范围；

（2）设以AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程.

20．设双曲线C ：22

123

x y -=， 12,F F 为其左、右两个焦点． (1)设O 为坐标原点，M 为双曲线C 的右支上任意一点，求1OM F M ?的取值范围；

(2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19

-，求动点P 的轨迹方程． 21．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，

左焦点为()F ，右顶点为()2,0D ，设点11,2A ??

???

.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

面积的最大值. （3）过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC

试卷第4页，总4页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第1页，总12页 参考答案

1．3542

x y --= 【分析】

直接利用点向式方程公式得到答案.

【详解】

根据题意，直线l 过点()3,5P ，且以向量()4,2d =为方向向量，则其方程为：354

2x y --= 故答案为：35

42x y --=.

【点睛】

本题考查了点向式方程，属于简单题.

2．6.

【分析】

根据双曲线的几何性质可以得出虚轴长.

【详解】 解：双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的虚轴长是2b ， 所以双曲线2

2

149x y -=的虚轴长是6.

故答案为：6.

【点睛】 双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>中：

（1）实轴长为2a ，实半轴长为a ；

（2）虚轴长为2b ，虚半轴长为b .

3．arctan3π-

【分析】

计算直线的斜率为3k =-，即tan 3θ=-，计算倾斜角得到答案.

【详解】

根据题意，设直线320x y ++=的倾斜角为θ，直线320x y ++=的斜率3k =-， 则有tan 3θ=-，又由0θπ≤<，则arctan3θπ=-；

故答案为：arctan3π-.

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第2页，总12页 【点睛】

本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.

4．4

π 【分析】

根据直线夹角公式求出正切值即可得出夹角.

【详解】

可知直线220x y +-=的斜率12k =-，直线310x y -+=的斜率23k =，

设两直线夹角为θ，0,2π??θ∈????

， ()()211232tan 11123k k θk k ---∴===++-?，4πθ∴=. 故答案为：

4π. 5．()()221225x y -+-=

【解析】

以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=

相切，圆心到直线的距离等于半径，即半径5r ==，所求圆的标准方程：22(1)(2)25x y -+-=，故答案为

22(1)(2)25x y -+-=．

方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、点到直线距离公式，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.

6．()()4,77,10?

【分析】

由22

1104

x y k k +=--表示椭圆，根据椭圆的标准方程列不等式组求解即可.

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第3页，总12页 【详解】 因为221104x y k k +=--表示椭圆，则10040104k k k k ->??->??-≠-?得()()4,77,10k ∈.

故答案为：()()4,77,10?.

7．()()22214x y -++=

【分析】

，再根据弦长计算半径得到答案.

【详解】

∵圆心坐标为()2,1C -，且被直线l ：10x y --=

截得的弦长为

圆心()2,1C -到直线l

的距离d ==，

∵圆被直线l ：10x y --=

截得的弦长为

2r =

=， ∴此圆的方程为()()22214x y -++=.

故答案为：()()22214x y -++

=.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，确定圆的半径是解题的关键.

8．3

【解析】

不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b

+=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c

==． 【考点定位】考查椭圆的定义及运算，属容易题．

9．y =

【分析】

设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，由双曲线的定义和直角三角形中的性质，可得m ，n 的关

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第4页，总12页 系，由a ，b ，c 的关系可得b ，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．

【详解】

解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，

在直角△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，

可得m ＝2n ，

则m ﹣n ＝2a ＝n ，即a 12

=n ， 2

c =，即

c 2

=n ，

b 2

==n ， 可得双曲线的渐近线方程为y ＝±

b a

x ， 即为y

，

故答案为：y

x ．

【点睛】 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和解直角三角形，考查运算能力，属于中档题．

10．不正确.

【分析】

()()222321240k x k k x k k ----+-=有解的前提是0?>，将解出的值代入验证即可.

【详解】

解：（1）当斜率不存在时，过点()1,1B 与x 轴垂直的直线与双曲线只有唯一的公共点()1,0，显然不符题意，

（2）当斜率存在时设为k ，则直线方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+， 将它代入得2233x y -=，

化简得()()222321240k x k k x k k ----+-=，

设直线与双曲线相交于()()1122,,,M x y N x y ，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第5页，总12页 则()122

213k k x x k -+=-， 因为()1,1B 为线段MN 的中点，则122x x +=，即

()22123k k k -=-， 解得3k =，

将3k =代入()()222321240k x k k x k k ----+-=

化简得261270x x -+=，此时212467240?=-??=-<可得所求直线不存在， 所以满足条件的直线不存在，

所以该学生的解答是否不正确.

故答案为：不正确.

【点睛】

在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：

①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 11．22m -≤<或

m =【解析】

由题意可得曲线为半径为2的上半个圆，如下图，由图可知当直线截距为[

)2,2-

及m =相切时有且只有一个公共点，填22m -≤<或

m =

12．②④

【分析】

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第6页，总12页 ①根据l 的斜率[]1,1k ∈-，得到ta 11n α-≤≤，再根据直线的倾斜角的范围是[0,)π求解

判断；②根据直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，由34,4

PA PB k k =-=-判断； ③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，由点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上求解判断；④将方程配方为()()22

221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，由24150m m +->求解判断.

【详解】

①因为l 的斜率[]1,1k ∈-，则ta 11n α-≤≤，又直线的倾斜角的范围是[0,)π，所以

30,[,)44a πππ??∈?????

，故错误； ②直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，34,4

PA PB k k =-=-，若直线与过()1,5A -，()4,2B -两点的直线相交，则4k ≤-或34

k ，故正确； ③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上，则

11m ≤，且5m ≠，所以m 的取值范围是1m ≥且5m ≠，故错误; ④方程224250x y mx y m ++-+=配方()()22221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，则24150m m +->，解得14

m <或1m ，故正确; 故答案为：②④ 【点睛】 易错点点睛：本题③容易忽视方程22

15x y m

+=表示椭圆，则0m >且5m ≠的条件. 13．D

【分析】

由图可知，图中直线对应的方程为y x =，依次化简每个选项方程即可判断.

【详解】

由图可知，图中直线对应的方程为y x =，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第7页，总12页 对A

0=可得()0y x x =≥，故A 错误； 对B ，由220x y -=可得y x =或y x =-，故B 错误；

对C ，由0x y -=可得()0y x x =≥或()0y x x =-≥，故C 错误；

对D ，若220x y -=，则22x y =，即y x =，故D 正确.

故选：D.

14．A

【分析】

先求出直线l 与双曲线C 有一个交点对应的k 的范围，再根据集合包含关系即可判断.

【详解】

若直线l 与双曲线C 有一个交点，

联立直线与双曲线方程可得()221220k x

kx ---=， 当210k -=，即1k =±时，方程有1个解，即直线l 与双曲线C 有一个交点，符合题意， 当1k ≠±时，()()()2224120k k ?=---?-=

，解得k =

故直线l 与双曲线C

有一个交点对应的集合为{1,1,-，

{2,-

{1,1,-， ∴

“k =是“直线l 与双曲线C 有一个交点”的充分不必要条件.

故选：A.

15．C

【分析】 利用圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】

22222241420(2)(1)55x y x y x y ++++=?+++==，

因此该圆的半径为5r =

，圆心坐标为(2,1)--，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第8页，总12页 圆心到直线340x y +=

的距离为2d ==，

所以该圆上的点到直线340x y +=

的距离的最大值是10255d r ++=+

=. 故选：C

16．C

【解析】

略

17．（1）260x y -+=；（2）220x y +-=

【分析】

（1）先求出直线BC 斜率，利用点斜式即可求出；

（2）根据BC AD ⊥求出直线AD 斜率，再利用点斜式即可求出.

【详解】

（1）()(),0,36,0B C -，

()301062BC k -∴=

=--， ∴BC 边所在直线方程为()1302y x -=

-，即260x y -+=； （2）BC AD ⊥，1BC AD k k ∴?=-，2AD k ∴=-，

()3,4A -在直线AD 上，

∴AD 所在直线方程为()423y x +=--，即220x y +-=.

18．（1）22

162

x y += （2）4π或34π 【分析】

（1）由题意可设椭圆方程为：()22

2210x y a b a b

+=>>，则2c =

，2a =椭圆的标准方程；

（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第9页，总12页 式即可求得k 的值，即可求得直线l 的倾斜角．

【详解】

解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为：()222210x y a b a b

+=>>， 则2c =

，2a =

a =

2b ==，

∴C 的标准方程22

162

x y +=； （2）由题意可知：椭圆的右焦点()2,0，设直线l 的方程为：()2y k x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，

()22

2162y k x x y ?=-??+=??

；整理得：()222231121260k x k x k +-+-=， 韦达定理可知：2

1221231

k x x k +=+，212212631k x x k -=+，

AB =

)22131k k +==+，

由AB

=

)

22131k k +=+21k =，故1k =±，

经检验，1k =±，符合题意，因此直线l 的倾斜角为

4π或34

π． 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．

19

．

(1)(33---+；(2) 40x y --=或10x y -+=

【分析】

（1）联立方程，得到()22221440x m x m m ++++-=，计算0?>得到答案.

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第10页，总12页 （2）根据（1）知()121x x m +=-+，212442

m m x x +-=，根据题意得到12120x x y y +=，代入数据计算得到答案.

【详解】

(1）由222440

y x m x y x y =+??+-+-=?，得：()22221440x m x m m ++++-=， ∵直线l ：y x m =+与圆C ：22

2440x y x y +-+-=相交于A ，B 不同两点， ∴()()2418440m m ?=+-->

，解得33m --<<-+ ∴m

的取值范围是(33---+. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()121x x m +=-+，212442

m m x x +-=， ()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，

由于以AB 为直径的圆为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，

若它经过原点，则12120x x y y +=，∴()2121220x x m x x m +++=， ∴()221442022

m m m m m -++-?+?+=，解得4m =-或1m =. 直线l 的方程为40x y --=或10x y -+=.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，将题目转化为12120x x y y +=是解题的关键.

20．（1

）)

2?+∞?；（2）22194x y += 【解析】

（1）设(),M x y

，x ≥

()

1F ， ∵(

)(

)2

222

13,32x OM F M x y x y x y x ?=?=++=++-

2532x =-

（x ≥

对称轴为x =≤，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第11页，总12页

∴)

12OM F M ??∈++∞?. （2）由椭圆定义得P 点轨迹为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

，12F F =122PF PF a +=，

222121212121220

4220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--?-∠==?? 212

42012a PF PF -=-?，

由基本不等式得122a PF PF =+≥12PF PF =时等号成立， ∴2

12PF PF a ?≤，则21224201cos 129a F PF a -∠≥-=-，∴29a =，24b =， ∴动点P 的轨迹方程为22

194

x y +=. 21．（1）2214x y +=；（2）22114124x y ????-+-= ? ????

?；（3

. 【解析】

试题分析：解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0), 由001

2

{122x x y y +=

+= 得0021{122x x y y =-=- 又点P 在椭圆上,得,

∴线段PA 中点M 的轨迹方程是.

(3)当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1.

当直线BC 不垂直于x 轴时,设该直线方程为y=kx,代入,

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是.

考点：椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系

点评：解决的关键是利用椭圆的性质得到a,b,c的关系式，同时联立方程组，结合韦达定理来表示轨迹方程，结合距离公式得到面积，属于基础题．

答案第12页，总12页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/66lq.html