2017年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

2017年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）﹣2的相反数是（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣

D．

2．（4分）如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）

A．70°

B．45°

C．110°

D．135°

3．（4分）下列计算中正确的是（ ） A．2a﹣a＝2

B．﹣1﹣2＝1

C．（﹣a）＝a

2

3

6

D．﹣a＝﹣

﹣2

4．（4分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）

A．8.6分钟

B．9分钟

C．12分钟

D．16分钟

5．（4分）如图所示，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ）

A．∠1＝∠2

B．BE＝DF

2

C．∠EDF＝60° D．AB＝AF

6．（4分）若关于x的方程kx+（k+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的解为（ ）

第1页（共22页）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

2017

7．（4分）若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）的值是（ ）

A．1 B． C．﹣1 D．﹣

8．（4分）如图所示，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4

cm，则∠ACM的度数是（ ）

A．45°

B．50°

C．55°

D．60°

9．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F在DC边上，连接AF、BE交于点P，若EF＝DC，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．50

B．45

2

C．40 D．35

10．（4分）如图，已知二次函数y＝ax+bx+c的图象如图所示，则下列四个结论：①a+b+c＜0；②a+c＝b；③b＝﹣2a；④4ac﹣b＜0，其中正确的结论有（ ）

2

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在函数y＝

3

中，自变量x的取值范围是 ．

12．（4分）分解因式：x﹣x＝ ．

第2页（共22页）

13．（4分）已知样本x1、x2、x3、x4的平均数是2，则x1+3、x2+3、x3+3、x4+3的平均数是 ． 14．（4分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，则关于x的不等式kx+b＜的解集为 ．

15．（4分）已知x1，x2是方程x﹣2017x+2＝0的两个实数根，则x1﹣2018x1﹣x2＝ ． 16．（4分）在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，3），动点M，N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP．下列说法①当点M运动了2秒时，点P的坐标为（2，）；②当点M运动秒时，△NPC是等腰三角形；③当点N运动了2秒时，△NPC的面积将达到最大值．其中正确的有 ．

2

2

三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）计算：18．（8分）解方程：

﹣|1﹣

+

|﹣（）+（π﹣3）﹣2cos45°． ＝

2

﹣1

0

2

19．（10分）先化简，再求值：（a+b）﹣2a（b+1）﹣ab÷b，其中a＝，b＝．

20．（12分）近年来“低头族”现象日趋严重，初中生的视力状况受到了全社会的广泛关注．某市有关部门对全市3万名初中生视力状况进行了一次抽样调查，并利用所得的数据绘制了如图的频数分布直方图，根据图中提供的信息解答下列问题：

第3页（共22页）

（1）本次调查共抽测了多少名学生？

（2）如果视力在4.9～5.1（含4.9和5.1）均属正常，那么全市约有多少名初中生的视力正常？

（3）若从视力在4.9～5.1的3个男生，2个女生中随机抽取2人了解其平时用手机情况，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．

21．（12分）为缓解“停车难”的问题，某单位拟造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图如图所示，已知该坡道的水平距离AB的长为9m，坡面AD与AB的夹角∠BAD＝18°，石柱BC＝0.5m，按规定，地下停车库坡道上方BC处要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．请你帮设计师计算一下CE的高度，以便张贴限高标志，结果精确到0.1m．

（参考数值：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO． （1）求证：△ABD∽△OBC； （2）若AB＝2，BC＝

，求AD的长．

23．（12分）某商场以180元/件的价格购进200件衬衫，当标价400元/件时无人购买，商

第4页（共22页）

场决定降价销售，连续降价两次后商场将这批衬衫以每件256元的价格全部售出，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种衬衫每次降价的百分率．

（2）商场为了使降价销售的总利润不少于22880元，则第一次降价后至少要售出多少件该种衬衫？

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

2

第5页（共22页）

2017年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）﹣2的相反数是（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣

D．

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2， 故选：B．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（4分）如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）

A．70°

B．45°

C．110°

D．135°

【分析】由对顶角相等得到∠1与∠5相等，等量代换得到∠2＝∠5，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠3与∠4互补，根据∠3的度数即可求出∠4的度数． 【解答】解：∵∠1与∠5是对顶角， ∴∠1＝∠2＝∠5＝45°， ∴a∥b，

∴∠3+∠4＝180°， ∵∠3＝70°， ∴∠4＝110°． 故选：C．

第6页（共22页）

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，以及对顶角与邻补角，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

3．（4分）下列计算中正确的是（ ） A．2a﹣a＝2

B．﹣1﹣2＝1

C．（﹣a）＝a

2

3

6

D．﹣a＝﹣

﹣2

【分析】根据整式运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝a，故A错误； （B）原式＝﹣3，故B错误； （C）原式＝﹣a，故C错误； 故选：D．

【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

4．（4分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）

6

A．8.6分钟

B．9分钟

C．12分钟

D．16分钟

【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．

【解答】解：他从学校回到家需要的时间是故选：C．

【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够

第7页（共22页）

＝12分钟．

通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．

5．（4分）如图所示，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ）

A．∠1＝∠2

B．BE＝DF

C．∠EDF＝60°

D．AB＝AF

【分析】由正方形的性质，可判定△CDF≌△CBF，则BF＝FD＝BE＝ED，∴四边形BEDF是菱形．

【解答】解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD，CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF， ∴BF＝FD， 同理，BE＝ED，

∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形． 故选：B．

【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，及菱形的判定．

6．（4分）若关于x的方程kx+（k+1）x+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的解为（ ） A．1

B．﹣1

C．2

2

2

D．﹣2

【分析】先利用根的判别式得到k≠0且△＝（k+1）﹣4k＝0，则可求出k＝1，所以方程变形为x+2x+1＝0，然后利用配方法解方程即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（k+1）﹣4k＝0， 解得k＝1，

方程变形为x+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1． 故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

2

2

2

2

2

第8页（共22页）

7．（4分）若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）

2017

的值是（ ）

A．1 B． C．﹣1 D．﹣

【分析】分别求出每个不等式的解集，根据该不等式组的解集为﹣1＜x＜1可得关于a、b的方程，解得a、b的值，代入计算可得． 【解答】解：解不等式x﹣a＞2，得：x＞a+2， 解不等式b﹣2x＞0，得：x＜b， ∵不等式组的解集为：﹣1＜x＜1， ∴a+2＝﹣1，b＝1， 解得：a＝﹣3，b＝2， 则（a+b）

2017

＝（﹣3+2）

2017

＝﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组能力，将a、b看作常数求出每个不等式解集是前提和根本，结合其解集得到a、b的值是关键．

8．（4分）如图所示，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4

cm，则∠ACM的度数是（ ）

A．45°

B．50°

C．55°

D．60°

【分析】连接OM，作OD⊥MN于D．根据垂径定理和勾股定理求解；根据直角三角形的边求得∠M的度数．再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB，即可解决问题． 【解答】解：连接OM，过点O作OD⊥MN于点D， ∵点M是弧AB的中点， ∴OM⊥AB， ∵MN＝4

cm，

．

第9页（共22页）

由垂径定理，得MD＝MN＝2

在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2∴OD＝2，

∵M为弧AB中点，OM过点O， ∴AB⊥OM， ∴∠MPC＝90°， ∵cos∠OMD＝

＝

＝

，

，

∴∠OMD＝30°， ∵OM⊥AB， ∴∠ACM＝60°． 故选：D．

【点评】本题主要考查了垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．

9．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F在DC边上，连接AF、BE交于点P，若EF＝DC，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．50

B．45

C．40

D．35

【分析】过P作PN⊥AB于N，交EF于Q，同样也垂直于CD，利用相似三角形的性质可求出NP，PQ，以及EF的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABP和△EFP的面积，用矩形ABCD的面积减去△ABP的面积减去△EFP的面积，即可求阴影部分面积． 【解答】解：过作PN⊥AB于N，交EF于Q， ∵△EFP∽△BAP，相似比是EF：AB＝1：2，

第10页（共22页）

∴PN：PQ＝AB：EF＝2：1， 又∵NQ＝BC＝6， ∴PN＝4，PQ＝2， ∴S△ABP＝×10×4＝20，

∴S△EFP＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60， ∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：D．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．

10．（4分）如图，已知二次函数y＝ax+bx+c的图象如图所示，则下列四个结论：①a+b+c＜0；②a+c＝b；③b＝﹣2a；④4ac﹣b＜0，其中正确的结论有（ ）

22

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【分析】先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题． 【解答】解：∵开口向上， ∴a＞0，

又∵对称轴为x＝， ∴﹣

＝，

∴a＝﹣2b，故③错误；

第11页（共22页）

∵图象与x轴一个交点为（，0）， ∴a+b+c＜0， ∴①正确；

∵图象与x轴有两个交点， ∴b﹣4ac＞0，

即4ac﹣b＜0，故④正确；

∵对称轴为x＝，图象与x轴一个交点为（，0）， ∴图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， 即a+c＝b，故②正确； 所以其中正确的有①②④． 故选：B．

【点评】本题考查了二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；a与b同号，对称轴在y轴的左侧；a与b异号，对称轴在y轴的右侧；△＞0，抛物线与x轴有两个公共点；△＜0，抛物线与x轴没有公共点；△＝0，抛物线与x轴只有一个公共点．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在函数y＝

中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠1 ．

2

2

2

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0， 解得：x≥0且x≠1． 故答案为：x≥0且x≠1．

【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．（4分）分解因式：x﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．

第12页（共22页）

3

2

2

【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x﹣1），而x﹣1可利用平方差公式分解． 【解答】解：x﹣x， ＝x（x﹣1）， ＝x（x+1）（x﹣1）． 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．

13．（4分）已知样本x1、x2、x3、x4的平均数是2，则x1+3、x2+3、x3+3、x4+3的平均数是 5 ．

【分析】只要运用求平均数公式：

【解答】解：x1+3、x2+3、x3+3、x4+3的平均数是（x1+x2+x3+x4+12）＝2+3＝5． 故填5．

【点评】本题考查平均数的求法，熟记公式平均数计算的综合运用．

14．（4分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，则关于x的不等式kx+b＜的解集为 ﹣1＜x＜0或x＞3 ．

是解决本题的关键，及

即可求出．

（x1+3+x2+3+x3+3+x4+3）＝

2

3

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．

【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

第13页（共22页）

∴不等式kx+b＜的解集是﹣1＜x＜0或x＞3． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．

15．（4分）已知x1，x2是方程x﹣2017x+2＝0的两个实数根，则x1﹣2018x1﹣x2＝ ﹣2019 ． 【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出x1﹣2017x1＝﹣2、x1+x2＝2017，将其代入x1﹣2018x1﹣x2＝（x1﹣2017x1）﹣（x1+x2）中即可得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程x﹣2017x+2＝0的两个实数根， ∴x1﹣2017x1＝﹣2，x1+x2＝2017，

∴x1﹣2018x1﹣x2＝（x1﹣2017x1）﹣（x1+x2）＝﹣2﹣2017＝﹣2019． 故答案为：﹣2019．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系结合一元二次方程的解找出x1﹣2017x1＝﹣2、x1+x2＝2017是解题的关键．

16．（4分）在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，3），动点M，N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP．下列说法①当点M运动了2秒时，点P的坐标为（2，）；②当点M运动秒时，△NPC是等腰三角形；③当点N运动了2秒时，△NPC的面积将达到最大值．其中正确的有 ①②③ ．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

【分析】①正确．只要求长中线CA的解析式，求出点P坐标即可判断； ②正确．延长MP交BC于E，只要证明CE＝EN，PE⊥CN即可解决问题； ③正确．根据二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：A（4，0），C（0，3），

第14页（共22页）

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 当t＝2时，OM＝2， ∴x＝2时，y＝﹣+3＝，

∴点P的坐标为（2，），故①正确， 当t＝时，OM＝， ∵CN＝4﹣＝，

延长MP交BC于E，则四边形OMEC是矩形， ∴∠CEM＝90°，

∴PE⊥CN，CE＝OM＝， ∴CE＝EN＝， ∴PC＝PN，

∴△PCN是等腰三角形，故②正确，

易知S△PCN＝（4﹣t）×[3﹣（4﹣t）]＝﹣（t﹣2）+， ∵﹣＜0，

∴t＝2时，△PCN的面积最大，故③正确， 故答案为①②③

2

【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）计算：

﹣|1﹣

|﹣（）+（π﹣3）﹣2cos45°．

﹣1

0

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．

第15页（共22页）

【解答】解：原式＝＝1﹣1﹣＝﹣

．

﹣（﹣1）﹣2+1﹣2×

【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 18．（8分）解方程：

+

＝

【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：原方程可化为：方程的两边同乘（x﹣2）（x+2），得 （x﹣2）﹣16＝（x+2）解得x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入（x+2）（x﹣2）＝0 ∴原方程无解．

【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．

19．（10分）先化简，再求值：（a+b）﹣2a（b+1）﹣ab÷b，其中a＝，b＝【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（a+b）﹣2a（b+1）﹣ab÷b ＝a+2ab+b﹣2ab﹣2a﹣a ＝b﹣2a， 当a＝，b＝

时，原式＝（

）﹣2×＝2．

2

22

2

2

2

22

2

2

2

，

．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的混合运算法则进行化简是解此题的关键．

20．（12分）近年来“低头族”现象日趋严重，初中生的视力状况受到了全社会的广泛关注．某市有关部门对全市3万名初中生视力状况进行了一次抽样调查，并利用所得的数据绘制了如图的频数分布直方图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查共抽测了多少名学生？

（2）如果视力在4.9～5.1（含4.9和5.1）均属正常，那么全市约有多少名初中生的视力

第16页（共22页）

正常？

（3）若从视力在4.9～5.1的3个男生，2个女生中随机抽取2人了解其平时用手机情况，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．

【分析】（1）根据频数分布直方图直接求出总人数即可，再利用所求数据除以3万即可得出占该市初中生总数的百分比；

（2）用全市学生总人数乘以视力在4.9～5.1所占的百分比，列式计算即可得解． （3）画出树状图，再根据概率公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）20+40+90+60+30＝240名； （2）30000×

＝7500名，

所以，全市有7500初中生的视力正常． （3）画树状图如下：

共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种， 则恰好抽中一男一女的概率是

＝．

【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（12分）为缓解“停车难”的问题，某单位拟造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图如图所示，已知该坡道的水平距离AB的长为9m，坡面AD与AB的夹角∠BAD＝18°，石柱BC＝0.5m，按规定，地下停车库坡道上方BC处要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．请你帮设计师计算一下CE的高度，以便张贴限高标志，结果精确到0.1m．

第17页（共22页）

（参考数值：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADB，根据正切的概念求出BD，根据正弦的定义计算即可．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAD＝18°， ∴∠ADB＝72°，

在Rt△ABD中，BD＝BD×tan∠BAD＝9×0.32＝2.88， ∴CD＝BD﹣BC＝2.38，

在Rt△CDE中，CE＝CD×sin∠ADB≈2.3， 答：CE的高度约为2.3m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO． （1）求证：△ABD∽△OBC； （2）若AB＝2，BC＝

，求AD的长．

【分析】（1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O的切线，根据切线性质得到∠CBO＝90°，进而得到这两个角相等，又AD∥CO，根据两直线平行，得到一对同位角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证； （2）根据勾股定理求得OC＝边成比例得出

＝

，即AD＝

，由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应

，求出AD的长．

第18页（共22页）

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠90°， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝∠90°， ∵AD∥CO， ∴∠A＝∠COB， 在△ABD和△OBC中

∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠COB， ∴△ABD∽△OCB；

（2）由（1）知，△ABD∽△OCB， ∴

＝

，即AD＝

，

，

∵AB＝2，BC＝∴OB＝1， ∴OC＝∴AD＝

＝

＝．

，

【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．对于第一问这样的几何证明题，要求学生多观察，多分析，根据题意选择合适的判定方法；第二问的突破点在于利用勾股定理表示出OC，借助第一问的相似得比例． 23．（12分）某商场以180元/件的价格购进200件衬衫，当标价400元/件时无人购买，商场决定降价销售，连续降价两次后商场将这批衬衫以每件256元的价格全部售出，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种衬衫每次降价的百分率．

（2）商场为了使降价销售的总利润不少于22880元，则第一次降价后至少要售出多少件该种衬衫？

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率； （2）根据题意可以列出相应的不等式，求出答案． 【解答】解：（1）设该种衬衫每次降价的百分率为x， 根据题意可得：400（1﹣x）＝256 解得，x1＝0.2，x2＝1.8（舍去），

第19页（共22页）

2

答：该种衬衫每次降价的百分率是20%；

（2）设第一次降价后要售出y件，则降价销售的总利润不少于22880元， 400（1﹣20%）y+400（1﹣20%）（200﹣y）﹣180×200≥22880， 解得，y≥120，

答：商场为了使降价销售的总利润不少于22800元，第一次降价后至少要售出120件该种衬衫．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

22

【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；

（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；

（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y＝﹣x+bx+c中得

，

第20页（共22页）

2

∴．

2

∴抛物线解析式为：y＝﹣x﹣2x+3；

（2）存在．

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称， ∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小， ∵y＝﹣x﹣2x+3， ∴C的坐标为：（0，3）， 直线BC解析式为：y＝x+3， Q点坐标即为解得

，

，

2

∴Q（﹣1，2）；

（3）存在．

理由如下：设P点（x，﹣x﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）， ∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣， 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， ∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC， ＝BE?PE+OE（PE+OC）

＝（x+3）（﹣x﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x﹣2x+3+3） ＝

，

，

2

2

2

当x＝﹣时，S四边形BPCO最大值＝∴S△BPC最大＝

当x＝﹣时，﹣x﹣2x+3＝∴点P坐标为（﹣，

）．

2

， ，

第21页（共22页）

【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．

第22页（共22页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/78ix.html